Altura de Neron-Tate

En teoría de números , la altura de Néron-Tate (o altura canónica ) es una forma cuadrática en el grupo Mordell-Weil de puntos racionales de una variedad abeliana definida sobre un campo global . Lleva el nombre de André Néron y John Tate .

Definición y propiedades

Néron definió la altura de Néron-Tate como una suma de alturas locales. ^[1] Aunque la altura global de Néron-Tate es cuadrática, las alturas locales constituyentes no son del todo cuadráticas. Tate (inédito) lo definió globalmente al observar que la altura logarítmica asociada a una gavilla invertible simétrica en una variedad abeliana es “casi cuadrática”, y usó esto para mostrar que el límite ${\displaystyle h_{L}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\hat {h}}_{L}(P)=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {h_{L}(NP)}{N^{2}}}}$

existe, define una forma cuadrática en el grupo de puntos racionales de Mordell-Weil y satisface

${\displaystyle {\hat {h}}_{L}(P)=h_{L}(P)+O(1),}$

donde la constante implícita es independiente de . ^[2] Si es antisimétrico, es decir , entonces el límite análogo ${\displaystyle O(1)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle [-1]^{*}L=L^{-1}}$

${\displaystyle {\hat {h}}_{L}(P)=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {h_{L}(NP)}{N}}}$

converge y satisface , pero en este caso es una función lineal en el grupo de Mordell-Weil. Para gavillas invertibles generales, se escribe como producto de una gavilla simétrica y una gavilla antisimétrica, y luego ${\displaystyle {\hat {h}}_{L}(P)=h_{L}(P)+O(1)}$ ${\displaystyle {\hat {h}}_{L}}$ ${\displaystyle L^{\otimes 2}=(L\otimes [-1]^{*}L)\otimes (L\otimes [-1]^{*}L^{-1})}$

${\displaystyle {\hat {h}}_{L}(P)={\frac {1}{2}}{\hat {h}}_{L\otimes [-1]^{*}L}(P)+{\frac {1}{2}}{\hat {h}}_{L\otimes [-1]^{*}L^{-1}}(P)}$

es la única función cuadrática que satisface

${\displaystyle {\hat {h}}_{L}(P)=h_{L}(P)+O(1)\quad {\mbox{and}}\quad {\hat {h}}_{L}(0)=0.}$

La altura de Néron-Tate depende de la elección de una gavilla invertible en la variedad abeliana, aunque la forma bilineal asociada depende sólo de la imagen de en el grupo de Néron-Severi . Si la variedad abeliana se define sobre un campo numérico K y la gavilla invertible es simétrica y amplia, entonces la altura de Néron-Tate es definida positiva en el sentido de que desaparece sólo en elementos de torsión del grupo Mordell-Weil . De manera más general, induce una forma cuadrática definida positiva en el espacio vectorial real . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A(K)}$ ${\displaystyle {\hat {h}}_{L}}$ ${\displaystyle A(K)\otimes \mathbb {R} }$

En una curva elíptica , el grupo Néron-Severi es de rango uno y tiene un generador amplio único, por lo que este generador se usa a menudo para definir la altura de Néron-Tate, que se denota sin referencia a un conjunto de líneas en particular. (Sin embargo, la altura que aparece naturalmente en el enunciado de la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer es el doble de esta altura). En las variedades abelianas de dimensión superior, no es necesario elegir en particular el haz de líneas amplias más pequeño que se utilizará para definir la altura. La altura de Néron-Tate, y la altura utilizada en el enunciado de la conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer es la altura de Néron-Tate asociada al haz de líneas de Poincaré en , el producto de con su dual . ${\displaystyle {\hat {h}}}$ ${\displaystyle A\times {\hat {A}}}$ ${\displaystyle A}$

Los reguladores elípticos y abelianos.

La forma bilineal asociada a la altura canónica en una curva elíptica E es ${\displaystyle {\hat {h}}}$

${\displaystyle \langle P,Q\rangle ={\frac {1}{2}}{\bigl (}{\hat {h}}(P+Q)-{\hat {h}}(P)-{\hat {h}}(Q){\bigr )}.}$

El regulador elíptico de E / K es

${\displaystyle \operatorname {Reg} (E/K)=\det {\bigl (}\langle P_{i},P_{j}\rangle {\bigr )}_{1\leq i,j\leq r},}$

donde P ₁ ,..., P _r es una base para la torsión del módulo E ( K ) del grupo Mordell-Weil (cf. determinante de Gram ). El regulador elíptico no depende de la elección de la base.

De manera más general, sea A / K una variedad abeliana, sea B ≅ Pic ⁰ ( A ) la variedad abeliana dual de A y sea P el paquete de líneas de Poincaré en A × B . Entonces el regulador abeliano de A / K se define eligiendo una base Q ₁ ,..., Q _r para la torsión del módulo A ( K ) del grupo Mordell-Weil y una base η ₁ ,..., η _r para la torsión de Mordell –Weil grupo B ( K ) módulo de torsión y ajuste

${\displaystyle \operatorname {Reg} (A/K)=\det {\bigl (}\langle Q_{i},\eta _{j}\rangle _{P}{\bigr )}_{1\leq i,j\leq r}.}$

(Las definiciones de regulador elíptico y abeliano no son del todo consistentes, ya que si A es una curva elíptica, entonces la última es 2 ^r veces la primera.)

Los reguladores elípticos y abelianos aparecen en la conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer .

Límites inferiores de la altura de Néron-Tate

Hay dos conjeturas fundamentales que dan límites inferiores para la altura de Néron-Tate. En el primero, el campo K es fijo y la curva elíptica E / K y el punto P ∈ E ( K ) varían, mientras que en el segundo, la conjetura elíptica de Lehmer , la curva E / K es fija mientras que el campo de definición de la el punto P varía.

