grupo de giro

Grupo de Lie de doble cobertura del grupo ortogonal especial.

En matemáticas, el grupo de espín , denotado Spin( n ), ^{[1] [2]} es un grupo de Lie cuya variedad subyacente es la doble cubierta del grupo ortogonal especial SO( n ) = SO( n , R ) , tal que existe una secuencia corta y exacta de grupos de Lie (cuando n ≠ 2 )

${\displaystyle 1\to \mathbb {Z} _{2}\to \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)\to 1.}$

La ley de multiplicación de grupos en la doble cobertura se obtiene elevando la multiplicación en . ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$

Como grupo de Lie, Spin( n ) por lo tanto comparte su dimensión , n ( n − 1)/2 , y su álgebra de Lie con el grupo ortogonal especial.

Para n > 2 , Spin( n ) es simplemente conexo y, por lo tanto, coincide con la cobertura universal de SO( n ) .

El elemento no trivial del núcleo se denota −1, que no debe confundirse con la transformada ortogonal de reflexión a través del origen , generalmente denotada −I .

Spin( n ) se puede construir como un subgrupo de los elementos invertibles en el álgebra de Clifford Cl( n ). Un artículo distinto analiza las representaciones de espín .

Motivación e interpretación física.

El grupo de espín se utiliza en física para describir las simetrías de fermiones (eléctricamente neutros, sin carga) . Su complejización, Spinc, se utiliza para describir fermiones cargados eléctricamente, sobre todo el electrón . Estrictamente hablando, el grupo de espín describe un fermión en un espacio de dimensión cero; sin embargo, el espacio no es de dimensión cero, por lo que el grupo de espín se utiliza para definir estructuras de espín en variedades (pseudo) riemannianas : el grupo de espín es el grupo de estructura de un haz de espín . La conexión afín en un haz de espín es la conexión de espín ; La conexión de espín puede simplificar los cálculos en relatividad general . La conexión de espín, a su vez, permite que la ecuación de Dirac se escriba en el espacio-tiempo curvo (efectivamente en las coordenadas de la tétrada ), lo que a su vez proporciona una base para la gravedad cuántica , así como una formalización de la radiación de Hawking (donde uno de un par de estrellas entrelazadas, los fermiones virtuales caen más allá del horizonte de sucesos y el otro no).

Construcción

La construcción del grupo Spin a menudo comienza con la construcción de un álgebra de Clifford sobre un espacio vectorial real V con una forma cuadrática definida q . ^[3] El álgebra de Clifford es el cociente del álgebra tensorial TV de V por un ideal de dos colas. El álgebra tensorial (sobre los reales) se puede escribir como

${\displaystyle \mathrm {T} V=\mathbb {R} \oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus \cdots }$

El álgebra de Clifford Cl( V ) es entonces el álgebra del cociente

${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)=\mathrm {T} V/\left(v\otimes v-q(v)\right),}$

¿Dónde está la forma cuadrática aplicada a un vector ? El espacio resultante es de dimensión finita, naturalmente graduado (como un espacio vectorial) y puede escribirse como ${\displaystyle q(v)}$ ${\displaystyle v\in V}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)=\operatorname {Cl} ^{0}\oplus \operatorname {Cl} ^{1}\oplus \operatorname {Cl} ^{2}\oplus \cdots \oplus \operatorname {Cl} ^{n}}$

¿Dónde está la dimensión de y ? El álgebra de espín se define como ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{0}=\mathbf {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{1}=V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {spin}}}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{2}={\mathfrak {spin}}(V)={\mathfrak {spin}}(n),}$

donde el último es una abreviatura de que V es un espacio vectorial real de dimensión real n . Es un álgebra de Lie ; tiene una acción natural sobre V y de esta manera se puede demostrar que es isomorfo al álgebra de Lie del grupo ortogonal especial . ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)}$

