Ecuación de Dirac en el espacio-tiempo curvo

Generalización de la ecuación de Dirac

En física matemática , la ecuación de Dirac en el espacio-tiempo curvo es una generalización de la ecuación de Dirac del espacio-tiempo plano ( espacio de Minkowski ) al espacio-tiempo curvo, una variedad lorentziana general .

Formulación matemática

Espacio-tiempo

En términos generales, la ecuación se puede definir en o una variedad pseudo-riemanniana , pero para ser más concretos, nos limitamos a una variedad pseudo-riemanniana con signatura . La métrica se denomina , o en notación de índice abstracto . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (M,\mathbf {g} )}$ ${\displaystyle (-+++)}$ ${\displaystyle \mathbf {g} }$ ${\displaystyle g_{ab}}$

Campos de marco

Utilizamos un conjunto de campos Vierbein o de marco , que son un conjunto de campos vectoriales (que no están necesariamente definidos globalmente en ). Su ecuación definitoria es ${\displaystyle \{e_{\mu }\}=\{e_{0},e_{1},e_{2},e_{3}\}}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle g_{ab}e_{\mu }^{a}e_{\nu }^{b}=\eta _{\mu \nu }.}$

El vierbein define un marco de reposo local , que permite que las matrices Gamma constantes actúen en cada punto del espacio-tiempo.

En lenguaje geométrico diferencial, el vierbein es equivalente a una sección del fibrado marco y, por lo tanto, define una trivialización local del fibrado marco.

Conexión de giro

Para escribir la ecuación también necesitamos la conexión de espín , también conocida como la conexión (1-)forma. Los campos de marco dual tienen una relación definitoria ${\displaystyle \{e^{\mu }\}}$

${\displaystyle e_{a}^{\mu }e_{\nu }^{a}=\delta ^{\mu }{}_{\nu }.}$

La conexión 1-forma es entonces

${\displaystyle \omega ^{\mu }{}_{\nu a}:=e_{b}^{\mu }\nabla _{a}e_{\nu }^{b}}$

donde es una derivada covariante o, equivalentemente, una elección de conexión en el fibrado del marco, que suele tomarse como la conexión de Levi-Civita . ${\displaystyle \nabla _{a}}$

Hay que tener cuidado de no tratar los índices latinos abstractos y los índices griegos como si fueran iguales, y además hay que tener en cuenta que ninguno de ellos es un índice de coordenadas: se puede verificar que no se transforma en tensor ante un cambio de coordenadas. ${\displaystyle \omega ^{\mu }{}_{\nu a}}$

Matemáticamente, los campos de marco definen un isomorfismo en cada punto en el que se definen desde el espacio tangente a . Entonces, los índices abstractos etiquetan el espacio tangente, mientras que los índices griegos etiquetan . Si los campos de marco dependen de la posición, entonces los índices griegos no necesariamente se transforman tensorialmente bajo un cambio de coordenadas. ${\displaystyle \{e_{\mu }\}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle T_{p}M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}}$

La subida y bajada de índices se realiza con para índices latinos y para índices griegos. ${\displaystyle g_{ab}}$ ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$

La forma de conexión puede verse como una conexión más abstracta en un fibrado principal , específicamente en el fibrado marco , que se define en cualquier variedad suave, pero que se restringe a un fibrado marco ortonormal en variedades pseudo-riemannianas.

La forma de conexión con respecto a los campos marco definidos localmente es, en lenguaje geométrico-diferencial, la conexión con respecto a una trivialización local. ${\displaystyle \{e_{\mu }\}}$

Álgebra de Clifford

Al igual que con la ecuación de Dirac en el espacio-tiempo plano, utilizamos el álgebra de Clifford, un conjunto de cuatro matrices gamma que satisfacen ${\displaystyle \{\gamma ^{\mu }\}}$

${\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=2\eta ^{\mu \nu }}$

¿Dónde está el anticonmutador ? ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$

Se pueden utilizar para construir una representación del álgebra de Lorentz: definiendo

${\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }=-{\frac {i}{4}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]=-{\frac {i}{2}}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+{\frac {i}{2}}\eta ^{\mu \nu }}$,

¿Dónde está el conmutador ? ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$

Se puede demostrar que satisfacen las relaciones de conmutación del álgebra de Lorentz:

${\displaystyle [\sigma ^{\mu \nu },\sigma ^{\rho \sigma }]=(-i)(\sigma ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }-\sigma ^{\nu \sigma }\eta ^{\mu \rho }+\sigma ^{\nu \rho }\eta ^{\mu \sigma }-\sigma ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma })}$

Por lo tanto, son los generadores de una representación del álgebra de Lorentz . Pero no generan una representación del grupo de Lorentz , al igual que las matrices de Pauli generan una representación del álgebra de rotación pero no . De hecho, forman una representación de Sin embargo, es un abuso estándar de la terminología considerar cualquier representación del álgebra de Lorentz como representación del grupo de Lorentz, incluso si no surgen como representación del grupo de Lorentz. ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(1,3)}$ ${\displaystyle {\text{SO}}(1,3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle {\text{SO}}(3)}$ ${\displaystyle {\text{Spin}}(1,3).}$

