Trivialidad (matemáticas)

En matemáticas , el adjetivo trivial se utiliza a menudo para referirse a una afirmación o un caso que se puede obtener fácilmente del contexto, o un objeto que posee una estructura simple (por ejemplo, grupos , espacios topológicos ). ^[1]^[2] El sustantivo trivialidad suele referirse a un aspecto técnico simple de alguna prueba o definición. El origen del término en el lenguaje matemático proviene del currículo medieval trivium , que se distingue del currículo más difícil quadrivium . ^[1]^[3] El opuesto de trivial es no trivial , que se utiliza comúnmente para indicar que un ejemplo o una solución no es simple, o que un enunciado o un teorema no es fácil de demostrar. ^[2]

El juicio sobre si una situación en cuestión es trivial o no depende de quién la considere, ya que la situación es obviamente cierta para alguien que tiene suficiente conocimiento o experiencia de ella, mientras que para alguien que nunca la ha visto, puede ser incluso difícil de entender, por lo que no es trivial en absoluto. Y puede haber una discusión sobre cuán rápida y fácilmente debe reconocerse un problema para que se lo trate como trivial. Por lo tanto, la trivialidad no es una propiedad universalmente aceptada en matemáticas y lógica.

Soluciones triviales y no triviales

En matemáticas, el término "trivial" se utiliza a menudo para referirse a objetos (por ejemplo, grupos, espacios topológicos) con una estructura muy simple. Entre ellos se incluyen:

Conjunto vacío : el conjunto que no contiene miembros o que contiene miembros nulos
Grupo trivial : el grupo matemático que contiene solo el elemento identidad
Anillo trivial : un anillo definido en un conjunto singleton

El término " trivial " también se puede utilizar para describir soluciones de una ecuación que tienen una estructura muy simple, pero que, por razones de exhaustividad, no se pueden omitir. Estas soluciones se denominan soluciones triviales . Por ejemplo, considere la ecuación diferencial

$y'=y$

donde es una función cuya derivada es . La solución trivial es la función cero $y=y(x)$ ${\estilo de visualización y'}$

$y(x)=0$

mientras que una solución no trivial es la función exponencial

$y(x)=e^{x}.$

La ecuación diferencial con condiciones de contorno es importante en matemáticas y física, ya que podría usarse para describir una partícula en una caja en mecánica cuántica, o una onda estacionaria en una cuerda. Siempre incluye la solución , que se considera obvia y, por lo tanto, se denomina solución "trivial". En algunos casos, puede haber otras soluciones ( sinusoides ), que se denominan soluciones "no triviales". ^[4] $f''(x)=-\lambda f(x)$ $f(0)=f(L)=0$ $f(x)=0$

De manera similar, los matemáticos a menudo describen el último teorema de Fermat como una afirmación de que no existen soluciones enteras no triviales para la ecuación , donde n es mayor que 2. Claramente, existen algunas soluciones para la ecuación. Por ejemplo, es una solución para cualquier n , pero dichas soluciones son obvias y obtenibles con poco esfuerzo, y por lo tanto "triviales". $a^{n}+b^{n}=c^{n}$ ${\estilo de visualización a=b=c=0}$

En el razonamiento matemático

Trivial también puede referirse a cualquier caso fácil de una prueba, que por razones de exhaustividad no puede ignorarse. Por ejemplo, las pruebas por inducción matemática tienen dos partes: el "caso base", que muestra que el teorema es verdadero para un valor inicial particular (como n = 0 o n = 1), y el paso inductivo, que muestra que si el teorema es verdadero para un cierto valor de n , entonces también es verdadero para el valor n + 1. El caso base es a menudo trivial y se identifica como tal, aunque hay situaciones en las que el caso base es difícil pero el paso inductivo es trivial. De manera similar, uno podría querer demostrar que alguna propiedad es poseída por todos los miembros de un cierto conjunto. La parte principal de la prueba considerará el caso de un conjunto no vacío y examinará los miembros en detalle; en el caso en que el conjunto esté vacío, la propiedad es trivialmente poseída por todos los miembros del conjunto vacío, ya que no hay ninguno (ver verdad vacía para más información).

El juicio de si una situación en cuestión es trivial o no depende de quién la considere, ya que la situación es obviamente cierta para alguien que tiene suficiente conocimiento o experiencia de ella, mientras que para alguien que nunca la ha visto, puede ser incluso difícil de entender, por lo que no es trivial en absoluto. Y puede haber una discusión sobre cuán rápida y fácilmente debe reconocerse un problema para que se lo trate como trivial. Los siguientes ejemplos muestran la subjetividad y ambigüedad del juicio de trivialidad.

La trivialidad también depende del contexto. Una demostración en análisis funcional probablemente supondría, dado un número, de manera trivial la existencia de un número mayor. Sin embargo, cuando se prueban resultados básicos sobre los números naturales en la teoría elemental de números , la demostración puede muy bien depender de la observación de que todo número natural tiene un sucesor, una afirmación que debería ser probada o tomada como un axioma, por lo que no es trivial (para más información, véase los axiomas de Peano ).

