La dinámica aritmética [1] es un campo que amalgama dos áreas de las matemáticas, los sistemas dinámicos y la teoría de números . Parte de la inspiración proviene de la dinámica compleja , el estudio de la iteración de automapas del plano complejo u otras variedades algebraicas complejas . La dinámica aritmética es el estudio de las propiedades teóricas de números de puntos enteros , racionales , p -ádicos o algebraicos bajo la aplicación repetida de una función polinómica o racional . Un objetivo fundamental es describir las propiedades aritméticas en términos de estructuras geométricas subyacentes.
La dinámica aritmética global es el estudio de análogos de la geometría diofántica clásica en el contexto de sistemas dinámicos discretos, mientras que la dinámica aritmética local , también llamada dinámica p-ádica o no arquimediana, es un análogo de la dinámica compleja en la que se reemplazan los números complejos C por un Campo p -ádico como Q p o C p y estudia el comportamiento caótico y los conjuntos de Fatou y Julia .
La siguiente tabla describe una correspondencia aproximada entre las ecuaciones diofánticas, especialmente las variedades abelianas , y los sistemas dinámicos:
Sea S un conjunto y sea F : S → S una aplicación de S a sí mismo. La iteración de F consigo mismo n veces se denota
Un punto P ∈ S es periódico si F ( n ) ( P ) = P para algún n ≥ 1 .
El punto es preperiódico si F ( k ) ( P ) es periódico para algún k ≥ 1 .
La órbita (hacia adelante) de P es el conjunto
Por tanto, P es preperiódico si y sólo si su órbita O F ( P ) es finita.
Sea F ( x ) una función racional de grado al menos dos con coeficientes en Q. Un teorema de Douglas Northcott [2] dice que F tiene sólo un número finito de puntos preperiódicos racionales Q , es decir, F tiene sólo un número finito de puntos preperiódicos en P 1 ( Q ) . La conjetura de acotación uniforme para puntos preperiódicos [3] de Patrick Morton y Joseph Silverman dice que el número de puntos preperiódicos de F en P 1 ( Q ) está acotado por una constante que depende sólo del grado de F .
De manera más general, sea F : P N → P N un morfismo de grado al menos dos definido sobre un campo numérico K . El teorema de Northcott dice que F tiene sólo un número finito de puntos preperiódicos en PN ( K ) , y la conjetura general de acotación uniforme dice que el número de puntos preperiódicos en PN ( K ) puede estar acotado únicamente en términos de N , el grado de F. , y el grado de K sobre Q .
La conjetura de la acotación uniforme no se conoce ni siquiera para polinomios cuadráticos F c ( x ) = x 2 + c sobre los números racionales Q . Se sabe en este caso que F c ( x ) no puede tener puntos periódicos del período cuatro, [4] cinco, [5] o seis, [6] aunque el resultado para el período seis depende de la validez de la conjetura de Birch. y Swinnerton-Dyer . Bjorn Poonen ha conjeturado que F c ( x ) no puede tener puntos periódicos racionales de ningún período estrictamente mayor que tres. [7]
La órbita de un mapa racional puede contener infinitos números enteros. Por ejemplo, si F ( x ) es un polinomio con coeficientes enteros y si a es un número entero, entonces está claro que toda la órbita O F ( a ) consta de números enteros. De manera similar, si F ( x ) es un mapa racional y alguna iteración F ( n ) ( x ) es un polinomio con coeficientes enteros, entonces cada n -ésima entrada en la órbita es un número entero. Un ejemplo de este fenómeno es el mapa F ( x ) = x −d , cuya segunda iteración es un polinomio. Resulta que ésta es la única forma en que una órbita puede contener una infinidad de números enteros.
Hay conjeturas generales debidas a Shouwu Zhang [10] y otros sobre subvariedades que contienen infinitos puntos periódicos o que cruzan una órbita en infinitos puntos. Estos son análogos dinámicos de, respectivamente, la conjetura de Manin-Mumford , probada por Michel Raynaud , y la conjetura de Mordell-Lang , probada por Gerd Faltings . Las siguientes conjeturas ilustran la teoría general en el caso de que la subvariedad sea una curva.
El campo de la dinámica p-ádica (o no arquimediana) es el estudio de cuestiones dinámicas clásicas sobre un campo K que es completo con respecto a un valor absoluto no arquimediano. Ejemplos de tales campos son el campo de p -racionales ádicos Q p y la finalización de su cierre algebraico C p . La métrica de K y la definición estándar de equicontinuidad conducen a la definición habitual de los conjuntos de Fatou y Julia de un mapa racional F ( x ) ∈ K ( x ) . Hay muchas similitudes entre las teorías compleja y no arquímediana, pero también muchas diferencias. Una diferencia sorprendente es que en el contexto no arquimediano, el conjunto de Fatou siempre no está vacío, pero el conjunto de Julia puede estarlo. Esto es lo contrario de lo que ocurre con los números complejos. La dinámica no arquimediana se ha extendido al espacio de Berkovich , [11] que es un espacio compacto conectado que contiene el campo compacto no localmente desconectado C p .
Existen generalizaciones naturales de la dinámica aritmética en las que Q y Q p son reemplazados por campos numéricos y sus terminaciones p -ádicas. Otra generalización natural es reemplazar los automapas de P 1 o P N con automapas (morfismos) V → V de otras variedades afines o proyectivas .
Hay muchos otros problemas de naturaleza teórica de números que aparecen en el contexto de sistemas dinámicos, entre ellos:
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