Rango de una curva elíptica

Número de puntos básicos racionales independientes con orden infinito

En matemáticas , el rango de una curva elíptica es el rango racional de Mordell-Weil de una curva elíptica definida sobre el cuerpo de números racionales o, más generalmente, un cuerpo de números K. El teorema de Mordell (generalizado a cuerpos de números arbitrarios por André Weil ) dice que el grupo de puntos racionales en una curva elíptica tiene una base finita . Esto significa que para cualquier curva elíptica hay un subconjunto finito de los puntos racionales en la curva, a partir del cual se pueden generar todos los puntos racionales adicionales. Si el número de puntos racionales en una curva es infinito , entonces algún punto en una base finita debe tener un orden infinito . El número de puntos base independientes con orden infinito es el rango de la curva. ${\displaystyle E}$

En términos matemáticos el conjunto de puntos K -racionales se denota E(K) y el teorema de Mordell puede enunciarse como la existencia de un isomorfismo de grupos abelianos.

${\displaystyle E(K)\cong \mathbb {Z} ^{r}\oplus E(K)_{\text{tors}},}$

donde es el grupo de torsión de E , para el cual se sabe comparativamente mucho, y es un entero no negativo llamado rango de (sobre K ) . ${\displaystyle E(K)_{\text{tors}}}$ ${\displaystyle r\in \mathbb {Z} _{\geq 0}}$ ${\displaystyle E}$

El rango está relacionado con varios problemas pendientes en la teoría de números , más notablemente la conjetura de Birch–Swinnerton-Dyer . Actualmente no hay consenso entre los expertos sobre si se debe esperar que los rangos de las curvas elípticas sobre estén acotados o no. Se ha demostrado que existen curvas con rango al menos 29, ^[1] pero se cree ampliamente que tales curvas son raras. De hecho, Goldfeld ^[2] y más tarde Katz - Sarnak ^[3] conjeturaron que en un sentido asintótico adecuado (ver abajo), el rango de las curvas elípticas debería ser 1/2 en promedio. Incluso más fuerte, la mitad de todas las curvas elípticas deberían tener rango 0 (lo que significa que la parte infinita de su grupo de Mordell–Weil es trivial) y la otra mitad debería tener rango 1; todos los rangos restantes consisten en un total de 0% de todas las curvas elípticas sobre . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Alturas

Para obtener una noción razonable de "promedio", uno debe poder contar curvas elípticas de alguna manera. Esto requiere la introducción de una función de altura en el conjunto de curvas elípticas racionales. Para definir dicha función, recuerde que una curva elíptica racional puede darse en términos de una forma de Weierstrass , es decir, podemos escribir ${\displaystyle E/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle E/\mathbb {Q} }$

${\displaystyle E:y^{2}=x^{3}+Ax+B}$

para algunos números enteros . Además, este modelo es único si para cualquier número primo que divida a , tenemos . Podemos suponer entonces que son números enteros que satisfacen esta propiedad y definir una función de altura en el conjunto de curvas elípticas mediante ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p^{4}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p^{6}\nmid B}$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle E/\mathbb {Q} }$

${\displaystyle H(E)=H(E(A,B))=\max\{4|A|^{3},27B^{2}\}.}$

Se puede demostrar entonces que el número de curvas elípticas con altura limitada es finito. ${\displaystyle E/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle H(E)}$

Rango promedio

Denotamos por el rango de Mordell–Weil de la curva elíptica . Con la función de altura en la mano, se puede definir el "rango promedio" como un límite, siempre que exista: ${\displaystyle r(E)}$ ${\displaystyle E/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle H(E)}$

${\displaystyle \lim _{X\rightarrow \infty }{\frac {\sum _{H(E(A,B))\leq X}r(E)}{\sum _{H(E(A,B))\leq X}1}}.}$

No se sabe si este límite existe o no. Sin embargo, al reemplazar el límite por el límite superior , se puede obtener una cantidad bien definida. Obtener estimaciones para esta cantidad es, por lo tanto, obtener límites superiores para el tamaño del rango promedio de las curvas elípticas (siempre que exista un promedio).

