la conjetura de lehmer

Límite inferior propuesto en la medida de Mahler para polinomios con coeficientes enteros

La conjetura de Lehmer , también conocida como problema de la medida de Mahler de Lehmer, es un problema de teoría de números planteado por Derrick Henry Lehmer . ^[1] La conjetura afirma que existe una constante absoluta tal que todo polinomio con coeficientes enteros satisface una de las siguientes propiedades: ${\displaystyle \mu >1}$ ${\displaystyle P(x)\in \mathbb {Z} [x]}$

• La medida de Mahler ^[2] de es mayor o igual a . ${\displaystyle {\mathcal {M}}(P(x))}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle \mu }$
• ${\displaystyle P(x)}$es un múltiplo integral de un producto de polinomios ciclotómicos o del monomio , en cuyo caso . (De manera equivalente, toda raíz compleja de es una raíz de unidad o cero). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(P(x))=1}$ ${\displaystyle P(x)}$

Hay varias definiciones de la medida de Mahler, una de las cuales es factorizar como ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle P(x)=a_{0}(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{D}),}$

y luego establecer

${\displaystyle {\mathcal {M}}(P(x))=|a_{0}|\prod _{i=1}^{D}\max(1,|\alpha _{i}|).}$

La medida de Mahler más pequeña conocida (mayor que 1) es para el "polinomio de Lehmer".

${\displaystyle P(x)=x^{10}+x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}+x+1\,,}$

para lo cual la medida de Mahler es el número de Salem ^[3]

${\displaystyle {\mathcal {M}}(P(x))=1.176280818\dots \ .}$

Se cree ampliamente que este ejemplo representa el verdadero valor mínimo: es decir, en la conjetura de Lehmer. ^{[4] [5]} ${\displaystyle \mu =1.176280818\dots }$

Motivación

Considere la medida de Mahler para una variable y la fórmula de Jensen muestra que si entonces ${\displaystyle P(x)=a_{0}(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{D})}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}(P(x))=|a_{0}|\prod _{i=1}^{D}\max(1,|\alpha _{i}|).}$

En este párrafo denotamos　lo que también se llama medida de Mahler . ${\displaystyle m(P)=\log({\mathcal {M}}(P(x))}$

Si tiene coeficientes enteros, esto muestra que es un número algebraico , al igual que el logaritmo de un número entero algebraico. También muestra que y que si entonces es un producto de polinomios ciclotómicos , es decir, polinomios mónicos cuyas raíces son raíces de la unidad, o un polinomio monomio de, es decir, una potencia para algunos . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(P)}$ ${\displaystyle m(P)}$ ${\displaystyle m(P)\geq 0}$ ${\displaystyle m(P)=0}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{n}}$ ${\displaystyle n}$

Lehmer notó ^{[1] [6]} que es un valor importante en el estudio de las secuencias enteras para monic . Si no desaparece en el círculo, entonces . Si desaparece en el círculo pero no en ninguna raíz de la unidad, entonces la misma convergencia se cumple según el teorema de Baker (de hecho, un resultado anterior de Gelfond es suficiente para esto, como señaló Lind en relación con su estudio de los automorfismos torales cuasihiperbólicos ^{[ 7]} ). ^[8] Como resultado, Lehmer se vio obligado a preguntar ${\displaystyle m(P)=0}$ ${\displaystyle \Delta _{n}={\text{Res}}(P(x),x^{n}-1)=\prod _{i=1}^{D}(\alpha _{i}^{n}-1)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \lim |\Delta _{n}|^{1/n}={\mathcal {M}}(P)}$ ${\displaystyle P}$

¿Existe una constante tal que la proporcionada no sea ciclotómica? ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle m(P)>c}$ ${\displaystyle P}$

o

dado , ¿hay coeficientes enteros para los cuales ? ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle 0<m(P)<c}$

A continuación se han proporcionado algunas respuestas positivas, pero la conjetura de Lehmer aún no está completamente demostrada y sigue siendo una cuestión de gran interés.