El grupo pin es un subgrupo del grupo Clifford de todos los elementos del formulario. ${\displaystyle \operatorname {Pin} (V)}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)}$

${\displaystyle v_{1}v_{2}\cdots v_{k},}$

donde cada uno tiene una unidad de longitud: ${\displaystyle v_{i}\in V}$ ${\displaystyle q(v_{i})=1.}$

El grupo de giro se define entonces como

${\displaystyle \operatorname {Spin} (V)=\operatorname {Pin} (V)\cap \operatorname {Cl} ^{\text{even}},}$

donde es el subespacio generado por elementos que son producto de un número par de vectores. Es decir, Spin( V ) consta de todos los elementos de Pin( V ), indicados anteriormente, con la restricción de que k sea un número par. La restricción al subespacio par es clave para la formación de espinores de dos componentes (Weyl), construidos a continuación. ${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{\text{even}}=\operatorname {Cl} ^{0}\oplus \operatorname {Cl} ^{2}\oplus \operatorname {Cl} ^{4}\oplus \cdots }$

Si el conjunto es una base ortonormal del espacio vectorial (real) V , entonces el cociente anterior dota al espacio de una estructura natural anti-conmutación: ${\displaystyle \{e_{i}\}}$

${\displaystyle e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}}$para ${\displaystyle i\neq j,}$

lo que sigue considerando para . Esta anticonmutación resulta ser importante en física, ya que captura el espíritu del principio de exclusión de Pauli para los fermiones . Una formulación precisa está fuera de alcance aquí, pero implica la creación de un haz de espinores en el espacio-tiempo de Minkowski ; Se puede considerar que los campos de espinores resultantes son anti-conmutación como un subproducto de la construcción del álgebra de Clifford. Esta propiedad anti-conmutación también es clave para la formulación de la supersimetría . El álgebra de Clifford y el grupo de espín tienen muchas propiedades interesantes y curiosas, algunas de las cuales se enumeran a continuación. ${\displaystyle v\otimes v}$ ${\displaystyle v=e_{i}+e_{j}}$

construcción geométrica

Los grupos de espín se pueden construir de manera menos explícita pero sin recurrir a las álgebras de Clifford. Como colector, se encuentra la doble tapa de . Su ley de multiplicación se puede definir levantando de la siguiente manera. Llame al mapa de cobertura . Entonces es un conjunto con dos elementos, y uno puede elegirse sin pérdida de generalidad como identidad. Llama esto . Luego, para definir la multiplicación en , para elegir caminos que satisfagan y . Estos definen un camino en satisfacción definida . Al tratarse de una doble cubierta, existe una elevación única . Luego defina el producto como . ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle p:\operatorname {Spin} (n)\rightarrow \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle p^{-1}(\{e\})}$ ${\displaystyle {\tilde {e}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$ ${\displaystyle a,b\in \operatorname {Spin} (n)}$ ${\displaystyle \gamma _{a},\gamma _{b}}$ ${\displaystyle \gamma _{a}(0)=\gamma _{b}(0)={\tilde {e}}}$ ${\displaystyle \gamma _{a}(1)=a,\gamma _{b}(1)=b}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle \gamma (t)=p(\gamma _{a}(t))\cdot p(\gamma _{b}(t))}$ ${\displaystyle \gamma (0)=e}$ ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(0)={\tilde {e}}}$ ${\displaystyle a\cdot b={\tilde {\gamma }}(1)}$

Luego se puede demostrar que esta definición es independiente de las trayectorias , que la multiplicación es continua y que los axiomas del grupo se satisfacen con que la inversión sea continua, formando un grupo de Lie. ${\displaystyle \gamma _{a},\gamma _{b}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$

Doble revestimiento

Para un espacio cuadrático V , se puede dar explícitamente una doble cobertura de SO( V ) por Spin( V ), de la siguiente manera. Sea una base ortonormal para V . Definir un antiautomorfismo por ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ ${\displaystyle t:\operatorname {Cl} (V)\to \operatorname {Cl} (V)}$