Límites superiores para el rango promedio

En las últimas dos décadas se han producido algunos avances en la tarea de encontrar límites superiores para el rango medio. A. Brumer ^[4] demostró que, condicionado a la conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer y a la hipótesis generalizada de Riemann , se puede obtener un límite superior de para el rango medio. Heath-Brown demostró ^[5] que se puede obtener un límite superior de , asumiendo todavía las mismas dos conjeturas. Por último, Young demostró ^[6] que se puede obtener un límite de ; asumiendo todavía ambas conjeturas. ${\displaystyle 2.3}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 25/14}$

Bhargava y Shankar demostraron que el rango promedio de las curvas elípticas está limitado por encima de ^[7] y ^[8] sin asumir ni la conjetura de Birch–Swinnerton-Dyer ni la Hipótesis de Riemann generalizada. Esto se logra calculando el tamaño promedio de los grupos -Selmer y -Selmer de las curvas elípticas respectivamente. ${\displaystyle 1.5}$ ${\displaystyle {\frac {7}{6}}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle E/\mathbb {Q} }$

El enfoque de Bhargava y Shankar

La prueba incondicional de Bhargava y Shankar de la acotación del rango medio de las curvas elípticas se obtiene utilizando una cierta secuencia exacta que involucra al grupo de Mordell-Weil de una curva elíptica . Denotemos por el grupo de Mordell-Weil de puntos racionales en la curva elíptica , el grupo -Selmer de , y sea Ш la parte - del grupo de Tate–Shafarevich de . Entonces tenemos la siguiente secuencia exacta ${\displaystyle E/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle E(\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \operatorname {Sel} _{p}(E)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {}_{E}[p]}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle 0\rightarrow E(\mathbb {Q} )/pE(\mathbb {Q} )\rightarrow \operatorname {Sel} _{p}(E)\rightarrow }$Yo ${\displaystyle {}_{E}[p]\rightarrow 0.}$

Esto demuestra que el rango de , también llamado rango -Selmer de , definido como el entero no negativo tal que , es un límite superior para el rango de Mordell-Weil de . Por lo tanto, si se puede calcular u obtener un límite superior para el rango -Selmer de , entonces también se podría limitar el rango de Mordell-Weil en promedio. ${\displaystyle \operatorname {Sel} _{p}(E)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \#\operatorname {Sel} _{p}(E)=p^{s}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle E(\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle E}$

En las formas binarias cuárticas que tienen invariantes acotados y la acotación del rango promedio de las curvas elípticas , ^[7] Bhargava y Shankar calcularon el rango 2-Selmer de las curvas elípticas en promedio. Lo hicieron contando las formas binarias cuárticas , utilizando un método utilizado por Birch y Swinnerton-Dyer en su cálculo original del rango analítico de las curvas elípticas que condujo a su famosa conjetura.

Conjeturas sobre la delimitación de rangos

En general, es un problema abierto si el rango de todas las curvas elípticas sobre un cuerpo fijo K está acotado por un número o no. Este problema tiene una larga historia de opiniones de expertos en el campo al respecto. Park et al. dan cuenta de ello. ^{[9] : p. 5ff.} Se puede encontrar un artículo popular en la revista Quanta. ^[10] Por razones técnicas, en lugar de uno considera el límite (potencialmente infinito) de las curvas elípticas E definidas sobre K que ocurre para infinitos E diferentes de este tipo . Tenemos y . ${\displaystyle {\tilde {B}}_{K}}$ ${\displaystyle {\tilde {B}}_{K}}$ ${\displaystyle B_{K}}$ ${\displaystyle {\text{rk}}(E(K))}$ ${\displaystyle B_{K}\leq {\tilde {B}}_{K}}$ ${\displaystyle (B_{K}<\infty )\Leftrightarrow ({\tilde {B}}_{K}<\infty )}$

Curvas elípticas sobre campos numéricosK

Según Park et al., Néron sostuvo en 1950 la existencia de un límite absoluto para el rango probable. Honda en 1960 conjeturó para una variedad abeliana general A definida sobre , que en particular incluye curvas elípticas, la existencia de una constante tal que - tal límite no se traduce directamente en algún o , pero confiere una actitud favorable hacia tales límites. ${\displaystyle B_{\mathbb {Q} }}$ ${\displaystyle r_{E}}$ ${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle c_{A}}$ ${\displaystyle {\text{rk}}(A(K))\leq c_{A}[K:\mathbb {Q} ]}$ ${\displaystyle {\tilde {B}}_{K}}$ ${\displaystyle B_{K}}$