Resultados parciales

Sea un polinomio mónico irreducible de grado . ${\displaystyle P(x)\in \mathbb {Z} [x]}$ ${\displaystyle D}$

Smyth ^[9] demostró que la conjetura de Lehmer es cierta para todos los polinomios que no son recíprocos , es decir, todos los polinomios que satisfacen . ${\displaystyle x^{D}P(x^{-1})\neq P(x)}$

Blanksby y Montgomery ^[10] y Stewart ^[11] demostraron de forma independiente que existe una constante absoluta tal que o bien [ ^12] ${\displaystyle C>1}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(P(x))=1}$

${\displaystyle \log {\mathcal {M}}(P(x))\geq {\frac {C}{D\log D}}.}$

Dobrowolski ^[13] mejoró esto a

${\displaystyle \log {\mathcal {M}}(P(x))\geq C\left({\frac {\log \log D}{\log D}}\right)^{3}.}$

Dobrowolski obtuvo el valor C ≥ 1/1200 y asintóticamente C > 1-ε para todos los D suficientemente grandes . Voutier en 1996 obtuvo C ≥ 1/4 para D ≥ 2. ^[14]

Análogos elípticos

Sea una curva elíptica definida sobre un campo numérico y sea la función de altura canónica . La altura canónica es análoga a las curvas elípticas de la función . Tiene la propiedad de que si y sólo si es un punto de torsión en . La conjetura elíptica de Lehmer afirma que existe una constante tal que ${\displaystyle E/K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\hat {h}}_{E}:E({\bar {K}})\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (\deg P)^{-1}\log {\mathcal {M}}(P(x))}$ ${\displaystyle {\hat {h}}_{E}(Q)=0}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle E({\bar {K}})}$ ${\displaystyle C(E/K)>0}$

${\displaystyle {\hat {h}}_{E}(Q)\geq {\frac {C(E/K)}{D}}}$para todos los puntos que no son de torsión , ${\displaystyle Q\in E({\bar {K}})}$

dónde . Si la curva elíptica E tiene una multiplicación compleja , entonces se cumple el análogo del resultado de Dobrowolski: ${\displaystyle D=[K(Q):K]}$

${\displaystyle {\hat {h}}_{E}(Q)\geq {\frac {C(E/K)}{D}}\left({\frac {\log \log D}{\log D}}\right)^{3},}$

debido a Laurent. ^[15] Para curvas elípticas arbitrarias, el resultado más conocido es

${\displaystyle {\hat {h}}_{E}(Q)\geq {\frac {C(E/K)}{D^{3}(\log D)^{2}}},}$

debido a Masser . ^{[16] Para curvas elípticas con} invariante j no integral , esto se ha mejorado para

${\displaystyle {\hat {h}}_{E}(Q)\geq {\frac {C(E/K)}{D^{2}(\log D)^{2}}},}$

por Hindry y Silverman . ^[17]

Resultados restringidos

Se conocen resultados más sólidos para clases restringidas de polinomios o números algebraicos.

Si P ( x ) no es recíproco entonces

${\displaystyle M(P)\geq M(x^{3}-x-1)\approx 1.3247}$

y esto es claramente lo mejor posible. ^[18] Si además todos los coeficientes de P son impares, entonces ^[19]

${\displaystyle M(P)\geq M(x^{2}-x-1)\approx 1.618.}$

Para cualquier número algebraico α , sea la medida de Mahler del polinomio mínimo de α . Si el campo Q ( α ) es una extensión de Galois de Q , entonces la conjetura de Lehmer es válida para . ^[19] ${\displaystyle M(\alpha )}$ ${\displaystyle P_{\alpha }}$ ${\displaystyle P_{\alpha }}$

Relación con la estructura de automorfismos de grupos compactos.

Se sabe que la entropía teórica de la medida de un automorfismo ergódico de un grupo abeliano compacto metrizable viene dada por la medida logarítmica de Mahler de un polinomio con coeficientes enteros si es finito. ^[20] Como señaló Lind, esto significa que el conjunto de valores posibles de la entropía de tales acciones es todo  o un conjunto contable dependiendo de la solución al problema de Lehmer. ^[21] Lind también demostró que el toro de dimensión infinita tiene automorfismos ergódicos de entropía positiva finita o solo tiene automorfismos de entropía infinita dependiendo de la solución al problema de Lehmer. Dado que un automorfismo de grupo compacto ergódico es mensurable isomorfo a un cambio de Bernoulli , y los cambios de Bernoulli se clasifican hasta un isomorfismo medible por su entropía según el teorema de Ornstein , esto significa que el espacio de módulos de todos los automorfismos de grupo compacto ergódico hasta un isomorfismo medible es contable o incontables dependiendo de la solución al problema de Lehmer. ${\displaystyle (0,\infty ]}$