• (Lang) ^[3]      para todos y toda no torsión ${\displaystyle {\hat {h}}(P)\geq c(K)\log \max {\bigl \{}\operatorname {Norm} _{K/\mathbb {Q} }\operatorname {Disc} (E/K),h(j(E)){\bigr \}}\quad }$ ${\displaystyle E/K}$ ${\displaystyle P\in E(K).}$
• (Lehmer) ^[4]     para todos los casos sin torsión ${\displaystyle {\hat {h}}(P)\geq {\frac {c(E/K)}{[K(P):K]}}}$ ${\displaystyle P\in E({\bar {K}}).}$

En ambas conjeturas, las constantes son positivas y dependen únicamente de las cantidades indicadas. (Una forma más fuerte de la conjetura de Lang afirma que depende sólo del grado ). Se sabe que la conjetura abc implica la conjetura de Lang, y que el análogo de la conjetura de Lang sobre campos de función unidimensionales característicos 0 es incondicionalmente verdadero. ^{[3] [5]} El mejor resultado general de la conjetura de Lehmer es la estimación más débil debida a Masser . ^[6] Cuando la curva elíptica tiene una multiplicación compleja , Laurent la ha mejorado . ^[7] Hay conjeturas análogas para las variedades abelianas, con la condición de no torsión reemplazada por la condición de que los múltiplos de formen un subconjunto denso de Zariski de , y el límite inferior en la conjetura de Lang reemplazado por , donde es la altura de Faltings de . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle [K:\mathbb {Q} ]}$ ${\displaystyle {\hat {h}}(P)\geq c(E/K)/[K(P):K]^{3+\varepsilon }}$ ${\displaystyle {\hat {h}}(P)\geq c(E/K)/[K(P):K]^{1+\varepsilon }}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\hat {h}}(P)\geq c(K)h(A/K)}$ ${\displaystyle h(A/K)}$ ${\displaystyle A/K}$

Generalizaciones

Un sistema dinámico algebraico polarizado es un triple que consta de una variedad algebraica (proyectiva suave) , un endomorfismo y un paquete de líneas con la propiedad de que para algún número entero . La altura canónica asociada viene dada por el límite de Tate ^[8] ${\displaystyle (V,\varphi ,L)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \varphi :V\to V}$ ${\displaystyle L\to V}$ ${\displaystyle \varphi ^{*}L=L^{\otimes d}}$ ${\displaystyle d>1}$

${\displaystyle {\hat {h}}_{V,\varphi ,L}(P)=\lim _{n\to \infty }{\frac {h_{V,L}(\varphi ^{(n)}(P))}{d^{n}}},}$

¿Dónde está la iteración n veces de ? Por ejemplo, cualquier morfismo de grado produce una altura canónica asociada a la relación del haz de líneas . Si se define sobre un campo numérico y es amplio, entonces la altura canónica no es negativa y ${\displaystyle \varphi ^{(n)}=\varphi \circ \cdots \circ \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi :\mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle d>1}$ ${\displaystyle \varphi ^{*}{\mathcal {O}}(1)={\mathcal {O}}(n)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle {\hat {h}}_{V,\varphi ,L}(P)=0~~\Longleftrightarrow ~~P{\text{ is preperiodic for }}\varphi .}$

( es preperiódico si su órbita de avance contiene sólo un número finito de puntos distintos). ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P,\varphi (P),\varphi ^{2}(P),\varphi ^{3}(P),\ldots }$

Referencias

1. Neron, André (1965). "Quasi-fonctions et hauteurs sur les variétés abéliennes". Ana. de Matemáticas. (en francés). 82 (2): 249–331. doi :10.2307/1970644. JSTOR  1970644. SEÑOR  0179173.
2. Lang (1997) p.72
3. Lang (1997) págs. 73–74
4. Lang (1997) págs.243
5. Hindry, Marc; Silverman, José H. (1988). "La altura canónica y puntos integrales en curvas elípticas". Inventar. Matemáticas. 93 (2): 419–450. doi :10.1007/bf01394340. SEÑOR  0948108. S2CID  121520625. Zbl  0657.14018.
6. Masser, David W. (1989). "Contando puntos de pequeña altura en curvas elípticas". Toro. Soc. Matemáticas. Francia . 117 (2): 247–265. doi : 10.24033/bsmf.2120 . SEÑOR  1015810.
7. Laurent, Michel (1983). "Minoration de la hauteur de Néron-Tate" [Límites inferiores de la altura Nerón-Tate]. En Bertin, Marie-José (ed.). Séminaire de théorie des nombres, París 1981–82 [ Seminario sobre teoría de números, París 1981–82 ]. Progreso en Matemáticas (en francés). Birkhäuser. págs. 137-151. ISBN 0-8176-3155-0. SEÑOR  0729165.
8. Llamada, Gregory S.; Silverman, José H. (1993). "Alturas canónicas sobre variedades con morfismos". Composición Matemática . 89 (2): 163–205. SEÑOR  1255693.

Referencias generales para la teoría de las alturas canónicas.

• Bombieri, Enrico ; Gubler, Walter (2006). Alturas en Geometría Diofántica . Nuevas monografías matemáticas. vol. 4. Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-71229-3. Zbl  1130.11034.
• Hindry, Marc; Silverman, José H. (2000). Geometría diofántica: una introducción . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 201.ISBN​ 0-387-98981-1. Zbl  0948.11023.
• Lang, Serge (1997). Estudio de Geometría Diofántica . Springer-Verlag . ISBN 3-540-61223-8. Zbl  0869.11051.
• JH Silverman, La aritmética de las curvas elípticas , ISBN 0-387-96203-4 

enlaces externos

• "Altura canónica sobre una curva elíptica". PlanetMath .