En 1966 Cassels , 1974 Tate y 1982 Mestre expresaron su descreimiento en tal límite en varias generalidades con respecto a K. Este fue el consenso entre los principales expertos hasta la década de 2010. Sin embargo, Mestre en 1982 demostró incondicionalmente que para las curvas elípticas E existe un límite en términos del conductor de una curva elíptica que en sí mismo no está acotado para variar E. ${\displaystyle B_{K}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle {\text{rk}}(E(\mathbb {Q} ))\leq O(\log(N(E)))}$ ${\displaystyle N(E)}$

En 2016, Park et al. introdujeron un nuevo modelo aleatorio basado en analogías con las heurísticas de Cohen-Lenstra para grupos de clases de cuerpos numéricos y las heurísticas de Keating - Snaith basadas en la teoría de matrices aleatorias para funciones L. Su modelo se orientó a los resultados conocidos sobre la distribución de curvas elípticas en rangos bajos y sus grupos de Tate-Shafarevich. Predice un límite conjetural . El modelo hace predicciones adicionales sobre límites superiores que son consistentes con todos los límites inferiores conocidos actualmente a partir de familias de ejemplos de curvas elípticas en casos especiales (como restricciones sobre el tipo de grupos de torsión). ${\displaystyle B_{\mathbb {Q} }\in \{20,21\}}$

Para K un cuerpo numérico general el mismo modelo predeciría el mismo límite, que sin embargo no puede cumplirse. Park et al. muestran la existencia de cuerpos numéricos de grado creciente para cada tal que hay infinitas curvas elípticas E definidas sobre (de hecho esas curvas elípticas tienen densidad positiva ) con , por lo tanto un límite uniforme para todos los cuerpos numéricos es imposible. Atribuyen el fracaso de su modelo en este caso a la existencia de curvas elípticas E sobre cuerpos numéricos generales K que provienen del cambio de base de un subcuerpo propio , que su modelo no toma en cuenta. En lugar de la familia de todas las curvas elípticas definidas sobre K sugieren considerar solo la familia de todas esas curvas elípticas que no provienen del cambio de base de un subcuerpo propio. El modelo entonces predice que el límite analógico debería cumplirse, sin embargo Park et al. También muestran la existencia de un campo numérico K tal que Si bien a partir de 2024 no se puede descartar que y hasta sean finitos para cada campo numérico K (Park et al. incluso afirman que es plausible ), no está claro qué heurística modificada predice valores correctos y mucho menos qué enfoque probaría tales límites. ${\displaystyle K_{n}}$ ${\displaystyle [K_{n}:\mathbb {Q} ]=2^{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{\geq 0}}$ ${\displaystyle K_{n}}$ ${\displaystyle {\text{rk}}(E(K_{n}))\geq 2^{n}=[K_{n}:\mathbb {Q} ]}$ ${\displaystyle K_{0}\subsetneq K}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{K}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{K}^{\circ }\subset {\mathcal {E}}_{K}}$ ${\displaystyle B_{K}^{\circ }\in \{20,21\}}$ ${\displaystyle B_{K}^{\circ }\geq 68.}$ ${\displaystyle B_{K}^{\circ }}$ ${\displaystyle B_{K}}$

A partir de 2024, no hay consenso entre los expertos sobre si se debe esperar que el rango de una curva elíptica esté limitado uniformemente solo en términos de su campo de números base o no.

Curvas elípticas sobre otros campos

Park et al. sostienen que su modelo (adecuadamente modificado) no sólo debería aplicarse a cuerpos numéricos, sino a cuerpos globales generales , en particular incluyendo cuando K es un cuerpo de funciones sobre un cuerpo finito. También señalan ^{[9] : p. 35} que se sabe que existen cuerpos de funciones K con , pero que para todos ellos no se puede descartar K. ${\displaystyle B_{K}=\infty }$ ${\displaystyle B_{K}^{\circ }<\infty }$

Para que la cuestión de la acotación de los rangos de curvas elípticas sobre algún cuerpo K tenga sentido, se necesita un teorema de tipo Mordell-Weil sobre ese cuerpo que garantice la generación finita para los puntos K -racionales del grupo. Esto se aplica de manera mucho más general que solo para cuerpos globales; por un resultado de Néron esto es cierto para todos los K de tipo finito sobre su cuerpo primo. ^[11]

Esto falla para cuerpos locales como , ya que el grupo de puntos racionales ya no se genera finitamente. En este caso, el rango siempre será infinito. