Motivo (geometría algebraica)

Estructura para unificar teorías de cohomología

En geometría algebraica , los motivos (o, a veces, motivos , siguiendo el uso francés ) son una teoría propuesta por Alexander Grothendieck en la década de 1960 para unificar la amplia gama de teorías de cohomología de comportamiento similar, como la cohomología singular , la cohomología de De Rham , la cohomología étale y la cohomología cristalina . Filosóficamente, un "motivo" es la "esencia de la cohomología" de una variedad .

En la formulación de Grothendieck para variedades proyectivas suaves, un motivo es una terna , donde es una variedad proyectiva suave, es una correspondencia idempotente y m un entero ; sin embargo, dicha terna casi no contiene información fuera del contexto de la categoría de motivos puros de Grothendieck, donde un morfismo de a viene dado por una correspondencia de grado . Pierre Deligne adopta un enfoque más centrado en el objeto en Le Groupe Fondamental de la Droite Projective Moins Trois Points . En ese artículo, un motivo es un "sistema de realizaciones", es decir, una tupla. ${\displaystyle (X,p,m)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:X\vdash X}$ ${\displaystyle (X,p,m)}$ ${\displaystyle (Y,q,n)}$ ${\displaystyle n-m}$

${\displaystyle \left(M_{B},M_{\mathrm {DR} },M_{\mathbb {A} ^{f}},M_{\operatorname {cris} ,p},\operatorname {comp} _{\mathrm {DR} ,B},\operatorname {comp} _{\mathbb {A} ^{f},B},\operatorname {comp} _{\operatorname {cris} p,\mathrm {DR} },W,F_{\infty },F,\phi ,\phi _{p}\right)}$

compuesto de módulos

${\displaystyle M_{B},M_{\mathrm {DR} },M_{\mathbb {A} ^{f}},M_{\operatorname {cris} ,p}}$

sobre los anillos

${\displaystyle \mathbb {Q} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {A} ^{f},\mathbb {Q} _{p},}$

respectivamente, varios isomorfismos de comparación

${\displaystyle \operatorname {comp} _{\mathrm {DR} ,B},\operatorname {comp} _{\mathbb {A} ^{f},B},\operatorname {comp} _{\operatorname {cris} p,\mathrm {DR} }}$

entre los cambios de base obvios de estos módulos, filtraciones , una -acción sobre y un automorfismo "Frobenius" de . Estos datos se modelan sobre las cohomologías de una variedad proyectiva suave y las estructuras y compatibilidades que admiten, y dan una idea sobre qué tipo de información está contenida en un motivo. ${\displaystyle W,F}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\overline {\mathbb {Q} }},\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle M_{\mathbb {A} ^{f}},}$ ${\displaystyle \phi _{p}}$ ${\displaystyle M_{\operatorname {cris} ,p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Introducción

La teoría de los motivos se concibió originalmente como un intento de unificar una serie de teorías de cohomología que se multiplicaban rápidamente, incluidas la cohomología de Betti , la cohomología de De Rham , la cohomología l -ádica y la cohomología cristalina . La esperanza general es que ecuaciones como

• [línea proyectiva] = [línea] + [punto]
• [plano proyectivo] = [plano] + [línea] + [punto]

Se puede dar una base matemática cada vez más sólida y con un significado profundo. Por supuesto, ya se sabe que las ecuaciones anteriores son ciertas en muchos sentidos, como en el sentido del complejo CW , donde "+" corresponde a las células que se adhieren, y en el sentido de varias teorías de cohomología, donde "+" corresponde a la suma directa.

Desde otro punto de vista, los motivos continúan la secuencia de generalizaciones desde funciones racionales sobre variedades a divisores sobre variedades y a grupos de Chow de variedades. La generalización ocurre en más de una dirección, ya que los motivos pueden considerarse con respecto a más tipos de equivalencia que la equivalencia racional. Las equivalencias admisibles están dadas por la definición de una relación de equivalencia adecuada .

