Función algebraica

Función matemática

En matemáticas , una función algebraica es una función que se puede definir como la raíz de una ecuación polinómica irreducible . Las funciones algebraicas suelen ser expresiones algebraicas que utilizan un número finito de términos y que implican únicamente las operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación, división y elevación a una potencia fraccionaria. Algunos ejemplos de estas funciones son:

• ${\displaystyle f(x)=1/x}$
• ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$
• ${\displaystyle f(x)={\frac {\sqrt {1+x^{3}}}{x^{3/7}-{\sqrt {7}}x^{1/3}}}}$

Sin embargo, algunas funciones algebraicas no pueden expresarse mediante expresiones finitas (este es el teorema de Abel-Ruffini ). Este es el caso, por ejemplo, del radical Bring , que es la función definida implícitamente por

${\displaystyle f(x)^{5}+f(x)+x=0}$.

En términos más precisos, una función algebraica de grado n en una variable x es una función que es continua en su dominio y satisface una ecuación polinomial de grado positivo. ${\displaystyle y=f(x),}$

${\displaystyle a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0}$

donde los coeficientes a _i ( x ) son funciones polinómicas de x , con coeficientes enteros. Se puede demostrar que se obtiene la misma clase de funciones si se aceptan números algebraicos para los coeficientes de las a _i ( x ) . Si aparecen números trascendentales en los coeficientes, la función no es, en general, algebraica, pero es algebraica sobre el cuerpo generado por estos coeficientes.

El valor de una función algebraica en un número racional y, de manera más general, en un número algebraico es siempre un número algebraico. A veces, se consideran coeficientes que son polinómicos sobre un anillo R y se habla entonces de "funciones algebraicas sobre R ". ${\displaystyle a_{i}(x)}$

Una función que no es algebraica se llama función trascendental , como es por ejemplo el caso de . Una composición de funciones trascendentales puede dar una función algebraica: . ${\displaystyle \exp x,\tan x,\ln x,\Gamma (x)}$ ${\displaystyle f(x)=\cos \arcsin x={\sqrt {1-x^{2}}}}$

Como una ecuación polinómica de grado n tiene hasta n raíces (y exactamente n raíces en un cuerpo algebraicamente cerrado , como los números complejos ), una ecuación polinómica no define implícitamente una única función, sino hasta n funciones, a veces también llamadas ramas . Consideremos, por ejemplo, la ecuación del círculo unitario : Esta determina y , excepto solo hasta un signo global; en consecuencia, tiene dos ramas: ${\displaystyle y^{2}+x^{2}=1.\,}$ ${\displaystyle y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}.\,}$

Una función algebraica en m variables se define de manera similar como una función que resuelve una ecuación polinómica en m  + 1 variables: ${\displaystyle y=f(x_{1},\dots ,x_{m})}$

${\displaystyle p(y,x_{1},x_{2},\dots ,x_{m})=0.}$

Normalmente se supone que p debe ser un polinomio irreducible . La existencia de una función algebraica queda entonces garantizada por el teorema de la función implícita .

Formalmente, una función algebraica en m variables sobre el cuerpo K es un elemento de la clausura algebraica del cuerpo de funciones racionales K ( x ₁ , ...,  x _m ).

Funciones algebraicas en una variable

Introducción y visión general

La definición informal de una función algebraica proporciona una serie de pistas sobre sus propiedades. Para obtener una comprensión intuitiva, puede ser útil considerar las funciones algebraicas como funciones que se pueden formar mediante las operaciones algebraicas habituales : suma , multiplicación , división y extracción de una raíz n- ésima . Esto es una simplificación excesiva; debido al teorema fundamental de la teoría de Galois , las funciones algebraicas no necesitan ser expresables mediante radicales.

Primero, note que cualquier función polinómica es una función algebraica, ya que es simplemente la solución y de la ecuación ${\displaystyle y=p(x)}$

${\displaystyle y-p(x)=0.\,}$

De manera más general, cualquier función racional es algebraica, siendo la solución de ${\displaystyle y={\frac {p(x)}{q(x)}}}$

${\displaystyle q(x)y-p(x)=0.}$

Además, la raíz n -ésima de cualquier polinomio es una función algebraica, que resuelve la ecuación ${\textstyle y={\sqrt[{n}]{p(x)}}}$

${\displaystyle y^{n}-p(x)=0.}$

Sorprendentemente, la función inversa de una función algebraica es una función algebraica. Suponiendo que y es una solución de

${\displaystyle a_{n}(x)y^{n}+\cdots +a_{0}(x)=0,}$

para cada valor de x , entonces x es también una solución de esta ecuación para cada valor de y . De hecho, intercambiando los papeles de x e y y reuniendo términos,

${\displaystyle b_{m}(y)x^{m}+b_{m-1}(y)x^{m-1}+\cdots +b_{0}(y)=0.}$

Escribir x como función de y da la función inversa, también una función algebraica.

Sin embargo, no todas las funciones tienen una inversa. Por ejemplo, y  =  x ² no pasa la prueba de la línea horizontal : no es biunívoca . La inversa es la "función" algebraica . Otra forma de entender esto es que el conjunto de ramas de la ecuación polinómica que define nuestra función algebraica es el gráfico de una curva algebraica . ${\displaystyle x=\pm {\sqrt {y}}}$

El papel de los números complejos

Desde una perspectiva algebraica, los números complejos entran de forma bastante natural en el estudio de las funciones algebraicas. En primer lugar, por el teorema fundamental del álgebra , los números complejos son un cuerpo algebraicamente cerrado . Por lo tanto, se garantiza que cualquier relación polinómica p ( y ,  x ) = 0 tiene al menos una solución (y en general un número de soluciones que no exceda el grado de p en y ) para y en cada punto x , siempre que permitamos que y asuma valores complejos y reales . Por lo tanto, los problemas relacionados con el dominio de una función algebraica se pueden minimizar de forma segura.

