En matemáticas , un conjunto delgado en el sentido de Serre , llamado así por Jean-Pierre Serre , es un cierto tipo de subconjunto construido en geometría algebraica sobre un cuerpo dado K , mediante operaciones permitidas que son en un sentido definido 'improbables'. Las dos fundamentales son: resolver una ecuación polinómica que puede o no ser el caso; resolver dentro de K un polinomio que no siempre se factoriza. También se permiten las uniones finitas.
Más precisamente, sea V una variedad algebraica sobre K (los supuestos aquí son: V es un conjunto irreducible , una variedad cuasi-proyectiva y K tiene característica cero ). Un conjunto delgado de tipo I es un subconjunto de V ( K ) que no es denso en Zariski . Eso significa que se encuentra en un conjunto algebraico que es una unión finita de variedades algebraicas de dimensión menor que d , la dimensión de V . Un conjunto delgado de tipo II es una imagen de un morfismo algebraico (esencialmente una aplicación polinómica) φ, aplicado a los K puntos de alguna otra variedad algebraica de dimensión d V ′, que se aplica esencialmente sobre V como una cubierta ramificada con grado e > 1. Dicho de manera más técnica, un conjunto delgado de tipo II es cualquier subconjunto de
donde V ′ satisface los mismos supuestos que V y φ es genéricamente sobreyectiva desde el punto de vista del geómetra. A nivel de cuerpos de funciones tenemos por tanto
Mientras que un punto típico v de V es φ( u ) con u en V ′, dado que v se encuentra en V ( K ) podemos concluir típicamente solo que las coordenadas de u provienen de resolver una ecuación de grado e sobre K . El objeto de la teoría de conjuntos delgados es entonces entender que la solubilidad en cuestión es un evento raro. Esto reformula en términos más geométricos el teorema clásico de irreducibilidad de Hilbert .
Un conjunto delgado , en general, es un subconjunto de una unión finita de conjuntos delgados de tipos I y II.
La terminología delgada puede justificarse por el hecho de que si A es un subconjunto delgado de la línea sobre Q entonces el número de puntos de A con altura como máximo H es ≪ H : el número de puntos enteros con altura como máximo H es , y este resultado es el mejor posible. [1]
Un resultado de SD Cohen, basado en el método de la criba grande , extiende este resultado, contando los puntos por función de altura y mostrando, en un sentido fuerte, que un conjunto delgado contiene una baja proporción de ellos (esto se analiza en profundidad en las Lecciones de Serre sobre el teorema de Mordell-Weil ). Sea A un conjunto delgado en el espacio n afín sobre Q y sea N ( H ) el número de puntos integrales de altura ingenua como máximo H . Entonces [2]
Una variedad hilbertiana V sobre K es una para la cual V ( K ) no es delgada: este es un invariante biracional de V . [3] Un campo hilbertiano K es uno para el cual existe una variedad hilbertiana de dimensión positiva sobre K : [3] el término fue introducido por Lang en 1962. [4] Si K es hilbertiano entonces la línea proyectiva sobre K es hilbertiana, por lo que esto puede tomarse como la definición. [5] [6]
El campo de números racionales Q es hilbertiano, porque el teorema de irreducibilidad de Hilbert tiene como corolario que la línea proyectiva sobre Q es hilbertiana: de hecho, cualquier campo de números algebraicos es hilbertiano, nuevamente por el teorema de irreducibilidad de Hilbert. [5] [7] De manera más general, una extensión de grado finito de un campo hilbertiano es hilbertiana [8] y cualquier campo infinito finitamente generado es hilbertiano. [6]
Existen varios resultados sobre los criterios de permanencia de los campos hilbertianos. En particular, la hilbertianidad se conserva bajo extensiones finitas separables [9] y extensiones abelianas. Si N es una extensión de Galois de un campo hilbertiano, entonces, aunque N no necesita ser hilbertiano en sí mismo, los resultados de Weissauer afirman que cualquier extensión finita propia de N es hilbertiana. El resultado más general en esta dirección es el teorema del diamante de Haran . Una discusión sobre estos resultados y más aparece en Field Arithmetic de Fried-Jarden .
Ser hilbertiano es estar en el otro extremo de la escala de ser algebraicamente cerrado : los números complejos tienen todos los conjuntos delgados, por ejemplo. Éstos, con los otros cuerpos locales ( números reales , números p-ádicos ) no son hilbertianos. [5]
La propiedad WWA ('aproximación débil', sic ) para una variedad V sobre un cuerpo de números es una aproximación débil (cf. aproximación en grupos algebraicos ), para conjuntos finitos de lugares de K evitando algún conjunto finito dado. Por ejemplo, tomemos K = Q : se requiere que V ( Q ) sea denso en
para todos los productos sobre conjuntos finitos de números primos p , sin incluir ninguno de algún conjunto { p 1 , ..., p M } dado de una vez por todas. Ekedahl ha demostrado que WWA para V implica que V es hilbertiano. [10] De hecho, las conjeturas de Colliot-Thélène WWA se cumplen para cualquier variedad uniracional , lo que es, por tanto, una afirmación más fuerte. Esta conjetura implicaría una respuesta positiva al problema de Galois inverso . [10]