${\displaystyle \left(e_{i}e_{j}\cdots e_{k}\right)^{t}=e_{k}\cdots e_{j}e_{i}.}$

Esto se puede extender a todos los elementos de la linealidad. Es un antihomomorfismo ya que ${\displaystyle a,b\in \operatorname {Cl} (V)}$

${\displaystyle (ab)^{t}=b^{t}a^{t}.}$

Observe que Pin( V ) puede definirse como todos los elementos para los cuales ${\displaystyle a\in \operatorname {Cl} (V)}$

${\displaystyle aa^{t}=1.}$

Ahora defina el automorfismo que en elementos de grado 1 está dado por ${\displaystyle \alpha \colon \operatorname {Cl} (V)\to \operatorname {Cl} (V)}$

${\displaystyle \alpha (v)=-v,\quad v\in V,}$

y denotemos , que es un antiautomorfismo de Cl( V ). Con esta notación, una doble cobertura explícita es el homomorfismo dado por ${\displaystyle a^{*}}$ ${\displaystyle \alpha (a)^{t}}$ ${\displaystyle \operatorname {Pin} (V)\to \operatorname {O} (V)}$

${\displaystyle \rho (a)v=ava^{*},}$

dónde . Cuando a tiene grado 1 (es decir ), corresponde una reflexión a través del hiperplano ortogonal a a ; esto se desprende de la propiedad anti-conmutación del álgebra de Clifford. ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle a\in V}$ ${\displaystyle \rho (a)}$

Esto da una doble cobertura tanto de O( V ) por Pin( V ) como de SO( V ) por Spin( V ) porque da la misma transformación que . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle -a}$

Espacio de espinor

Vale la pena revisar cómo se construyen el espacio de espinores y los espinores de Weyl , dado este formalismo. Dado un espacio vectorial real V de dimensión n = 2 m un número par, su complejización es . Puede escribirse como la suma directa de un subespacio de espinores y un subespacio de antiespinores: ${\displaystyle V\otimes \mathbf {C} }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle {\overline {W}}}$

${\displaystyle V\otimes \mathbf {C} =W\oplus {\overline {W}}}$

El espacio está atravesado por los espinores for y los espinores conjugados complejos abarcan . Es sencillo ver que los espinores se anticonmutan y que el producto de un espinor y un antiespinor es un escalar. ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \eta _{k}=\left(e_{2k-1}-ie_{2k}\right)/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle 1\leq k\leq m}$ ${\displaystyle {\overline {W}}}$

El espacio de espinor se define como el álgebra exterior . El álgebra de Clifford (complejizada) actúa naturalmente en este espacio; el grupo de espín (complejado) corresponde a los endomorfismos que conservan la longitud . Hay una clasificación natural en el álgebra exterior: el producto de un número impar de copias de corresponde a la noción física de fermiones; el subespacio par corresponde a los bosones. Las representaciones de la acción del grupo de espín en el espacio de espín se pueden construir de una manera relativamente sencilla. ^[3] ${\displaystyle \textstyle {\bigwedge }W}$ ${\displaystyle W}$

Caso complejo

El grupo Spin ^C está definido por la secuencia exacta

${\displaystyle 1\to \mathrm {Z} _{2}\to \operatorname {Spin} ^{\mathbf {C} }(n)\to \operatorname {SO} (n)\times \operatorname {U} (1)\to 1.}$

Es un subgrupo multiplicativo de la complejización del álgebra de Clifford, y específicamente , es el subgrupo generado por Spin( V ) y el círculo unitario en C. Alternativamente, es el cociente ${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)\otimes \mathbf {C} }$

${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathbf {C} }(V)=\left(\operatorname {Spin} (V)\times S^{1}\right)/\sim }$

donde la equivalencia identifica ( a , u ) con (− a , − u ) . ${\displaystyle \sim }$

Esto tiene aplicaciones importantes en la teoría de las 4 variedades y en la teoría de Seiberg-Witten . En física, el grupo Spin es apropiado para describir fermiones sin carga, mientras que el grupo Spin ^C se utiliza para describir fermiones cargados eléctricamente. En este caso, la simetría U(1) es específicamente el grupo calibre del electromagnetismo .

