El teorema de Ax-Kochen , llamado así por James Ax y Simon B. Kochen , establece que para cada entero positivo d existe un conjunto finito Y d de números primos, tal que si p es cualquier primo no en Y d entonces todo polinomio homogéneo de grado d sobre los números p-ádicos en al menos d 2 + 1 variables tiene un cero no trivial. [1]
La prueba del teorema hace un uso extensivo de métodos de la lógica matemática , como la teoría de modelos .
Primero se prueba el teorema de Serge Lang , afirmando que el teorema análogo es verdadero para el cuerpo F p (( t )) de serie formal de Laurent sobre un cuerpo finito F p con . En otras palabras, todo polinomio homogéneo de grado d con más de d 2 variables tiene un cero no trivial (por lo que F p (( t )) es un cuerpo C 2 ).
Luego se muestra que si dos campos con valores henselianos tienen grupos de valoración y campos de residuos equivalentes, y los campos de residuos tienen característica 0, entonces son elementalmente equivalentes (lo que significa que una oración de primer orden es verdadera para uno si y solo si es verdadera para el otro).
A continuación, se aplica esto a dos cuerpos, uno dado por un ultraproducto sobre todos los primos de los cuerpos F p (( t )) y el otro dado por un ultraproducto sobre todos los primos de los cuerpos p -ádicos Q p . Ambos cuerpos de residuos están dados por un ultraproducto sobre los cuerpos F p , por lo que son isomorfos y tienen característica 0, y ambos grupos de valores son los mismos, por lo que los ultraproductos son elementalmente equivalentes. (Se utiliza la toma de ultraproductos para forzar que el cuerpo de residuos tenga característica 0; los cuerpos de residuos de F p (( t )) y Q p tienen ambos característica p distinta de cero ).
La equivalencia elemental de estos ultraproductos implica que para cualquier oración en el lenguaje de cuerpos valuados, existe un conjunto finito Y de primos excepcionales, de modo que para cualquier p no incluido en este conjunto la oración es verdadera para F p (( t )) si y solo si es verdadera para el cuerpo de números p -ádicos. Aplicando esto a la oración que establece que todo polinomio homogéneo no constante de grado d en al menos d 2 +1 variables representa 0, y utilizando el teorema de Lang, se obtiene el teorema de Ax-Kochen.
Jan Denef encontró una prueba puramente geométrica para una conjetura de Jean-Louis Colliot-Thélène que generaliza el teorema de Ax-Kochen. [2] [3]
Emil Artin conjeturó este teorema con el conjunto excepcional finito Y d siendo vacío (es decir, que todos los cuerpos p -ádicos son C 2 ), pero Guy Terjanian [4] encontró el siguiente contraejemplo 2-ádico para d = 4. Definir
Entonces G tiene la propiedad de que es 1 mod 4 si alguna x es impar, y 0 mod 16 en caso contrario. De esto se sigue fácilmente que la forma homogénea
de grado d = 4 en 18 > d 2 variables no tiene ceros no triviales sobre los enteros 2-ádicos.
Posteriormente, Terjanian [5] demostró que para cada primo p y múltiplo d > 2 de p ( p − 1), existe una forma sobre los números p -ádicos de grado d con más de d 2 variables pero ningún cero no trivial. En otras palabras, para todo d > 2, Y d contiene todos los primos p tales que p ( p − 1) divide a d .
Brown (1978) dio un límite explícito pero muy grande para el conjunto excepcional de primos p . Si el grado d es 1, 2 o 3, el conjunto excepcional está vacío. Heath-Brown (2010) demostró que si d = 5, el conjunto excepcional está limitado por 13, y Wooley (2008) demostró que para d = 7, el conjunto excepcional está limitado por 883 y para d = 11, por 8053.
