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Espacio de Berkovich

En matemáticas , un espacio de Berkovich , introducido por Berkovich  (1990), es una versión de un espacio analítico sobre un cuerpo no arquimediano (por ejemplo, un cuerpo p -ádico ), que refina la noción de Tate de un espacio analítico rígido .

Motivación

En el caso complejo , la geometría algebraica comienza definiendo el espacio afín complejo como Para cada definimos el anillo de funciones analíticas en como el anillo de funciones holomorfas , es decir, funciones en que pueden escribirse como una serie de potencias convergentes en un entorno de cada punto.

Luego definimos un espacio de modelo local para ser

Un espacio analítico complejo es un espacio anillado localmente que es localmente isomorfo a un espacio modelo local.

Cuando es un cuerpo no arquimediano completo , tenemos que es totalmente desconectado . En tal caso, si continuamos con la misma definición que en el caso complejo, no obtendríamos una buena teoría analítica. Berkovich dio una definición que da buenos espacios analíticos sobre tales , y también devuelve la definición habitual sobre

Además de definir funciones analíticas sobre cuerpos no arquimedianos, los espacios de Berkovich también tienen un bonito espacio topológico subyacente .

Espectro de Berkovich

Una seminorma en un anillo es una función no constante tal que

para todos . Se llama multiplicativo si y se llama norma si implica .

Si es un anillo normado con norma entonces el espectro de Berkovich de , denotado , es el conjunto de seminomas multiplicativas en que están acotadas por la norma de .

El espectro de Berkovich está equipado con la topología más débil, de modo que para cualquier mapa

es continua

El espectro de Berkovich de un anillo normado no está vacío si es distinto de cero y es compacto si es completo.

Si es un punto del espectro de entonces los elementos con forman un ideal primo de . El cuerpo de fracciones del cociente por este ideal primo es un cuerpo normado, cuya completitud es un cuerpo completo con norma multiplicativa; este cuerpo se denota por y la imagen de un elemento se denota por . El cuerpo es generado por la imagen de .

Por el contrario, una función acotada de a un cuerpo normado completo con una norma multiplicativa generada por la imagen de da un punto en el espectro de .

El radio espectral de

es igual a

Ejemplos

Espacio afín de Berkovich

Si es un campo con una valoración , entonces el espacio afín de Berkovich n -dimensional sobre , denotado , es el conjunto de seminomas multiplicativas en que extienden la norma en .

El espacio afín de Berkovich está equipado con la topología más débil, de modo que para cualquier función que tome es continua. No se trata de un espectro de Berkovich, sino de una unión creciente de los espectros de Berkovich de anillos de series de potencias que convergen en alguna bola (por lo que es localmente compacto).

Definimos una función analítica en un subconjunto abierto como una función

con , que es un límite local de funciones racionales, es decir, tal que cada punto tiene un vecindario abierto con la siguiente propiedad:

Continuando con las mismas definiciones que en el caso complejo, se puede definir el anillo de funciones analíticas, el espacio de modelos locales y los espacios analíticos sobre cualquier cuerpo con una valoración (también se pueden definir objetos similares sobre anillos normalizados). Esto da objetos razonables para cuerpos completos con respecto a una valoración no trivial y el anillo de números enteros.

En el caso de que esto dé los mismos objetos que se describen en la sección de motivación.

Estos espacios analíticos no son todos espacios analíticos sobre cuerpos no arquimedianos.

Línea afín de Berkovich

El espacio afín de Berkovich unidimensional se denomina línea afín de Berkovich . Cuando es un cuerpo no arquimediano algebraicamente cerrado , completo respecto de su valoración, se pueden describir todos los puntos de la línea afín.

Hay una incrustación canónica .

El espacio es un espacio topológico localmente compacto, de Hausdorff y conexo por caminos único, que contiene un subespacio denso .

También se puede definir la línea proyectiva de Berkovich uniendo a , de manera adecuada, un punto en el infinito. El espacio resultante es un espacio topológico compacto, de Hausdorff y conexo por caminos únicos que contiene como un subespacio denso.

Referencias

Enlaces externos