Isomorfismos excepcionales

En dimensiones bajas, existen isomorfismos entre los grupos de Lie clásicos llamados isomorfismos excepcionales . Por ejemplo, existen isomorfismos entre grupos de espín de baja dimensión y ciertos grupos de Lie clásicos, debido a isomorfismos de baja dimensión entre los sistemas de raíces (y los isomorfismos correspondientes de los diagramas de Dynkin ) de las diferentes familias de álgebras de Lie simples . Escribir R para los reales, C para los números complejos, H para los cuaterniones y la comprensión general de que Cl( n ) es una abreviatura de Cl( R ⁿ ) y que Spin( n ) es una abreviatura de Spin( R ⁿ ) y así sucesivamente, entonces se tiene que ^[3]

Cl ^par (1) = R los números reales

Pin(1) = {+i, −i, +1, −1}

Spin(1) = O(1) = {+1, −1} el grupo ortogonal de dimensión cero.

--

Cl ^par (2) = C los números complejos

Spin(2) = U(1) = SO(2) , que actúa sobre z en R ² mediante rotación de doble fase z ↦ u ² z . Corresponde al abeliano . tenue = 1 ${\displaystyle D_{1}}$

--

Cl ^par (3) = H los cuaterniones

Spin(3) = Sp(1) = SU(2) , correspondiente a . tenue = 3 ${\displaystyle B_{1}\cong C_{1}\cong A_{1}}$

--

Cl ^par (4) = H ⊕ H

Spin(4) = SU(2) × SU(2), correspondiente a . tenue = 6 ${\displaystyle D_{2}\cong A_{1}\times A_{1}}$

--

Cl ^par (5)= M(2, H ) las matrices de dos por dos con coeficientes cuaterniónicos

Spin(5) = Sp(2) , correspondiente a . tenue = 10 ${\displaystyle B_{2}\cong C_{2}}$

--

Cl ^par (6)= M(4, C ) las matrices de cuatro por cuatro con coeficientes complejos

Spin(6) = SU(4) , correspondiente a . tenue = 15 ${\displaystyle D_{3}\cong A_{3}}$

Quedan ciertos vestigios de estos isomorfismos para n = 7, 8 (ver Spin(8) para más detalles). Para n mayor , estos isomorfismos desaparecen por completo.

Firma indefinida

En firma indefinida , el grupo de espín Spin( p , q ) se construye mediante álgebras de Clifford de forma similar a los grupos de espín estándar. Es una doble cobertura de SO ₀ ( p , q ) , el componente conexo de la identidad del grupo ortogonal indefinido SO( p , q ) . Para p + q > 2 , Spin( p , q ) es conexo; para ( p , q ) = (1, 1) hay dos componentes conectados. ^{[4] : 193} Como en la firma definitiva, existen algunos isomorfismos accidentales en dimensiones bajas:

Girar(1, 1) = GL(1, R )

Girar(2, 1) = SL(2, R )

Girar(3, 1) = SL(2, C )

Giro(2, 2) = SL(2, R ) × SL(2, R )

Girar(4, 1) = Sp(1, 1)

Girar(3, 2) = Sp(4, R )

Girar(5, 1) = SL(2, H )

Girar(4, 2) = SU(2, 2)

Girar(3, 3) = SL(4, R )

Girar(6, 2) = SU(2, 2, H )

Tenga en cuenta que Girar( p , q ) = Girar( q , p ) .