Definición de motivos puros

La categoría de motivos puros suele avanzar en tres pasos. A continuación, describimos el caso de los motivos de Chow , donde k es un campo cualquiera. ${\displaystyle \operatorname {Chow} (k)}$

Primer paso: categoría de correspondencias (grado 0), Corr(a)

Los objetos de son simplemente variedades proyectivas suaves sobre k . Los morfismos son correspondencias . Generalizan morfismos de variedades , que pueden asociarse con sus gráficos en , a ciclos de Chow de dimensión fija en . ${\displaystyle \operatorname {Corr} (k)}$ ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle X\times Y}$

Será útil describir correspondencias de grado arbitrario, aunque los morfismos en son correspondencias de grado 0. En detalle, sean X e Y variedades proyectivas suaves y consideremos una descomposición de X en componentes conexos: ${\displaystyle \operatorname {Corr} (k)}$

${\displaystyle X=\coprod _{i}X_{i},\qquad d_{i}:=\dim X_{i}.}$

Si , entonces las correspondencias de grado r de X a Y son ${\displaystyle r\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \operatorname {Corr} ^{r}(k)(X,Y):=\bigoplus _{i}A^{d_{i}+r}(X_{i}\times Y),}$

donde denota los ciclos de Chow de codimensión k . Las correspondencias se denotan a menudo utilizando la notación "⊢", p. ej., . Para cualquier y su composición se define por ${\displaystyle A^{k}(X)}$ ${\displaystyle \alpha :X\vdash Y}$ ${\displaystyle \alpha \in \operatorname {Corr} ^{r}(X,Y)}$ ${\displaystyle \beta \in \operatorname {Corr} ^{s}(Y,Z),}$

${\displaystyle \beta \circ \alpha :=\pi _{XZ*}\left(\pi _{XY}^{*}(\alpha )\cdot \pi _{YZ}^{*}(\beta )\right)\in \operatorname {Corr} ^{r+s}(X,Z),}$

donde el punto denota el producto en el anillo de Chow (es decir, intersección).

Volviendo a la construcción de la categoría, observe que la composición de correspondencias de grado 0 es grado 0. Por lo tanto, definimos los morfismos de como correspondencias de grado 0. ${\displaystyle \operatorname {Corr} (k),}$ ${\displaystyle \operatorname {Corr} (k)}$

La siguiente asociación es un funtor (aquí denota el gráfico de ): ${\displaystyle \Gamma _{f}\subseteq X\times Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle F:{\begin{cases}\operatorname {SmProj} (k)\longrightarrow \operatorname {Corr} (k)\\X\longmapsto X\\f\longmapsto \Gamma _{f}\end{cases}}}$

Al igual que la categoría tiene sumas directas ( X ⊕ Y  := X ∐ Y ) y productos tensoriales ( X ⊗ Y  := X × Y ). Es una categoría preaditiva . La suma de morfismos se define por ${\displaystyle \operatorname {SmProj} (k),}$ ${\displaystyle \operatorname {Corr} (k)}$

${\displaystyle \alpha +\beta :=(\alpha ,\beta )\in A^{*}(X\times X)\oplus A^{*}(Y\times Y)\hookrightarrow A^{*}\left(\left(X\coprod Y\right)\times \left(X\coprod Y\right)\right).}$

Segundo paso: categoría de motivos Chow puros y efectivos, ChowEff(a)

La transición a los motivos se realiza tomando la envoltura pseudo-abeliana de : ${\displaystyle \operatorname {Corr} (k)}$

${\displaystyle \operatorname {Chow} ^{\operatorname {eff} }(k):=Split(\operatorname {Corr} (k))}$.

En otras palabras, los motivos de Chow efectivos son pares de variedades proyectivas suaves X y correspondencias idempotentes α: X ⊢ X , y los morfismos son de un cierto tipo de correspondencia:

${\displaystyle \operatorname {Ob} \left(\operatorname {Chow} ^{\operatorname {eff} }(k)\right):=\{(X,\alpha )\mid (\alpha :X\vdash X)\in \operatorname {Corr} (k){\mbox{ such that }}\alpha \circ \alpha =\alpha \}.}$

${\displaystyle \operatorname {Mor} ((X,\alpha ),(Y,\beta )):=\{f:X\vdash Y|f\circ \alpha =f=\beta \circ f\}.}$

La composición es la composición de correspondencias definida anteriormente, y el morfismo identidad de ( X , α ) se define como α  : X ⊢ X .

