En matemáticas , específicamente en teoría de grupos , el componente de identidad de un grupo G (también conocido como su componente de unidad ) se refiere a varias nociones estrechamente relacionadas del subgrupo conectado más grande de G que contiene el elemento de identidad.
En topología de conjunto de puntos , el componente de identidad de un grupo topológico G es el componente conectado G 0 de G que contiene el elemento de identidad del grupo. El componente de ruta de identidad de un grupo topológico G es el componente de ruta de G que contiene el elemento de identidad del grupo.
En geometría algebraica , el componente de identidad de un grupo algebraico G sobre un campo k es el componente de identidad del espacio topológico subyacente. El componente de identidad de un esquema de grupo G sobre un esquema base S es, en términos generales, el esquema de grupo G 0 cuya fibra sobre el punto s de S es el componente conectado (G s ) 0 de la fibra G s , un grupo algebraico. [1]
El componente de identidad G 0 de un grupo topológico o algebraico G es un subgrupo normal cerrado de G . Está cerrado ya que los componentes siempre están cerrados. Es un subgrupo ya que la multiplicación y la inversión en un grupo topológico o algebraico son funciones continuas por definición. Además, para cualquier automorfismo continuo a de G tenemos
Por tanto, G 0 es un subgrupo característico de G , por lo que es normal.
El componente de identidad G 0 de un grupo topológico G no necesita estar abierto en G . De hecho, podemos tener G 0 = { e }, en cuyo caso G está totalmente desconectado . Sin embargo, el componente de identidad de un espacio conectado por caminos localmente (por ejemplo, un grupo de Lie ) siempre está abierto, ya que contiene una vecindad conectada por caminos de { e }; y por tanto es un conjunto cerrado .
El componente de ruta de identidad de un grupo topológico puede, en general, ser más pequeño que el componente de identidad (ya que la conectividad de ruta es una condición más fuerte que la conectividad), pero estos concuerdan si G está conectado localmente por ruta.
Al grupo cociente G / G 0 se le llama grupo de componentes o grupo de componentes de G. Sus elementos son solo los componentes conectados de G . El grupo de componentes G / G 0 es un grupo discreto si y sólo si G 0 está abierto. Si G es un grupo algebraico de tipo finito , como un grupo algebraico afín , entonces G / G 0 es en realidad un grupo finito .
De manera similar, se puede definir el grupo de componentes de la ruta como el grupo de componentes de la ruta (cociente de G por el componente de ruta de identidad) y, en general, el grupo de componentes es un cociente del grupo de componentes de la ruta, pero si G está conectado localmente a la ruta, estos grupos concuerdan. . El grupo de componentes de ruta también se puede caracterizar como el grupo de homotopía cero ,
Un grupo algebraico G sobre un campo topológico K admite dos topologías naturales, la topología de Zariski y la topología heredada de K. El componente de identidad de G a menudo cambia según la topología. Por ejemplo, el grupo lineal general GL n ( ℝ ) está conectado como un grupo algebraico pero tiene dos componentes de ruta como un grupo de Lie, las matrices de determinante positivo y las matrices de determinante negativo. Cualquier grupo algebraico conectado sobre un campo local K no de Arquímedes está totalmente desconectado en la topología K y, por lo tanto, tiene un componente de identidad trivial en esa topología.