Consideraciones topológicas

Los grupos de Lie conectados y simplemente conectados se clasifican según su álgebra de Lie. Entonces, si G es un grupo de Lie conexo con un álgebra de Lie simple, con G ′ la cobertura universal de G , hay una inclusión

${\displaystyle \pi _{1}(G)\subset \operatorname {Z} (G'),}$

con Z( G ′) el centro de G ′. Esta inclusión y el álgebra de Lie de G determinan G por completo (tenga en cuenta que no es el caso que y π ₁ ( G ) determinen G por completo; por ejemplo, SL(2, R ) y PSL(2, R ) tienen el mismo álgebra de Lie. y el mismo grupo fundamental Z , pero no son isomorfos). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

La firma definida Spin( n ) está simplemente conectada para n  > 2, por lo que son las coberturas universales de SO( n ).

En la firma indefinida, Spin( p , q ) no está necesariamente conexo y, en general, el componente de identidad , Spin ₀ ( p , q ), no está simplemente conexo, por lo que no es una cobertura universal. El grupo fundamental se entiende más fácilmente considerando el subgrupo compacto máximo de SO( p , q ), que es SO( p ) × SO( q ), y observando que en lugar de ser el producto de las coberturas dobles (de ahí un Cubierta de 4 pliegues), Spin( p , q ) es la cubierta de 2 pliegues "diagonal"; es un cociente de 2 pliegues de la cubierta de 4 pliegues. Explícitamente, el subgrupo conectado compacto máximo de Spin( p , q ) es

Girar ( p ) × Girar( q )/{(1, 1), (−1, −1)}.

Esto nos permite calcular los grupos fundamentales de SO( p , q ), tomando p ≥ q :

${\displaystyle \pi _{1}({\mbox{SO}}(p,q))={\begin{cases}0&(p,q)=(1,1){\mbox{ or }}(1,0)\\\mathbb {Z} _{2}&p>2,q=0,1\\\mathbb {Z} &(p,q)=(2,0){\mbox{ or }}(2,1)\\\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} &(p,q)=(2,2)\\\mathbb {Z} &p>2,q=2\\\mathbb {Z} _{2}&p,q>2\\\end{cases}}}$

Así, una vez p , q > 2 el grupo fundamental es Z ₂ , ya que es un cociente doble de un producto de dos coberturas universales.

Los mapas de grupos fundamentales se dan a continuación. Para p , q > 2 , esto implica que el mapa π ₁ (Spin( p , q )) → π ₁ (SO( p , q )) está dado por 1 ∈ Z ₂ yendo a (1, 1) ∈ Z ₂ × _Z2 . Para p = 2, q > 2 , este mapa viene dado por 1 ∈ Z → (1,1) ∈ Z × Z ₂ . Y finalmente, para p = q = 2 , (1, 0) ∈ Z × Z se envía a (1,1) ∈ Z × Z y (0, 1) se envía a (1, −1) .

Grupos fundamentales de SO (n)

Los grupos fundamentales se pueden derivar más directamente utilizando resultados en la teoría de la homotopía . En particular, podemos encontrar que las tres más pequeñas tienen variedades subyacentes familiares: es la variedad puntual, y (mostrada usando la representación eje-ángulo ). ${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {SO} (n))}$ ${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {SO} (n))}$ ${\displaystyle n>3}$ ${\displaystyle SO(1)}$ ${\displaystyle SO(2)\cong S^{1}}$ ${\displaystyle SO(3)\cong \mathbb {RP} ^{3}}$

La prueba utiliza resultados conocidos en topología algebraica . ^[5]

El mismo argumento puede usarse para mostrar , considerando una fibración ${\displaystyle \pi ({\text{SO}}(1,n)^{\uparrow })\cong \pi ({\text{SO}}(n))}$

$${\displaystyle {\text{SO}}(n)\rightarrow {\text{SO}}(1,n)^{\uparrow }\rightarrow H^{n},}$$

hiperboloidecontráctilgrupo de Lorentz ${\displaystyle H^{n}}$ ${\displaystyle {\text{SO}}(1,n)^{\uparrow }}$