Pruebas triviales

En algunos textos, una prueba trivial se refiere a una afirmación que implica una implicación material P → Q, donde el consecuente Q es siempre verdadero. ^[5] Aquí, la prueba se sigue inmediatamente en virtud de la definición de implicación material en la que la implicación es verdadera independientemente del valor de verdad del antecedente P si el consecuente se fija como verdadero. ^[5]

Un concepto relacionado es una verdad vacía , donde el antecedente P en una implicación material P → Q es falso. ^[5] En este caso, la implicación siempre es verdadera independientemente del valor de verdad del consecuente Q , nuevamente en virtud de la definición de implicación material. ^[5]

Humor

Una broma común en la comunidad matemática es decir que "trivial" es sinónimo de "probado"; es decir, cualquier teorema puede considerarse "trivial" una vez que se sabe que es verdadero. ^[1]
Dos matemáticos discuten un teorema: el primero dice que el teorema es "trivial". En respuesta a la petición de explicación del otro, procede a una exposición de veinte minutos. Al final de la explicación, el segundo matemático está de acuerdo en que el teorema es trivial. Pero ¿podemos decir que este teorema es trivial aunque se necesite mucho tiempo y esfuerzo para demostrarlo?
Cuando un matemático dice que un teorema es trivial, pero no es capaz de demostrarlo por sí mismo en el momento en que lo pronuncia como trivial, ¿es trivial el teorema?
A menudo, a modo de broma, se dice que un problema es "intuitivamente obvio". Por ejemplo, alguien con experiencia en cálculo consideraría trivial la siguiente afirmación: Sin embargo, para alguien sin conocimientos de cálculo integral, esto no es obvio, por lo que no es trivial. $\int _{0}^{1}x^{2}\,dx={\frac {1}{3}}.$

Ejemplos

En teoría de números , suele ser importante encontrar factores de un número entero N. Cualquier número N tiene cuatro factores obvios: ±1 y ± N. Estos se denominan "factores triviales". Cualquier otro factor, si existe, se denominaría "no trivial". ^[6]
La ecuación matricial homogénea , donde es una matriz fija, es un vector desconocido y es el vector cero, tiene una solución obvia . Esta se llama "solución trivial". Cualquier otra solución, con , se llama "no trivial". ^[7] $A\mathbf {x} =\mathbf {0}$ $A$ $\mathbf {x}$ $\mathbf {0}$ $\mathbf {x} =\mathbf {0}$ $\mathbf {x} \neq \mathbf {0}$
En la teoría de grupos , existe un grupo muy simple que contiene un solo elemento; a menudo se lo denomina "grupo trivial". Todos los demás grupos, que son más complicados, se denominan "no triviales".
En teoría de grafos , el grafo trivial es un grafo que tiene solo un vértice y ninguna arista.
La teoría de bases de datos tiene un concepto llamado dependencia funcional , escrito como . La dependencia es verdadera si Y es un subconjunto de X , por lo que este tipo de dependencia se llama "trivial". Todas las demás dependencias, que son menos obvias, se denominan "no triviales". $X\to Y$ $X\to Y$
Se puede demostrar que la función zeta de Riemann tiene ceros en los números pares negativos −2, −4, … Aunque la prueba es comparativamente fácil, este resultado normalmente no se llamaría trivial; sin embargo, en este caso lo es, ya que sus otros ceros son generalmente desconocidos y tienen aplicaciones importantes e implican preguntas abiertas (como la hipótesis de Riemann ). En consecuencia, los números pares negativos se denominan ceros triviales de la función, mientras que cualquier otro cero se considera no trivial.

Véase también

Referencias

^ abc Weisstein, Eric W. "Trivial". mathworld.wolfram.com . Consultado el 14 de diciembre de 2019 .
^ ab "Mathwords: Trivial". www.mathwords.com . Consultado el 14 de diciembre de 2019 .
^ Ayto, John (1990). Diccionario de orígenes de palabras . University of Texas Press. pág. 542. ISBN 1-55970-214-1.OCLC 33022699 .
^ Zachmanoglou, EC; Thoe, Dale W. (1986). Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales con aplicaciones. Courier Corporation. pág. 309. ISBN 9780486652511.
^ abcd Chartrand, Gary ; Polimeni, Albert D.; Zhang, Ping (2008). Demostraciones matemáticas: una transición a las matemáticas avanzadas (2.ª ed.). Boston: Pearson/Addison Wesley. pág. 68. ISBN 978-0-3-2139053-0.
^ Yan, Song Y. (2002). Teoría de números para computación (2.ª edición ilustrada). Berlín: Springer. p. 250. ISBN 3-540-43072-5.
^ Jeffrey, Alan (2004). Matemáticas para ingenieros y científicos (sexta edición). CRC Press. pág. 502. ISBN 1-58488-488-6.

Enlaces externos

Busque trivial en Wikcionario, el diccionario libre.

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