Gráfica de tres ramas de la función algebraica y , donde y ³  −  xy  + 1 = 0, sobre el dominio 3/2 ^2/3 < x < 50.

Además, incluso si uno está interesado en funciones algebraicas reales, puede que no haya forma de expresar la función en términos de adición, multiplicación, división y extracción de raíces n-ésimas sin recurrir a números complejos (véase casus irreducibilis ). Por ejemplo, considere la función algebraica determinada por la ecuación

${\displaystyle y^{3}-xy+1=0.\,}$

Usando la fórmula cúbica , obtenemos

${\displaystyle y=-{\frac {2x}{\sqrt[{3}]{-108+12{\sqrt {81-12x^{3}}}}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{-108+12{\sqrt {81-12x^{3}}}}}{6}}.}$

En efecto, la raíz cuadrada es real y, por lo tanto, la raíz cúbica está bien definida, lo que proporciona la única raíz real. Por otro lado, la raíz cuadrada no es real y, para la raíz cuadrada, hay que elegir una raíz cuadrada no real. Por lo tanto, la raíz cúbica debe elegirse entre tres números no reales. Si se realizan las mismas elecciones en los dos términos de la fórmula, las tres elecciones para la raíz cúbica proporcionan las tres ramas que se muestran en la imagen adjunta. ${\displaystyle x\leq {\frac {3}{\sqrt[{3}]{4}}},}$ ${\displaystyle x>{\frac {3}{\sqrt[{3}]{4}}},}$

Se puede demostrar que no hay forma de expresar esta función en términos de raíces n-ésimas utilizando solo números reales, aunque la función resultante tenga un valor real en el dominio del gráfico mostrado.

En un nivel teórico más significativo, el uso de números complejos permite utilizar las poderosas técnicas del análisis complejo para analizar funciones algebraicas. En particular, el principio del argumento se puede utilizar para demostrar que cualquier función algebraica es, de hecho, una función analítica , al menos en el sentido de valores múltiples.

Formalmente, sea p ( x ,  y ) un polinomio complejo en las variables complejas x e y . Supóngase que x ₀  ∈  C es tal que el polinomio p ( x ₀ ,  y ) de y tiene n ceros distintos. Demostraremos que la función algebraica es analítica en un entorno de x ₀ . Elijamos un sistema de n discos no superpuestos Δ _i que contengan cada uno de estos ceros. Luego, por el principio de argumentos

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial \Delta _{i}}{\frac {p_{y}(x_{0},y)}{p(x_{0},y)}}\,dy=1.}$

Por continuidad, esto también se cumple para todo x en un entorno de x ₀ . En particular, p ( x ,  y ) tiene solo una raíz en Δ _i , dada por el teorema del residuo :

${\displaystyle f_{i}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial \Delta _{i}}y{\frac {p_{y}(x,y)}{p(x,y)}}\,dy}$

que es una función analítica.

Monodromía

Nótese que la prueba de analiticidad anterior derivó una expresión para un sistema de n elementos de función diferentes f _i ( x ), siempre que x no sea un punto crítico de p ( x ,  y ). Un punto crítico es un punto donde el número de ceros distintos es menor que el grado de p , y esto ocurre solo donde el término de grado más alto de p o el discriminante se anulan. Por lo tanto, solo hay un número finito de tales puntos c ₁ , ...,  c _m .

Un análisis minucioso de las propiedades de los elementos de la función f _i cerca de los puntos críticos puede utilizarse para demostrar que la cobertura de monodromía se ramifica sobre los puntos críticos (y posiblemente el punto en el infinito ). Por lo tanto, la extensión holomorfa de f _i tiene, en el peor de los casos, polos algebraicos y ramificaciones algebraicas ordinarias sobre los puntos críticos.

Obsérvese que, más allá de los puntos críticos, tenemos

${\displaystyle p(x,y)=a_{n}(x)(y-f_{1}(x))(y-f_{2}(x))\cdots (y-f_{n}(x))}$

ya que los f _i son por definición los ceros distintos de p . El grupo monodromía actúa permutando los factores y, por lo tanto, forma la representación monodromía del grupo de Galois de p . (La acción monodromía sobre el espacio de recubrimiento universal es una noción relacionada pero diferente en la teoría de superficies de Riemann .)

Historia

Las ideas en torno a las funciones algebraicas se remontan al menos a René Descartes . El primer análisis de las funciones algebraicas parece haber sido en Ensayo sobre los principios del conocimiento humano de Edward Waring de 1794, en el que escribe:

Sea una cantidad que denota la ordenada, una función algebraica de la abscisa x , por los métodos comunes de división y extracción de raíces, redúzcala en una serie infinita ascendente o descendente según las dimensiones de x , y luego encuentre la integral de cada uno de los términos resultantes.

Véase también

• Expresión algebraica
• Función analítica
• Función compleja
• Función elemental
• Función (matemáticas)
• Función generalizada
• Lista de funciones especiales y epónimos
• Lista de tipos de funciones
• Polinomio
• Función racional
• Funciones especiales
• Función trascendental

Referencias

• Ahlfors, Lars (1979). Análisis complejo . McGraw Hill.
• van der Waerden, BL (1931). Álgebra moderna, volumen II . Saltador.

Enlaces externos

• Definición de "Función algebraica" en la Enciclopedia de Matemáticas
• Weisstein, Eric W. "Función algebraica". MathWorld .
• Función algebraica en PlanetMath .
• Definición de "Función algebraica" Archivado el 26 de octubre de 2020 en Wayback Machine en la Enciclopedia de Ciencias de Internet de David J. Darling