Centro

El centro de los grupos de espines, para n ≥ 3 , (complejos y reales) se dan de la siguiente manera: ^{[4] : ​​208}

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Z} (\operatorname {Spin} (n,\mathbf {C} ))&={\begin{cases}\mathrm {Z} _{2}&n=2k+1\\\mathrm {Z} _{4}&n=4k+2\\\mathrm {Z} _{2}\oplus \mathrm {Z} _{2}&n=4k\\\end{cases}}\\\operatorname {Z} (\operatorname {Spin} (p,q))&={\begin{cases}\mathrm {Z} _{2}&p{\text{ or }}q{\text{ odd}}\\\mathrm {Z} _{4}&n=4k+2,{\text{ and }}p,q{\text{ even}}\\\mathrm {Z} _{2}\oplus \mathrm {Z} _{2}&n=4k,{\text{ and }}p,q{\text{ even}}\\\end{cases}}\end{aligned}}}$

Grupos de cocientes

Los grupos de cocientes se pueden obtener a partir de un grupo de espín cociente por un subgrupo del centro, siendo entonces el grupo de espín un grupo que cubre el cociente resultante, y ambos grupos tienen la misma álgebra de Lie.

Cociente por todo el centro produce el grupo mínimo, el grupo ortogonal especial proyectivo , que no tiene centro , mientras que cociente por {±1} produce el grupo ortogonal especial, si el centro es igual a {±1} (es decir, en dimensión impar) , estos dos grupos de cocientes concuerdan. Si el grupo de espín es simplemente conexo (como lo es Spin( n ) para n > 2 ), entonces Spin es el grupo máximo en la secuencia, y uno tiene una secuencia de tres grupos,

Girar ( n ) → SO( n ) → PSO( n ),

dividir por paridad produce:

Girar (2 norte ) → SO (2 norte ) → PSO (2 norte ),

Girar(2 n +1) → SO(2 n +1) = PSO(2 n +1),

cuáles son las tres formas reales compactas (o dos, si SO = PSO ) del álgebra compacta de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,\mathbf {R} ).}$

Los grupos de homotopía de la cubierta y el cociente están relacionados por la larga secuencia exacta de una fibración , con fibra discreta (la fibra es el núcleo); por lo tanto, todos los grupos de homotopía para k > 1 son iguales, pero π ₀ y π ₁ pueden diferir. .

Para n > 2 , Spin( n ) es simplemente conexo ( π ₀ = π ₁ = Z ₁ es trivial), por lo que SO( n ) es conexo y tiene un grupo fundamental Z ₂ mientras que PSO( n ) está conexo y tiene un grupo fundamental igual al centro de Spin ( n ).

En la firma indefinida, las cubiertas y los grupos de homotopía son más complicados: Spin( p , q ) no es simplemente conexo, y el cociente también afecta a los componentes conexos. El análisis es más simple si se considera el compacto máximo (conectado) SO( p ) × SO( q ) ⊂ SO( p , q ) y el grupo de componentes de Spin( p , q ) .

Torre de cabeza blanca

El grupo de giro aparece en una torre Whitehead anclada por el grupo ortogonal :

${\displaystyle \ldots \rightarrow {\text{Fivebrane}}(n)\rightarrow {\text{String}}(n)\rightarrow {\text{Spin}}(n)\rightarrow {\text{SO}}(n)\rightarrow {\text{O}}(n)}$

La torre se obtiene eliminando (matando) sucesivamente grupos de homotopía de orden creciente. Esto se hace mediante la construcción de secuencias exactas cortas que comienzan con un espacio de Eilenberg-MacLane para eliminar el grupo de homotopía. Al eliminar el grupo de homotopía π _{3 en Spin(} n ), se obtiene el grupo de cadenas de dimensión infinita String( n ).

