Grupo Mordell-Weil

grupo abeliano

En geometría aritmética , el grupo Mordell-Weil es un grupo abeliano asociado a cualquier variedad abeliana definida sobre un campo numérico . Es una invariante aritmética de la variedad abeliana. Es simplemente el grupo de puntos - de , al igual que el grupo Mordell-Weil ^{[1] [2] pág.207} . El principal teorema de estructura sobre este grupo es el teorema de Mordell-Weil, que muestra que este grupo es, de hecho, un grupo abeliano generado finitamente. Además, hay muchas conjeturas relacionadas con este grupo, como la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer que relaciona el rango de con el cero de la función L asociada en un punto especial. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A(K)}$ ${\displaystyle A(K)}$

Ejemplos

Construir ^[3] ejemplos explícitos del grupo Mordell-Weil de una variedad abeliana es un proceso no trivial que no siempre garantiza su éxito, por lo que nos especializamos en el caso de una curva elíptica específica . Dejémonos definir por la ecuación de Weierstrass. ${\displaystyle E/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle y^{2}=x(x-6)(x+6)}$

sobre los números racionales. Tiene discriminante (y este polinomio se puede utilizar para definir un modelo global ). Se puede encontrar ^[3] ${\displaystyle \Delta _{E}=2^{12}\cdot 3^{6}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}/\mathbb {Z} }$

${\displaystyle E(\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Z} /2\times \mathbb {Z} /2\times \mathbb {Z} }$

mediante el siguiente procedimiento. Primero, encontramos algunos puntos de torsión obvios al ingresar algunos números, que son

${\displaystyle \infty ,(0,0),(6,0),(-6,0)}$

Además, después de probar con algunos pares de números enteros más pequeños, encontramos un punto que obviamente no es torsión. Un resultado útil para encontrar la parte de torsión de es que la torsión del primo a , para tener una buena reducción a , denotada se inyecta en , por lo que ${\displaystyle (-3,9)}$ ${\displaystyle E(\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle E(\mathbb {Q} )_{\mathrm {tors} ,p}}$ ${\displaystyle E(\mathbb {F} _{p})}$

${\displaystyle E(\mathbb {Q} )_{\mathrm {tors} ,p}\hookrightarrow E(\mathbb {F} _{p})}$

Comprobamos dos primos y calculamos la cardinalidad de los conjuntos. ${\displaystyle p=5,7}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\#E(\mathbb {F} _{5})&=8=2^{3}\\\#E(\mathbb {F} _{7})&=12=2^{2}\cdot 3\end{aligned}}}$

Tenga en cuenta que debido a que ambos primos solo contienen un factor de , hemos encontrado todos los puntos de torsión. Además, sabemos que el punto tiene orden infinito porque de lo contrario habría un factor primo compartido por ambas cardinalidades, por lo que el rango es al menos . Ahora, calcular el rango es un proceso más arduo que consiste en calcular el grupo donde se utilizan algunas secuencias largas y exactas del álgebra homológica y el mapa de Kummer . ${\displaystyle 2^{2}}$ ${\displaystyle (-3,9)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle E(\mathbb {Q} )/2E(\mathbb {Q} )\cong (\mathbb {Z} /2)^{r+2}}$ ${\displaystyle r=\operatorname {rank} (E(\mathbb {Q} ))}$

Teoremas sobre casos especiales

Hay muchos teoremas en la literatura sobre la estructura de los grupos Mordell-Weil de variedades abelianas de dimensión específica, sobre campos específicos o que tienen alguna otra propiedad especial.

Variedades abelianas sobre el campo de funciones racionales.k(t)

Para una curva hiperelíptica y una variedad abeliana definida sobre un campo fijo , denotamos el giro de (el retroceso del campo funcional ) por un 1-cociclo ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A_{b}}$ ${\displaystyle A|_{k(t)}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k(t)=k(\mathbb {P} ^{1})}$

${\displaystyle b\in Z^{1}(\operatorname {Gal} (k(C)/k(t)),{\text{Aut}}(A))}$

para cohomología de Galois de la extensión de campo asociada al mapa de cobertura . Tenga en cuenta que el mapa es hiperelíptico. Más explícitamente, este 1-cociclo se presenta como un mapa de grupos ${\displaystyle f:C\to \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle G=\operatorname {Gal} (k(C)/k(t)\cong \mathbb {Z} /2}$

${\displaystyle G\times G\to \operatorname {Aut} (A)}$

que usar propiedades universales es lo mismo que dar dos mapas , por lo tanto podemos escribirlo como un mapa ${\displaystyle G\to {\text{Aut}}(A)}$

${\displaystyle b=(b_{id},b_{\iota })}$

donde está el mapa de inclusión y se envía a negativo . Esto se puede utilizar para definir la variedad abeliana retorcida definida utilizando la teoría general de la geometría algebraica ^{[4] pg 5} . En particular, a partir de las propiedades universales de esta construcción, es una variedad abeliana sobre la cual es isomorfa a después del cambio de base a . ${\displaystyle b_{id}}$ ${\displaystyle b_{\iota }}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} _{A}}$ ${\displaystyle A_{b}}$ ${\displaystyle k(t)}$ ${\displaystyle A_{b}}$ ${\displaystyle k(t)}$ ${\displaystyle A|_{k(C)}}$ ${\displaystyle k(C)}$

Teorema

Para la configuración dada anteriormente, ^[5] existe un isomorfismo de grupos abelianos

${\displaystyle A_{b}(k(t))\cong \operatorname {Hom} _{k}(J(C),A)\oplus A_{2}(k)}$

donde es el jacobiano de la curva y es el subgrupo de 2 torsiones de . ${\displaystyle J(C)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle A}$

Ver también

• Teorema de Mordell-Weil

Referencias

1. Tate, John T. (1 de septiembre de 1974). "La aritmética de curvas elípticas". Invenciones Mathematicae . 23 (3): 179–206. Código Bib : 1974 InMat..23..179T. doi :10.1007/BF01389745. ISSN  1432-1297. S2CID  120008651.
2. Silverman, Joseph H., 1955– (2009). La aritmética de curvas elípticas (2ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-09494-6. OCLC  405546184.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)
3. Booher, Jeremy. "El teorema de Mordell-Weil para curvas elípticas" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 27 de enero de 2021.
4. Weil, André, 1906-1998. (mil novecientos ochenta y dos). "1.3". Adeles y grupos algebraicos. Boston: Birkhäuser. ISBN 978-1-4684-9156-2. OCLC  681203844.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)
5. Hazama, Fumio (1992). "El grupo Mordell-Weil de ciertas variedades abelianas definidas sobre el campo de funciones racionales". Revista Matemática de Tohoku . 44 (3): 335–344. doi : 10.2748/tmj/1178227300 . ISSN  0040-8735.

Más ejemplos y casos

• El grupo de curvas de género 2 de Mordell-Weil
• Determinación del grupo Mordell-Weil de una curva elíptica universal
• Descenso de Galois y giros de una variedad abeliana.
• Sobre los grupos de jacobianos de Mordell-Weil sobre campos funcionales