Función zeta de Igusa

Tipos de funciones generadoras en matemáticas

En matemáticas , una función zeta de Igusa es un tipo de función generadora , que cuenta el número de soluciones de una ecuación, módulo p , p ² , p ³ , etc.

Definición

Para un número primo p sea K un cuerpo p-ádico , es decir , R el anillo de valoración y P el ideal maximalista . Para denotamos por la valoración de z , , y para un parámetro uniformizante π de R . ${\displaystyle [K:\mathbb {Q} _{p}]<\infty }$ ${\displaystyle z\in K}$ ${\displaystyle \operatorname {ord} (z)}$ ${\displaystyle \mid z\mid =q^{-\operatorname {ord} (z)}}$ ${\displaystyle ac(z)=z\pi ^{-\operatorname {ord} (z)}}$

Además, sea una función de Schwartz-Bruhat , es decir, una función localmente constante con soporte compacto y sea un carácter de . ${\displaystyle \phi :K^{n}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle R^{\times }}$

En esta situación se asocia a un polinomio no constante la función zeta de Igusa ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})\in K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$

${\displaystyle Z_{\phi }(s,\chi )=\int _{K^{n}}\phi (x_{1},\ldots ,x_{n})\chi (ac(f(x_{1},\ldots ,x_{n})))|f(x_{1},\ldots ,x_{n})|^{s}\,dx}$

donde y dx es la medida de Haar tan normalizada que tiene medida 1. ${\displaystyle s\in \mathbb {C} ,\operatorname {Re} (s)>0,}$ ${\displaystyle R^{n}}$

Teorema de Igusa

Jun-Ichi Igusa  (1974) demostró que es una función racional en . La prueba utiliza el teorema de Heisuke Hironaka sobre la resolución de singularidades . Más tarde, Jan Denef proporcionó una prueba completamente diferente utilizando la descomposición de celdas p-ádicas. Sin embargo, se sabe poco sobre fórmulas explícitas. (Existen algunos resultados sobre funciones zeta de Igusa de variedades de Fermat .) ${\displaystyle Z_{\phi }(s,\chi )}$ ${\displaystyle t=q^{-s}}$

Congruencias módulo potencias dePAG

De ahora en adelante tomamos como función característica de y como carácter trivial. Sea el número de soluciones de la congruencia ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle R^{n}}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle N_{i}}$

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})\equiv 0\mod P^{i}}$.

Entonces la función zeta de Igusa

${\displaystyle Z(t)=\int _{R^{n}}|f(x_{1},\ldots ,x_{n})|^{s}\,dx}$

Está estrechamente relacionada con la serie de Poincaré.

${\displaystyle P(t)=\sum _{i=0}^{\infty }q^{-in}N_{i}t^{i}}$

por

${\displaystyle P(t)={\frac {1-tZ(t)}{1-t}}.}$

Referencias

• Igusa, Jun-Ichi (1974), "Poderes complejos y expansiones asintóticas. I. Funciones de ciertos tipos", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1974 (268–269): 110–130, doi :10.1515/crll.1974.268 -269.110, Zbl  0287.43007
• La información para este artículo fue extraída de J. Denef, Informe sobre la función zeta local de Igusa, Séminaire Bourbaki 43 (1990-1991), exp. 741; Astérisque 201-202-203 (1991), 359-386