La asociación,

${\displaystyle h:{\begin{cases}\operatorname {SmProj} (k)&\longrightarrow \operatorname {Chow^{eff}} (k)\\X&\longmapsto [X]:=(X,\Delta _{X})\\f&\longmapsto [f]:=\Gamma _{f}\subset X\times Y\end{cases}}}$,

donde Δ _X  := [ id _X ] denota la diagonal de X × X , es un funtor. El motivo [ X ] se suele denominar motivo asociado a la variedad X.

Como se pretendía, Chow ^eff ( k ) es una categoría pseudo-abeliana . La suma directa de motivos efectivos está dada por

${\displaystyle ([X],\alpha )\oplus ([Y],\beta ):=\left(\left[X\coprod Y\right],\alpha +\beta \right),}$

El producto tensorial de motivos efectivos se define por

${\displaystyle ([X],\alpha )\otimes ([Y],\beta ):=(X\times Y,\pi _{X}^{*}\alpha \cdot \pi _{Y}^{*}\beta ),}$

dónde

${\displaystyle \pi _{X}:(X\times Y)\times (X\times Y)\to X\times X,\quad {\text{and}}\quad \pi _{Y}:(X\times Y)\times (X\times Y)\to Y\times Y.}$

También se puede definir el producto tensorial de morfismos. Sean f ₁  : ( X ₁ , α ₁ ) → ( Y ₁ , β ₁ ) y f ₂  : ( X ₂ , α ₂ ) → ( Y ₂ , β ₂ ) morfismos de motivos. Entonces sean γ ₁ ∈ A ^* ( X ₁ × Y ₁ ) y γ ₂ ∈ A ^* ( X ₂ × Y ₂ ) representantes de f ₁ y f ₂ . Entonces

${\displaystyle f_{1}\otimes f_{2}:(X_{1},\alpha _{1})\otimes (X_{2},\alpha _{2})\vdash (Y_{1},\beta _{1})\otimes (Y_{2},\beta _{2}),\qquad f_{1}\otimes f_{2}:=\pi _{1}^{*}\gamma _{1}\cdot \pi _{2}^{*}\gamma _{2}}$,

donde π _i  : X ₁ × X ₂ × Y ₁ × Y ₂ → X _i × Y _i son las proyecciones.

Tercer paso: categoría de motivos Chow puros, Chow(a)

Para proceder a los motivos, agregamos a Chow ^eff ( k ) un inverso formal (con respecto al producto tensorial) de un motivo llamado motivo de Lefschetz. El efecto es que los motivos se convierten en triples en lugar de pares. El motivo de Lefschetz L es

${\displaystyle L:=(\mathbb {P} ^{1},\lambda ),\qquad \lambda :=pt\times \mathbb {P} ^{1}\in A^{1}(\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1})}$.

Si definimos el motivo 1 , llamado motivo trivial de Tate , por 1  := h(Spec( k )), entonces la elegante ecuación

${\displaystyle [\mathbb {P} ^{1}]=\mathbf {1} \oplus L}$

se sostiene, ya que

${\displaystyle \mathbf {1} \cong \left(\mathbb {P} ^{1},\mathbb {P} ^{1}\times \operatorname {pt} \right).}$

El inverso tensorial del motivo de Lefschetz se conoce como motivo de Tate , T  := L ⁻¹ . Luego definimos la categoría de motivos de Chow puros por

${\displaystyle \operatorname {Chow} (k):=\operatorname {Chow} ^{\operatorname {eff} }(k)[T]}$.

