Altura de Néron-Tate

En teoría de números , la altura de Néron-Tate (o altura canónica ) es una forma cuadrática del grupo de Mordell-Weil de puntos racionales de una variedad abeliana definida sobre un cuerpo global . Recibe su nombre en honor a André Néron y John Tate .

Definición y propiedades

Néron definió la altura de Néron-Tate como una suma de alturas locales. ^[1] Aunque la altura global de Néron-Tate es cuadrática, las alturas locales constituyentes no son del todo cuadráticas. Tate (no publicado) la definió globalmente al observar que la altura logarítmica asociada a un haz invertible simétrico en una variedad abeliana es “casi cuadrática”, y utilizó esto para mostrar que el límite ${\displaystyle h_{L}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\hat {h}}_{L}(P)=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {h_{L}(NP)}{N^{2}}}}$

existe, define una forma cuadrática en el grupo de Mordell-Weil de puntos racionales y satisface

${\displaystyle {\hat {h}}_{L}(P)=h_{L}(P)+O(1),}$

donde la constante implícita es independiente de . ^[2] Si es antisimétrica, es decir , entonces el límite análogo ${\displaystyle O(1)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle [-1]^{*}L=L^{-1}}$

${\displaystyle {\hat {h}}_{L}(P)=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {h_{L}(NP)}{N}}}$

converge y satisface , pero en este caso es una función lineal en el grupo de Mordell-Weil. Para haces invertibles generales, se escribe como un producto de un haz simétrico y un haz antisimétrico, y luego ${\displaystyle {\hat {h}}_{L}(P)=h_{L}(P)+O(1)}$ ${\displaystyle {\hat {h}}_{L}}$ ${\displaystyle L^{\otimes 2}=(L\otimes [-1]^{*}L)\otimes (L\otimes [-1]^{*}L^{-1})}$

${\displaystyle {\hat {h}}_{L}(P)={\frac {1}{2}}{\hat {h}}_{L\otimes [-1]^{*}L}(P)+{\frac {1}{2}}{\hat {h}}_{L\otimes [-1]^{*}L^{-1}}(P)}$

¿Es la única función cuadrática satisfactoria?

${\displaystyle {\hat {h}}_{L}(P)=h_{L}(P)+O(1)\quad {\mbox{and}}\quad {\hat {h}}_{L}(0)=0.}$

La altura de Néron–Tate depende de la elección de un haz invertible en la variedad abeliana, aunque la forma bilineal asociada depende solo de la imagen de en el grupo de Néron–Severi de . Si la variedad abeliana está definida sobre un cuerpo numérico K y el haz invertible es simétrico y amplio, entonces la altura de Néron–Tate es definida positiva en el sentido de que se desvanece solo en elementos de torsión del grupo de Mordell–Weil . De manera más general, induce una forma cuadrática definida positiva en el espacio vectorial real . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A(K)}$ ${\displaystyle {\hat {h}}_{L}}$ ${\displaystyle A(K)\otimes \mathbb {R} }$

En una curva elíptica , el grupo de Néron-Severi es de rango uno y tiene un generador amplio único, por lo que este generador se utiliza a menudo para definir la altura de Néron-Tate, que se denota sin referencia a un fibrado lineal particular. (Sin embargo, la altura que aparece naturalmente en el enunciado de la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer es el doble de esta altura). En variedades abelianas de mayor dimensión, no es necesario que haya una elección particular del fibrado lineal amplio más pequeño para utilizar en la definición de la altura de Néron-Tate, y la altura utilizada en el enunciado de la conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer es la altura de Néron-Tate asociada al fibrado lineal de Poincaré en , el producto de con su dual . ${\displaystyle {\hat {h}}}$ ${\displaystyle A\times {\hat {A}}}$ ${\displaystyle A}$

Los reguladores elípticos y abelianos

La forma bilineal asociada a la altura canónica en una curva elíptica E es ${\displaystyle {\hat {h}}}$

${\displaystyle \langle P,Q\rangle ={\frac {1}{2}}{\bigl (}{\hat {h}}(P+Q)-{\hat {h}}(P)-{\hat {h}}(Q){\bigr )}.}$

El regulador elíptico de E / K es

${\displaystyle \operatorname {Reg} (E/K)=\det {\bigl (}\langle P_{i},P_{j}\rangle {\bigr )}_{1\leq i,j\leq r},}$

donde P ₁ ,..., P _r es una base para el grupo de Mordell–Weil E ( K ) módulo torsión (cf. determinante de Gram ). El regulador elíptico no depende de la elección de la base.

De manera más general, sea A / K una variedad abeliana, sea B ≅ Pic ⁰ ( A ) la variedad abeliana dual de A , y sea P el fibrado lineal de Poincaré en A × B . Entonces el regulador abeliano de A / K se define eligiendo una base Q ₁ ,..., Q _r para el grupo de Mordell–Weil A ( K ) módulo torsión y una base η ₁ ,..., η _r para el grupo de Mordell–Weil B ( K ) módulo torsión y estableciendo

${\displaystyle \operatorname {Reg} (A/K)=\det {\bigl (}\langle Q_{i},\eta _{j}\rangle _{P}{\bigr )}_{1\leq i,j\leq r}.}$

(Las definiciones de regulador elíptico y abeliano no son del todo consistentes, ya que si A es una curva elíptica, entonces esta última es 2 ^r veces la primera.)

Los reguladores elípticos y abelianos aparecen en la conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer .

Límites inferiores para la altura de Néron–Tate

Existen dos conjeturas fundamentales que dan cotas inferiores para la altura de Néron–Tate. En la primera, el campo K es fijo y la curva elíptica E / K y el punto P ∈ E ( K ) varían, mientras que en la segunda, la conjetura elíptica de Lehmer , la curva E / K es fija mientras que el campo de definición del punto P varía.