Subgrupos discretos

Los subgrupos discretos del grupo de espín se pueden entender relacionándolos con subgrupos discretos del grupo ortogonal especial ( grupos de puntos de rotación ).

Dada la doble cobertura Spin( n ) → SO( n ) , según el teorema de la red , existe una conexión de Galois entre subgrupos de Spin( n ) y subgrupos de SO( n ) (grupos de puntos rotacionales): la imagen de un subgrupo de Spin( n ) es un grupo de puntos rotacionales, y la preimagen de un grupo de puntos es un subgrupo de Spin( n ), y el operador de cierre en subgrupos de Spin( n ) es la multiplicación por {±1}. Estos pueden denominarse "grupos de puntos binarios"; El más familiar es el caso tridimensional, conocido como grupos poliédricos binarios .

Concretamente, cada grupo de puntos binario es la preimagen de un grupo de puntos (por lo tanto, denotado 2 G , para el grupo de puntos G ), o es un subgrupo índice 2 de la preimagen de un grupo de puntos que se asigna (isomórficamente) al grupo de puntos; en el último caso, el grupo binario completo es abstracto (ya que {±1} es central). Como ejemplo de estos últimos, dado un grupo cíclico de orden impar en SO( n ), su preimagen es un grupo cíclico del doble de orden, y el subgrupo Z _{2 k +1} < Spin( n ) se asigna isomórficamente a Z _{2 k +1} < ASI QUE( n ) . ${\displaystyle \mathrm {C} _{2}\times G}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{2k+1}}$ ${\displaystyle \mathrm {C} _{4k+2}\cong \mathrm {Z} _{2k+1}\times \mathrm {Z} _{2},}$

De particular interés son dos series:

• grupos tetraédricos binarios superiores , correspondientes a la cobertura doble de simetrías del n -simplex; este grupo también puede considerarse como la doble cobertura del grupo simétrico , 2⋅A _n → A _n , siendo el grupo alterno el grupo de simetría (rotacional) del n -simplex.
• grupos octaédricos binarios superiores , correspondientes a las cubiertas dobles del grupo hiperoctaédrico (simetrías del hipercubo , o equivalentemente de su dual, el politopo cruzado ).

Para los grupos de puntos que invierten la orientación, la situación es más complicada, ya que hay dos grupos de pines , por lo que hay dos posibles grupos binarios correspondientes a un grupo de puntos determinado.

Ver también

• Álgebra de Clifford
• Análisis de Clifford
• espinor
• paquete de espinor
• Estructura de giro
• Grupos de la tabla de mentiras
• Cualquiera
• Enredo de orientación

Grupos relacionados

• Grupo de pines Pin ( n ) - cubierta doble del grupo ortogonal , O ( n )
• Grupo metapléctico Mp(2 n ) – cobertura doble del grupo simpléctico , Sp(2 n )
• Grupo de cuerdas String(n): el siguiente grupo en la torre Whitehead

Referencias

1. Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie-Louise (1989). Geometría de giro . Prensa de la Universidad de Princeton . ISBN 978-0-691-08542-5.página 14
2. Friedrich, Thomas (2000), Operadores de Dirac en geometría de Riemann , Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 978-0-8218-2055-1página 15
3. Jürgen Jost, Geometría riemanniana y análisis geométrico , (2002) Springer Verlag ISBN 3-540-42627-2 (consulte el capítulo 1). 
4. Varadarajan, VS (2004). Supersimetría para matemáticos: una introducción . Providence, RI: Sociedad Estadounidense de Matemáticas. ISBN 0821835742. OCLC  55487352.
5. Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica (PDF) . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9780521795401. Consultado el 24 de febrero de 2023 .

enlaces externos

• La dimensión esencial de los grupos de espín es OEIS:A280191.
• El "índice de torsión" de Grothendieck es OEIS:A096336.

Otras lecturas

• Karoubi, Max (2008). Teoría K. Saltador. págs. 210-214. ISBN 978-3-540-79889-7.