Un motivo es entonces un triple

${\displaystyle (X\in \operatorname {SmProj} (k),p:X\vdash X,n\in \mathbb {Z} )}$

de tal manera que los morfismos se dan por correspondencias

${\displaystyle f:(X,p,m)\to (Y,q,n),\quad f\in \operatorname {Corr} ^{n-m}(X,Y){\mbox{ such that }}f\circ p=f=q\circ f,}$

y la composición de morfismos proviene de la composición de correspondencias.

Como se pretendía, es una categoría pseudo-abeliana rígida . ${\displaystyle \operatorname {Chow} (k)}$

Otros tipos de motivos

Para definir un producto de intersección, los ciclos deben ser "móviles" para que podamos intersecarlos en posición general. Elegir una relación de equivalencia adecuada en los ciclos garantizará que cada par de ciclos tenga un par equivalente en posición general que podamos intersectar. Los grupos de Chow se definen utilizando la equivalencia racional, pero son posibles otras equivalencias, y cada una define un tipo diferente de motivo. Algunos ejemplos de equivalencias, de la más fuerte a la más débil, son:

• Equivalencia racional
• Equivalencia algebraica
• Equivalencia de potencia-nilpotencia (a veces llamada equivalencia de Voevodsky)
• Equivalencia homológica (en el sentido de cohomología de Weil)
• Equivalencia numérica

La literatura ocasionalmente llama a todo tipo de motivo puro un motivo de Chow, en cuyo caso un motivo con respecto a la equivalencia algebraica se llamaría un motivo de Chow módulo equivalencia algebraica .

Motivos mixtos

Para un cuerpo base fijo k , la categoría de motivos mixtos es una categoría tensorial abeliana conjetural , junto con un funtor contravariante ${\displaystyle MM(k)}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (k)\to MM(k)}$

tomando valores en todas las variedades (no sólo en las proyectivas suaves como era el caso con los motivos puros). Esto debería ser tal que la cohomología motívica definida por

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{MM}^{*}(1,?)}$

coincide con la predicha por la teoría K algebraica y contiene la categoría de motivos de Chow en un sentido adecuado (y otras propiedades). La existencia de tal categoría fue conjeturada por Alexander Beilinson .

En lugar de construir dicha categoría, Deligne propuso construir primero una categoría DM que tuviera las propiedades que se esperan para la categoría derivada.

${\displaystyle D^{b}(MM(k))}$.

La recuperación de MM desde DM se lograría entonces mediante una estructura t motívica (conjetural) .

El estado actual de la teoría es que tenemos una categoría adecuada, DM . Esta categoría ya es útil en aplicaciones. La prueba de la conjetura de Milnor de Vladimir Voevodsky , ganadora de la Medalla Fields, utiliza estos motivos como un ingrediente clave.

Existen diferentes definiciones debidas a Hanamura, Levine y Voevodsky. Se sabe que son equivalentes en la mayoría de los casos y daremos la definición de Voevodsky a continuación. La categoría contiene los motivos de Chow como una subcategoría completa y proporciona la cohomología motívica "correcta". Sin embargo, Voevodsky también demuestra que (con coeficientes integrales) no admite una estructura t motívica.

Motivos geométricos mixtos

Notación

Aquí fijaremos un campo k de característica0 y sea nuestro anillo de coeficientes. Fijemos como categoría de variedades cuasi-proyectivas sobre k los esquemas separados de tipo finito. También dejaremos que sea la subcategoría de variedades suaves. ${\displaystyle A=\mathbb {Q} ,\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\mathcal {Var}}/k}$ ${\displaystyle {\mathcal {Sm}}/k}$

Variedades lisas con correspondencias

Dada una variedad suave X y una variedad Y, llamamos a un subesquema cerrado integral que es finito sobre X y sobreyectivo sobre un componente de Y una correspondencia prima de X a Y. Luego, podemos tomar el conjunto de correspondencias primas de X a Y y construir un módulo A libre . Sus elementos se llaman correspondencias finitas . Luego, podemos formar una categoría aditiva cuyos objetos son variedades suaves y los morfismos están dados por correspondencias suaves. La única parte no trivial de esta "definición" es el hecho de que necesitamos describir composiciones. Estas están dadas por una fórmula push-pull de la teoría de anillos de Chow. ${\displaystyle W\subset X\times Y}$ ${\displaystyle C_{A}(X,Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {SmCor}}}$

