Grupo lineal especial

En matemáticas , el grupo lineal especial SL( n , R ) de grado n sobre un anillo conmutativo R es el conjunto de matrices n × n con determinante 1, con las operaciones de grupo de multiplicación de matrices ordinarias e inversión de matrices . Este es el subgrupo normal del grupo lineal general dado por el núcleo del determinante.

\det \colon \operatorname {GL} (n,R)\to R^{\times }.

donde R ^× es el grupo multiplicativo de R (es decir, R excluyendo 0 cuando R es un campo).

Estos elementos son "especiales" porque forman una subvariedad algebraica del grupo lineal general: satisfacen una ecuación polinómica (ya que el determinante es polinómico en las entradas).

Cuando R es el campo finito de orden q , a veces se utiliza la notación SL( n , q ) .

Interpretación geométrica

El grupo lineal especial SL( n , R ) puede caracterizarse como el grupo de transformaciones lineales de R ⁿ que preservan el volumen y la orientación ; esto corresponde a la interpretación del determinante como medida del cambio en el volumen y la orientación.

Subgrupo de Lie

Cuando F es R o C , SL( n , F ) es un subgrupo de Lie de GL( n , F ) de dimensión n ² − 1 . El álgebra de Lie de SL( n , F ) consiste en todas las matrices n × n sobre F con traza nula . El corchete de Lie viene dado por el conmutador . ${\mathfrak {sl}}(n,F)$

Topología

Cualquier matriz invertible puede representarse de forma única según la descomposición polar como el producto de una matriz unitaria y una matriz hermítica con valores propios positivos . El determinante de la matriz unitaria está en el círculo unitario mientras que el de la matriz hermítica es real y positivo y como en el caso de una matriz del grupo lineal especial el producto de estos dos determinantes debe ser 1, entonces cada uno de ellos debe ser 1. Por lo tanto, una matriz lineal especial puede escribirse como el producto de una matriz unitaria especial (o matriz ortogonal especial en el caso real) y una matriz hermítica definida positiva (o matriz simétrica en el caso real) que tiene determinante 1.

Así, la topología del grupo SL( n , C ) es el producto de la topología de SU( n ) y la topología del grupo de matrices hermíticas de determinante unitario con valores propios positivos. Una matriz hermítica de determinante unitario y que tenga valores propios positivos puede expresarse de forma única como la exponencial de una matriz hermítica sin traza , y por tanto la topología de ésta es la del espacio euclidiano ( n ² − 1) -dimensional . ^[1] Puesto que SU( n ) es simplemente conexa , ^[2] concluimos que SL( n , C ) también es simplemente conexa, para todo n mayor o igual a 2.

La topología de SL( n , R ) es el producto de la topología de SO ( n ) y la topología del grupo de matrices simétricas con valores propios positivos y determinante unitario. Dado que las últimas matrices se pueden expresar de forma única como la exponencial de matrices simétricas sin traza, entonces esta última topología es la del espacio euclidiano ( n + 2)( n − 1)/2 -dimensional. Por lo tanto, el grupo SL( n , R ) tiene el mismo grupo fundamental que SO( n ), es decir, Z para n = 2 y Z ₂ para n > 2 . ^[3] En particular, esto significa que SL( n , R ) , a diferencia de SL( n , C ) , no es simplemente conexo, para n mayor que 1.

Relaciones con otros subgrupos de GL(norte,A)

Dos subgrupos relacionados, que en algunos casos coinciden con SL y en otros casos se confunden accidentalmente con SL, son el subgrupo conmutador de GL y el grupo generado por transvecciones . Ambos son subgrupos de SL (las transvecciones tienen determinante 1 y det es una función de un grupo abeliano, por lo que [GL, GL] ≤ SL), pero en general no coinciden con él.

El grupo generado por transvecciones se denota E( n , A ) (para matrices elementales ) o TV( n , A ) . Por la segunda relación de Steinberg , para n ≥ 3 , las transvecciones son conmutadores, por lo que para n ≥ 3 , E( n , A ) ≤ [GL( n , A ), GL( n , A )] .

Para n = 2 , las transvecciones no necesitan ser conmutadores (de matrices de 2 × 2 ), como se ve, por ejemplo, cuando A es F ₂ , el campo de dos elementos, entonces

\operatorname {Alt} (3)\cong [\operatorname {GL} (2,\mathbf {F} _{2}),\operatorname {GL} (2,\mathbf {F} _{2})]<\operatorname {E} (2,\mathbf {F} _{2})=\operatorname {SL} (2,\mathbf {F} _{2})=\operatorname {GL} (2,\mathbf {F} _{2})\cong \operatorname {Sym} (3),

donde Alt(3) y Sym(3) denotan el grupo simétrico alternado o resp. en 3 letras.