Referencias

1. Lehmer, DH (1933). "Factorización de determinadas funciones ciclotómicas". Ana. Matemáticas . 2. 34 (3): 461–479. doi :10.2307/1968172. hdl : 10338.dmlcz/128119 . ISSN  0003-486X. JSTOR  1968172. Zbl  0007.19904.
2. Smith, Chris (2008). "La medida de Mahler de números algebraicos: una encuesta". En McKee, James; Smith, Chris (eds.). Teoría de números y polinomios . Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 322–349. ISBN 978-0-521-71467-9.
3. Borwein, Peter (2002). Excursiones computacionales en análisis y teoría de números . Libros CMS de Matemáticas. Springer-Verlag . pag. 16.ISBN​ 0-387-95444-9. Zbl  1020.12001.
4. Smyth (2008) p.324
5. Everest, Graham ; van der Poorten, Alf ; Shparlinski, Igor; Barrio, Thomas (2003). Secuencias de recurrencia . Encuestas y monografías matemáticas. vol. 104. Providence, RI : Sociedad Matemática Estadounidense . pag. 30.ISBN​ 0-8218-3387-1. Zbl  1033.11006.
6. Boyd, David (1981). "Especulaciones sobre el alcance de la medida de Mahler". Canadá. Matemáticas. Toro. 24 (4): 453–469. doi : 10.4153/CMB-1981-069-5 .
7. Lind, DA (1982). "Propiedades dinámicas de automorfismos torales cuasihiperbólicos". Teoría ergódica y sistemas dinámicos . 2 : 49–68. doi : 10.1017/s0143385700009573 . S2CID  120859454.
8. Everest, Graham; Barrio, Thomas (1999). Alturas de polinomios y entropía en dinámica algebraica. Londres: Springer . doi :10.1007/978-1-4471-3898-3. ISBN 1-85233-125-9.
9. Smyth, CJ (1971). "Sobre el producto de los conjugados fuera del círculo unitario de un número entero algebraico". Boletín de la Sociedad Matemática de Londres . 3 (2): 169-175. doi :10.1112/blms/3.2.169. Zbl  1139.11002.
10. Blanksby, educación física; Montgomery, HL (1971). "Enteros algebraicos cerca del círculo unitario". Acta Arith . 18 : 355–369. doi : 10.4064/aa-18-1-355-369 . Zbl  0221.12003.
11. Stewart, CL (1978). "Enteros algebraicos cuyos conjugados se encuentran cerca del círculo unitario". Toro. Soc. Matemáticas. Francia . 106 : 169-176. doi : 10.24033/bsmf.1868 .
12. Smyth (2008) p.325
13. Dobrowolski, E. (1979). "Sobre una cuestión de Lehmer y el número de factores irreducibles de un polinomio". Acta Arith . 34 (4): 391–401. doi : 10.4064/aa-34-4-391-401 .
14. P. Voutier, Un límite inferior efectivo para la altura de los números algebraicos, Acta Arith. 74 (1996), 81–95.
15. Smyth (2008) p.327
16. Masser, DW (1989). "Contando puntos de pequeña altura en curvas elípticas". Toro. Soc. Matemáticas. P.​ 117 (2): 247–265. doi : 10.24033/bsmf.2120 . Zbl  0723.14026.
17. Hindry, Marc; Silverman, José H. (1990). "Sobre la conjetura de Lehmer para curvas elípticas". En Goldstein, Catherine (ed.). Semin. Teor. Nombres, París/P. 1988-89 . Prog. Matemáticas. vol. 91, págs. 103-116. ISBN 0-8176-3493-2. Zbl  0741.14013.
18. Smyth (2008) p.328
19. Smyth (2008) p.329
20. Lind, Douglas; Schmidt, Klaus; Sala, Tom (1990). "Medida de Mahler y entropía para conmutar automorfismos de grupos compactos". Invenciones Mathematicae . 101 : 593–629. Código Bib : 1990 InMat.101..593L. doi :10.1007/BF01231517. S2CID  17077751.
21. Lind, Douglas (1977). "La estructura de productos sesgados con automorfismos de grupos ergódicos". Revista Israelí de Matemáticas . 28 (3): 205–248. doi :10.1007/BF02759810. S2CID  120160631.

enlaces externos

• http://wayback.cecm.sfu.ca/~mjm/Lehmer/ es una buena referencia sobre el problema.
• Weisstein, Eric W. "Problema de la medida Mahler de Lehmer". MundoMatemático .