Ejemplos de correspondencias

Ejemplos típicos de correspondencias primos provienen del gráfico de un morfismo de variedades . ${\displaystyle \Gamma _{f}\subset X\times Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$

Localización de la categoría de homotopía

A partir de aquí podemos formar la categoría de homotopía de complejos acotados de correspondencias suaves. Aquí las variedades suaves se denotarán como . Si localizamos esta categoría con respecto a la subcategoría más pequeña y gruesa (es decir, cerrada bajo extensiones) que contiene morfismos ${\displaystyle K^{b}({\mathcal {SmCor}})}$ ${\displaystyle [X]}$

${\displaystyle [X\times \mathbb {A} ^{1}]\to [X]}$

y

${\displaystyle [U\cap V]{\xrightarrow {j_{U}'+j_{V}'}}[U]\oplus [V]{\xrightarrow {j_{U}-j_{V}}}[X]}$

entonces podemos formar la categoría triangulada de motivos geométricos efectivos Nótese que la primera clase de morfismos son homotopías localizadoras de variedades mientras que la segunda dará a la categoría de motivos geométricos mixtos la secuencia de Mayer–Vietoris . ${\displaystyle {\mathcal {DM}}_{\text{gm}}^{\text{eff}}(k,A).}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$

Además, tenga en cuenta que esta categoría tiene una estructura tensorial dada por el producto de variedades, por lo que . ${\displaystyle [X]\otimes [Y]=[X\times Y]}$

Invirtiendo el motivo de Tate

Usando la estructura triangulada podemos construir un triángulo

${\displaystyle \mathbb {L} \to [\mathbb {P} ^{1}]\to [\operatorname {Spec} (k)]{\xrightarrow {[+1]}}}$

del mapa canónico . Lo estableceremos y lo llamaremos motivo Tate . Tomando el producto tensorial iterativo nos permite construir . Si tenemos un motivo geométrico efectivo M, denotamos Además , esto se comporta funcionalmente y forma un funtor triangulado. Finalmente, podemos definir la categoría de motivos geométricos mixtos como la categoría de pares para M un motivo geométrico mixto efectivo y n un entero que representa el giro por el motivo Tate. Los grupos hom son entonces el colimite ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\to \operatorname {Spec} (k)}$ ${\displaystyle A(1)=\mathbb {L} [-2]}$ ${\displaystyle A(k)}$ ${\displaystyle M(k)}$ ${\displaystyle M\otimes A(k).}$ ${\displaystyle {\mathcal {DM}}_{gm}}$ ${\displaystyle (M,n)}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathcal {DM}}((A,n),(B,m))=\lim _{k\geq -n,-m}\operatorname {Hom} _{{\mathcal {DM}}_{gm}^{\operatorname {eff} }}(A(k+n),B(k+m))}$

Ejemplos de motivos

Motivos de Tate

Existen varios ejemplos elementales de motivos a los que se puede acceder fácilmente. Uno de ellos son los motivos de Tate, denotados , , o , según los coeficientes utilizados en la construcción de la categoría de motivos. Estos son bloques de construcción fundamentales en la categoría de motivos porque forman la "otra parte" además de las variedades abelianas. ${\displaystyle \mathbb {Q} (n)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} (n)}$ ${\displaystyle A(n)}$

Motivos de curvas

El motivo de una curva se puede entender explícitamente con relativa facilidad: su anillo de Chow es sólo para cualquier curva proyectiva suave , por lo tanto, los jacobianos se incluyen en la categoría de motivos. $${\displaystyle \mathbb {Z} \oplus {\text{Pic}}(C)}$$ ${\displaystyle C}$