El espacio de representación es isomorfo a un espacio vectorial. En la clasificación de las representaciones del grupo de Lorentz, la representación se etiqueta como . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$ ${\displaystyle \left({\frac {1}{2}},0\right)\oplus \left(0,{\frac {1}{2}}\right)}$

El abuso de la terminología se extiende a la formación de esta representación a nivel de grupo. Podemos escribir una transformación de Lorentz finita en donde es la base estándar para el álgebra de Lorentz. Estos generadores tienen componentes ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}}$ ${\displaystyle \Lambda _{\sigma }^{\rho }=\exp \left({\frac {i}{2}}\alpha _{\mu \nu }M^{\mu \nu }\right){}_{\sigma }^{\rho }}$ ${\displaystyle M^{\mu \nu }}$

${\displaystyle (M^{\mu \nu })_{\sigma }^{\rho }=\eta ^{\mu \rho }\delta _{\sigma }^{\nu }-\eta ^{\nu \rho }\delta _{\sigma }^{\mu }}$

o, con ambos índices hacia arriba o ambos índices hacia abajo, simplemente matrices que tienen en el índice y en el índice, y 0 en el resto de lugares. ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle \mu ,\nu }$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle \nu ,\mu }$

Si otra representación tiene generadores entonces escribimos ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle T^{\mu \nu }=\rho (M^{\mu \nu }),}$

${\displaystyle \rho (\Lambda )_{j}^{i}=\exp \left({\frac {i}{2}}\alpha _{\mu \nu }T^{\mu \nu }\right){}_{j}^{i}}$

donde están los índices para el espacio de representación. ${\displaystyle i,j}$

En el caso , sin que se den componentes generadores para , esto no está bien definido: hay conjuntos de componentes generadores que dan lo mismo pero diferentes ${\displaystyle T^{\mu \nu }=\sigma ^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \alpha _{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \Lambda _{\sigma }^{\rho }}$ ${\displaystyle \rho (\Lambda )}$ ${\displaystyle \alpha _{\mu \nu },\beta _{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \Lambda _{\sigma }^{\rho }}$ ${\displaystyle \rho (\Lambda )_{j}^{i}.}$

Derivada covariante para campos en una representación del grupo de Lorentz

Dado un marco de coordenadas que surge de, digamos, las coordenadas , la derivada parcial con respecto a un marco ortonormal general se define ${\displaystyle {\partial _{\alpha }}}$ ${\displaystyle \{x^{\alpha }\}}$ ${\displaystyle \{e_{\mu }\}}$

${\displaystyle \partial _{\mu }\psi =e_{\mu }^{\alpha }\partial _{\alpha }\psi ,}$

y los componentes de conexión con respecto a un marco ortonormal general son

${\displaystyle \omega ^{\mu }{}_{\nu \rho }=e_{\rho }^{\alpha }\omega ^{\mu }{}_{\nu \alpha }.}$

Estos componentes no se transforman tensorialmente bajo un cambio de sistema, pero sí lo hacen cuando se combinan. Además, estas son definiciones en lugar de decir que estos objetos pueden surgir como derivadas parciales en algún diagrama de coordenadas. En general, hay sistemas ortonormales no coordinados, para los cuales el conmutador de los campos vectoriales no se anula.

Se puede comprobar que bajo la transformación

${\displaystyle \psi \mapsto \rho (\Lambda )\psi ,}$

Si definimos la derivada covariante

${\displaystyle D_{\mu }\psi =\partial _{\mu }\psi +{\frac {1}{2}}(\omega _{\nu \rho })_{\mu }\sigma ^{\nu \rho }\psi }$,

luego se transforma como ${\displaystyle D_{\mu }\psi }$

${\displaystyle D_{\mu }\psi \mapsto \rho (\Lambda )D_{\mu }\psi }$

Esto se generaliza a cualquier representación para el grupo de Lorentz: si es un campo vectorial para la representación asociada, ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle D_{\mu }v=\partial _{\mu }v+{\frac {1}{2}}(\omega _{\nu \rho })_{\mu }R(M^{\nu \rho })v=\partial _{\mu }v+{\frac {1}{2}}(\omega _{\nu \rho })_{\mu }T^{\nu \rho }v.}$

Cuando es la representación fundamental para , esto recupera la derivada covariante familiar para campos vectoriales (tangentes), de los cuales la conexión de Levi-Civita es un ejemplo. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\text{SO}}(1,3)}$