• (Lang) ^[3]      para todos y todas las no-torsiones ${\displaystyle {\hat {h}}(P)\geq c(K)\log \max {\bigl \{}\operatorname {Norm} _{K/\mathbb {Q} }\operatorname {Disc} (E/K),h(j(E)){\bigr \}}\quad }$ ${\displaystyle E/K}$ ${\displaystyle P\in E(K).}$
• (Lehmer) ^[4]     para todas las no torsiones ${\displaystyle {\hat {h}}(P)\geq {\frac {c(E/K)}{[K(P):K]}}}$ ${\displaystyle P\in E({\bar {K}}).}$

En ambas conjeturas, las constantes son positivas y dependen solo de las cantidades indicadas. (Una forma más fuerte de la conjetura de Lang afirma que depende solo del grado .) Se sabe que la conjetura abc implica la conjetura de Lang, y que el análogo de la conjetura de Lang sobre campos de funciones 0 característicos unidimensionales es incondicionalmente verdadero. ^{[3] [5]} El mejor resultado general en la conjetura de Lehmer es la estimación más débil debido a Masser . ^[6] Cuando la curva elíptica tiene multiplicación compleja , esto ha sido mejorado a por Laurent. ^[7] Hay conjeturas análogas para variedades abelianas, con la condición de no torsión reemplazada por la condición de que los múltiplos de forman un subconjunto denso de Zariski de , y el límite inferior en la conjetura de Lang reemplazado por , donde es la altura de Faltings de . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle [K:\mathbb {Q} ]}$ ${\displaystyle {\hat {h}}(P)\geq c(E/K)/[K(P):K]^{3+\varepsilon }}$ ${\displaystyle {\hat {h}}(P)\geq c(E/K)/[K(P):K]^{1+\varepsilon }}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\hat {h}}(P)\geq c(K)h(A/K)}$ ${\displaystyle h(A/K)}$ ${\displaystyle A/K}$

Generalizaciones

Un sistema dinámico algebraico polarizado es una tripleta que consta de una variedad algebraica (proyectiva suave) , un endomorfismo y un fibrado lineal con la propiedad de que para algún entero . La altura canónica asociada está dada por el límite de Tate ^[8] ${\displaystyle (V,\varphi ,L)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \varphi :V\to V}$ ${\displaystyle L\to V}$ ${\displaystyle \varphi ^{*}L=L^{\otimes d}}$ ${\displaystyle d>1}$

${\displaystyle {\hat {h}}_{V,\varphi ,L}(P)=\lim _{n\to \infty }{\frac {h_{V,L}(\varphi ^{(n)}(P))}{d^{n}}},}$

donde es la iteración n -fold de . Por ejemplo, cualquier morfismo de grado produce una altura canónica asociada a la relación de fibrado lineal . Si se define sobre un cuerpo numérico y es amplio, entonces la altura canónica no es negativa, y ${\displaystyle \varphi ^{(n)}=\varphi \circ \cdots \circ \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi :\mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle d>1}$ ${\displaystyle \varphi ^{*}{\mathcal {O}}(1)={\mathcal {O}}(n)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle {\hat {h}}_{V,\varphi ,L}(P)=0~~\Longleftrightarrow ~~P{\text{ is preperiodic for }}\varphi .}$

( es preperiódico si su órbita directa contiene sólo un número finito de puntos distintos). ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P,\varphi (P),\varphi ^{2}(P),\varphi ^{3}(P),\ldots }$

Referencias

1. Neron, André (1965). "Quasi-fonctions et hauteurs sur les variétés abéliennes". Ana. de Matemáticas. (en francés). 82 (2): 249–331. doi :10.2307/1970644. JSTOR  1970644. SEÑOR  0179173.
2. Lang (1997) pág. 72
3. Lang (1997) págs. 73-74
4. Lang (1997) pág. 243
5. Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (1988). "La altura canónica y los puntos integrales en curvas elípticas". Invent. Math. 93 (2): 419–450. doi :10.1007/bf01394340. MR  0948108. S2CID  121520625. Zbl  0657.14018.
6. Masser, David W. (1989). "Conteo de puntos de pequeña altura en curvas elípticas". Bull. Soc. Math. Francia . 117 (2): 247–265. doi : 10.24033/bsmf.2120 . MR  1015810.
7. Laurent, Michel (1983). "Minoration de la hauteur de Néron-Tate" [Límites inferiores de la altura Nerón-Tate]. En Bertin, Marie-José (ed.). Séminaire de théorie des nombres, París 1981–82 [ Seminario sobre teoría de números, París 1981–82 ]. Progreso en Matemáticas (en francés). Birkhäuser. págs. 137-151. ISBN 0-8176-3155-0.Sr. 0729165  .
8. Call, Gregory S.; Silverman, Joseph H. (1993). "Alturas canónicas en variedades con morfismos". Compositio Mathematica . 89 (2): 163–205. MR  1255693.

Referencias generales para la teoría de alturas canónicas

• Bombieri, Enrico ; Gubler, Walter (2006). Alturas en geometría diofántica . Nuevas monografías matemáticas. Vol. 4. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-71229-3.Zbl 1130.11034  .
• Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000). Geometría diofántica: una introducción . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 201. ISBN 0-387-98981-1.Zbl 0948.11023  .
• Lang, Serge (1997). Estudio de la geometría diofántica . Springer-Verlag . ISBN 3-540-61223-8.Zbl 0869.11051  .
• JH Silverman, La aritmética de las curvas elípticas , ISBN 0-387-96203-4 

Enlaces externos

• "Altura canónica en una curva elíptica". PlanetMath .