Explicación para no especialistas

Una técnica comúnmente aplicada en matemáticas es estudiar objetos que tienen una estructura particular introduciendo una categoría cuyos morfismos preservan esta estructura. Entonces uno puede preguntarse cuándo dos objetos dados son isomorfos, y pedir un representante "particularmente agradable" en cada clase de isomorfismo. La clasificación de variedades algebraicas, es decir, la aplicación de esta idea en el caso de variedades algebraicas , es muy difícil debido a la estructura altamente no lineal de los objetos. La cuestión relajada de estudiar variedades hasta el isomorfismo biracional ha llevado al campo de la geometría biracional . Otra forma de manejar la cuestión es adjuntar a una variedad dada X un objeto de naturaleza más lineal, es decir, un objeto susceptible de las técnicas del álgebra lineal , por ejemplo un espacio vectorial . Esta "linealización" se conoce generalmente con el nombre de cohomología .

Existen varias teorías de cohomología importantes, que reflejan diferentes aspectos estructurales de las variedades. La teoría de motivos (en parte conjetural) es un intento de encontrar una forma universal de linealizar las variedades algebraicas, es decir, se supone que los motivos proporcionan una teoría de cohomología que incorpora todas estas cohomologías particulares. Por ejemplo, el género de una curva proyectiva suave C , que es un invariante interesante de la curva, es un número entero, que se puede leer a partir de la dimensión del primer grupo de cohomología de Betti de C . Por lo tanto, el motivo de la curva debería contener la información del género. Por supuesto, el género es un invariante bastante burdo, por lo que el motivo de C es más que solo este número.

La búsqueda de una cohomología universal

Cada variedad algebraica X tiene un motivo correspondiente [ X ], por lo que los ejemplos más simples de motivos son:

• [punto]
• [línea proyectiva] = [punto] + [línea]
• [plano proyectivo] = [plano] + [línea] + [punto]

Estas 'ecuaciones' son válidas en muchas situaciones, a saber, para la cohomología de De Rham y la cohomología de Betti , la cohomología l -ádica , el número de puntos sobre cualquier cuerpo finito y en notación multiplicativa para funciones zeta locales .

La idea general es que un motivo tiene la misma estructura en cualquier teoría de cohomología razonable con buenas propiedades formales; en particular, cualquier teoría de cohomología de Weil tendrá dichas propiedades. Existen diferentes teorías de cohomología de Weil, se aplican en diferentes situaciones y tienen valores en diferentes categorías, y reflejan diferentes aspectos estructurales de la variedad en cuestión:

• La cohomología de Betti se define para variedades sobre (subcuerpos de) los números complejos , tiene la ventaja de estar definida sobre los números enteros y es un invariante topológico.
• La cohomología de De Rham (para variedades mayores de ) viene con una estructura de Hodge mixta , es un invariante geométrico diferencial ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• La cohomología l-ádica (sobre cualquier cuerpo de característica ≠ l) tiene una acción de grupo de Galois canónica , es decir, tiene valores en representaciones del grupo de Galois (absoluto)
• cohomología cristalina

Todas estas teorías de cohomología comparten propiedades comunes, por ejemplo, la existencia de secuencias de Mayer-Vietoris , la invariancia de homotopía del producto de X con la línea afín ) y otras. Además, están vinculadas por isomorfismos de comparación, por ejemplo, la cohomología de Betti de una variedad suave X sobre con coeficientes finitos es isomorfa a la cohomología l -ádica con coeficientes finitos. ${\displaystyle H^{*}(X)\cong H^{*}(X\times \mathbb {A} ^{1}),}$ ${\displaystyle H_{\text{Betti}}^{*}(X,\mathbb {Z} /n)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

La teoría de los motivos es un intento de encontrar una teoría universal que incorpore todas estas cohomologías particulares y sus estructuras y proporcione un marco para "ecuaciones" como

[línea proyectiva] = [línea]+[punto].

En particular, calcular el motivo de cualquier variedad X proporciona directamente toda la información sobre las diversas teorías de cohomología de Weil H ^* _Betti ( X ), H ^* _DR ( X ) etc.

A partir de Grothendieck, durante muchos años se ha intentado definir con precisión esta teoría.