Existen algunas sutilezas en cuanto a qué tipo de objeto matemático son los diferentes tipos de derivada covariante. La derivada covariante en una base de coordenadas es una 1-forma con valor vectorial, que en cada punto es un elemento de . La derivada covariante en una base ortonormal utiliza el marco ortonormal para identificar la 1-forma con valor vectorial con un vector dual con valor vectorial que en cada punto es un elemento de utilizando eso canónicamente. Luego podemos contraer esto con una matriz gamma de 4 vectores que toma valores en ${\displaystyle D_{\alpha }\psi }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle E_{p}\otimes T_{p}^{*}M}$ ${\displaystyle D_{\mu }\psi }$ ${\displaystyle \{e_{\mu }\}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle E_{p}\otimes \mathbb {R} ^{1,3},}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} ^{1,3}}^{*}\cong \mathbb {R} ^{1,3}}$ ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\text{End}}(E_{p})\otimes \mathbb {R} ^{1,3}}$

Ecuación de Dirac sobre el espacio-tiempo curvo

Recordando la ecuación de Dirac sobre el espacio-tiempo plano,

${\displaystyle (i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi =0,}$

La ecuación de Dirac en el espacio-tiempo curvo se puede escribir convirtiendo la derivada parcial en una covariante.

De esta manera, la ecuación de Dirac toma la siguiente forma en el espacio-tiempo curvo: ^[1]

Ecuación de Dirac sobre el espacio-tiempo curvo

${\displaystyle (i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\Psi =0.}$

donde es un campo de espinores en el espacio-tiempo. Matemáticamente, se trata de una sección de un fibrado vectorial asociado al fibrado del marco de espín por la representación ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle (1/2,0)\oplus (0,1/2).}$

Recuperando la ecuación de Klein-Gordon a partir de la ecuación de Dirac

La ecuación de Klein-Gordon modificada obtenida elevando al cuadrado el operador en la ecuación de Dirac, encontrada por primera vez por Erwin Schrödinger , citada por Pollock ^[2], está dada por

${\displaystyle \left({\frac {1}{\sqrt {-\det g}}}\,{\cal {D}}_{\mu }\left({\sqrt {-\det g}}\,g^{\mu \nu }{\cal {D}}_{\nu }\right)-{\frac {1}{4}}R+{\frac {ie}{2}}F_{\mu \nu }s^{\mu \nu }-m^{2}\right)\Psi =0.}$

donde es el escalar de Ricci, y es la intensidad de campo de . Una versión alternativa de la ecuación de Dirac cuyo operador de Dirac sigue siendo la raíz cuadrada del laplaciano está dada por la ecuación de Dirac-Kähler ; el precio a pagar es la pérdida de la invariancia de Lorentz en el espacio-tiempo curvo. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle A_{\mu }}$

Nótese que aquí los índices latinos denotan las etiquetas vierbein "lorentzianas", mientras que los índices griegos denotan índices de coordenadas múltiples .

Formulación de acciones

Podemos formular esta teoría en términos de una acción. Si además el espacio-tiempo es orientable , existe una orientación preferida conocida como forma de volumen . Se pueden integrar funciones contra la forma de volumen: ${\displaystyle (M,\mathbf {g} )}$ ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle \int _{M}\epsilon f=\int _{M}d^{4}x{\sqrt {-g}}f}$

La función se integra contra la forma de volumen para obtener la acción de Dirac. ${\displaystyle {\bar {\Psi }}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\Psi }$

Acción de Dirac sobre el espacio-tiempo curvo

${\displaystyle I_{\text{Dirac}}=\int _{M}d^{4}x{\sqrt {-g}}\,{\bar {\Psi }}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\Psi .}$

Véase también

• Ecuación de Dirac en el álgebra del espacio físico
• Espinor de Dirac
• Las ecuaciones de Maxwell en el espacio-tiempo curvo
• Ecuaciones de Dirac de dos cuerpos

Referencias

1. Lawrie, Ian D. Un gran recorrido unificado por la física teórica .
2. Pollock, MD (2010), Sobre la ecuación de Dirac en el espacio-tiempo curvo

• M. Arminjon, F. Reifler (2013). "Formas equivalentes de ecuaciones de Dirac en espacios-tiempos curvos y relaciones de De Broglie generalizadas". Revista Brasileña de Física . 43 (1–2): 64–77. arXiv : 1103.3201 . Código Bibliográfico :2013BrJPh..43...64A. doi :10.1007/s13538-012-0111-0. S2CID  38235437.
• MD Pollock (2010). "Sobre la ecuación de Dirac en el espacio-tiempo curvo". Acta Physica Polonica B . 41 (8): 1827.
• JV Dongen (2010). La unificación de Einstein. Cambridge University Press. pág. 117. ISBN 978-0-521-883-467.
• L. Parker, D. Toms (2009). Teoría cuántica de campos en el espacio-tiempo curvo: campos cuantizados y gravedad. Cambridge University Press. pág. 227. ISBN. 978-0-521-877-879.
• SA Fulling (1989). Aspectos de la teoría cuántica de campos en el espacio-tiempo curvo. Cambridge University Press. ISBN 0-521-377-684.