Sin embargo, si A es un campo con más de 2 elementos, entonces E(2, A ) = [GL(2, A ), GL(2, A )] , y si A es un campo con más de 3 elementos, E(2, A ) = [SL(2, A ), SL(2, A )] . ^{[ dudoso – discutir ]}

En algunas circunstancias, estos coinciden: el grupo lineal especial sobre un cuerpo o un dominio euclidiano se genera por transvecciones, y el grupo lineal especial estable sobre un dominio de Dedekind se genera por transvecciones. Para anillos más generales, la diferencia estable se mide por el grupo Whitehead especial SK ₁ ( A ) := SL( A )/E( A ) , donde SL( A ) y E( A ) son los grupos estables del grupo lineal especial y las matrices elementales.

Generadores y relaciones

Si se trabaja sobre un anillo donde SL se genera por transvecciones (como un campo o dominio euclidiano ), se puede dar una presentación de SL usando transvecciones con algunas relaciones. Las transvecciones satisfacen las relaciones de Steinberg , pero estas no son suficientes: el grupo resultante es el grupo de Steinberg , que no es el grupo lineal especial, sino más bien la extensión central universal del subgrupo conmutador de GL.

Un conjunto suficiente de relaciones para SL( n , Z ) para n ≥ 3 está dado por dos de las relaciones de Steinberg, más una tercera relación (Conder, Robertson y Williams 1992, p. 19). Sea T _ij := e _ij (1) la matriz elemental con 1 en la diagonal y en la posición ij , y 0 en el resto (e i ≠ j ). Entonces

{\begin{aligned}\left[T_{ij},T_{jk}\right]&=T_{ik}&&{\text{for }}i\neq k\\[4pt]\left[T_{ij},T_{k\ell }\right]&=\mathbf {1} &&{\text{for }}i\neq \ell ,j\neq k\\[4pt]\left(T_{12}T_{21}^{-1}T_{12}\right)^{4}&=\mathbf {1} \end{aligned}}

son un conjunto completo de relaciones para SL( n , Z ), n ≥ 3.

SL±(norte,F)

En una característica distinta de 2, el conjunto de matrices con determinante $\pm1$ forma otro subgrupo de GL, con SL como subgrupo de índice 2 (necesariamente normal); en la característica 2 esto es lo mismo que SL. Esto forma una secuencia corta y exacta de grupos:

1\to \operatorname {SL} (n,F)\to \operatorname {SL} ^{\pm }(n,F)\to \{\pm 1\}\to 1.

Esta secuencia se divide tomando cualquier matriz con determinante $-1$ , por ejemplo la matriz diagonal Si es impar, la matriz identidad negativa está en $SL$ $\pm$ $($ $n$ $,$ $F$ $)$ pero no en $SL($ $n$ $,$ $F$ $)$ y por lo tanto el grupo se divide como un producto directo interno . Sin embargo, si es par, ya está en $SL($ $n$ $,$ $F$ $)$ , $SL$ $\pm$ no se divide y, en general, es una extensión de grupo no trivial . $(-1,1,\dots ,1).$ $n=2k+1$ $-I$ $\operatorname {SL} ^{\pm }(2k+1,F)\cong \operatorname {SL} (2k+1,F)\times \{\pm I\}$ $n=2k$ $-I$

Sobre los números reales, $SL \pm (n, R)$ tiene dos componentes conexos , correspondientes a $SL(n, R)$ y otra componente, que son isomorfas con identificación dependiendo de la elección del punto (matriz con determinante $-1$ ). En dimensión impar estas se identifican naturalmente por , pero en dimensión par no hay una identificación natural. $-I$

Estructura de GL(norte,F)

El grupo GL( n , F ) se divide sobre su determinante (usamos F ^× ≅ GL(1, F ) → GL( n , F ) como el monomorfismo de F ^× a GL( n , F ) , ver producto semidirecto ), y por lo tanto GL( n , F ) puede escribirse como un producto semidirecto de SL( n , F ) por F ^× :

GL( n , F ) = SL( n , F ) ⋊ F ^× .

Véase también

Referencias

^ Sección 2.5 del Salón 2015
^ Propuesta 13.11 del Salón 2015
^ Hall 2015 Secciones 13.2 y 13.3

Conder, Marston ; Robertson, Edmund; Williams, Peter (1992), "Presentaciones para grupos lineales especiales tridimensionales sobre anillos de números enteros", Actas de la American Mathematical Society , 115 (1), American Mathematical Society: 19–26, doi :10.2307/2159559, JSTOR 2159559, MR 1079696
Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2.ª ed.), Springer