Cohomología motívica

La cohomología motívica en sí misma había sido inventada antes de la creación de motivos mixtos por medio de la teoría K algebraica . La categoría anterior proporciona una forma clara de (re)definirla mediante

${\displaystyle H^{n}(X,m):=H^{n}(X,\mathbb {Z} (m)):=\operatorname {Hom} _{DM}(X,\mathbb {Z} (m)[n]),}$

donde n y m son números enteros y es la m -ésima potencia tensorial del objeto Tate que en el contexto de Voevodsky es el complejo desplazado por –2, y [n] significa el desplazamiento habitual en la categoría triangulada. ${\displaystyle \mathbb {Z} (m)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} (1),}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\to \operatorname {pt} }$

Conjeturas relacionadas con los motivos

Las conjeturas estándar se formularon inicialmente en términos de la interacción de los ciclos algebraicos y las teorías de cohomología de Weil. La categoría de motivos puros proporciona un marco categórico para estas conjeturas.

Las conjeturas estándar se consideran comúnmente muy difíciles y están abiertas en el caso general. Grothendieck, junto con Bombieri, demostraron la profundidad del enfoque motívico al producir una prueba condicional (muy breve y elegante) de las conjeturas de Weil (que Deligne prueba por diferentes medios ), asumiendo que las conjeturas estándar son válidas.

Por ejemplo, la conjetura estándar de Künneth , que establece la existencia de ciclos algebraicos π ⁱ ⊂ X × X que inducen los proyectores canónicos H ^* ( X ) → H ⁱ ( X ) ↣ H ^* ( X ) (para cualquier cohomología de Weil H ) implica que cada motivo puro M se descompone en piezas graduadas de peso n : M = ⨁ Gr _n M . La terminología pesos proviene de una descomposición similar de, digamos, la cohomología de-Rham de variedades proyectivas suaves, véase la teoría de Hodge .

La conjetura D , que establece la concordancia de la equivalencia numérica y homológica , implica la equivalencia de motivos puros con respecto a la equivalencia homológica y numérica. (En particular, la primera categoría de motivos no dependería de la elección de la teoría de cohomología de Weil). Jannsen (1992) demostró el siguiente resultado incondicional: la categoría de motivos (puros) sobre un cuerpo es abeliana y semisimple si y solo si la relación de equivalencia elegida es la equivalencia numérica.

La conjetura de Hodge puede reformularse de forma clara utilizando motivos: se cumple si y solo si la realización de Hodge que asigna cualquier motivo puro con coeficientes racionales (sobre un subcuerpo de ) a su estructura de Hodge es un funtor completo ( estructuras racionales de Hodge ). Aquí motivo puro significa motivo puro con respecto a la equivalencia homológica. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle H:M(k)_{\mathbb {Q} }\to HS_{\mathbb {Q} }}$

De manera similar, la conjetura de Tate es equivalente a: la llamada realización de Tate, es decir, la cohomología ℓ-ádica, es un funtor completo (motivos puros hasta la equivalencia homológica, representaciones continuas del grupo de Galois absoluto del cuerpo base k ), que toma valores en representaciones semisimples. (La última parte es automática en el caso del análogo de Hodge). ${\displaystyle H:M(k)_{\mathbb {Q} _{\ell }}\to \operatorname {Rep} _{\ell }(\operatorname {Gal} (k))}$

Formalismo tannakiano y grupo motívico de Galois

Para motivar el grupo de Galois motívico (conjetural), fije un cuerpo k y considere el funtor

extensiones separables finitas K de k → conjuntos finitos no vacíos con una acción transitiva (continua) del grupo de Galois absoluto de k

que asigna K al conjunto (finito) de incrustaciones de K en un cierre algebraico de k . En la teoría de Galois, se demuestra que este funtor es una equivalencia de categorías. Nótese que los campos son 0-dimensionales. Los motivos de este tipo se denominan motivos de Artin . Al -linealizar los objetos anteriores, otra forma de expresar lo anterior es decir que los motivos de Artin son equivalentes a espacios vectoriales finitos junto con una acción del grupo de Galois. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

El objetivo del grupo de Galois motívico es extender la equivalencia anterior a variedades de dimensiones superiores. Para ello, se utiliza la maquinaria técnica de la teoría de categorías de Tannakian (que se remonta a la dualidad de Tannaka-Krein , pero una teoría puramente algebraica). Su propósito es arrojar luz sobre la conjetura de Hodge y la conjetura de Tate , las cuestiones pendientes en la teoría del ciclo algebraico . Fije una teoría de cohomología de Weil H. Da un funtor de M _num (motivos puros que utilizan equivalencia numérica) a espacios vectoriales de dimensión finita . Se puede demostrar que la primera categoría es una categoría de Tannakian. Suponiendo la equivalencia de la equivalencia homológica y numérica, es decir, la conjetura estándar anterior D , el funtor H es un tensor-funtor exacto y fiel. Aplicando el formalismo tannakiano, se concluye que M _num es equivalente a la categoría de representaciones de un grupo algebraico G , conocido como grupo de Galois motívico. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

El grupo de Galois motívico es a la teoría de los motivos lo que el grupo de Mumford-Tate es a la teoría de Hodge . De nuevo, hablando en términos generales, las conjeturas de Hodge y Tate son tipos de teoría invariante (los espacios que son moralmente los ciclos algebraicos se seleccionan por invariancia bajo un grupo, si se establecen las definiciones correctas). El grupo de Galois motívico tiene la teoría de la representación circundante. (Lo que no es, es un grupo de Galois ; sin embargo, en términos de la conjetura de Tate y las representaciones de Galois sobre la cohomología étale , predice la imagen del grupo de Galois o, más precisamente, su álgebra de Lie ).

Véase también

• Anillo de periodos
• Cohomología motívica
• Prehaz con transferencias
• Módulo mixto de Hodge
• Funciones L de los motivos

Referencias

Artículos de encuesta

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• Motivos sobre campos finitos - JS Milne
• Mazur, Barry (2004), "¿Qué es... un motivo?" (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 51 (10): 1214–1216, ISSN  0002-9920, MR  2104916(texto de motivos para tontos).
• Serre, Jean-Pierre (1991), "Motifs" (PDF) , Astérisque (en francés) (198): 11, 333–349 (1992), ISSN  0303-1179, MR  1144336, archivado desde el original (PDF) el 2022-01-10(Introducción de alto nivel a los motivos en francés).
• Tabauda, ​​Goncalo (2011), "Un recorrido guiado por el jardín de los motivos no conmutativos", Journal of K-theory , arXiv : 1108.3787

Libros

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• Jannsen, Uwe; Kleiman, Steven; Serre, Jean-Pierre , eds. (1994), Motives , Actas de simposios sobre matemáticas puras, vol. 55, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1636-3, Sr.  1265518
  • L. Breen: categorías tannakianas .
  • S. Kleiman: Las conjeturas estándar .
  • A. Scholl: Motivos clásicos . (Exposición detallada de los motivos de Chow)
• Huber, Annette; Müller-Stach, Stefan (20 de marzo de 2017), Períodos y motivos del nori , Springer, ISBN 978-3-319-50925-9
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Literatura de referencia

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• Milne, James S. Motivos: El sueño de Grothendieck
• Voevodsky, Vladimir ; Suslin, Andrei ; Friedlander, Eric M. (2000), Ciclos, transferencias y teorías de homología motívica, Annals of Mathematics Studies, Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04814-7(Definición de Voevodsky de motivos mixtos. Altamente técnica).
• Huber, Annette (2000). "Realización de los motivos de Voevodsky" (PDF) . Journal of Algebraic Geometry . 9 : 755–799. S2CID  17160833. Archivado desde el original (PDF) el 2017-09-26.

Direcciones futuras

• Reflexiones sobre Q ( 1 / 4 ) {\displaystyle \mathbb {Q} (1/4)} : Estructuras de espín aritmético en curvas elípticas
• ¿Qué son los “Motivos Fraccionarios”?

Enlaces externos

• Citas relacionadas con Motivo (geometría algebraica) en Wikiquote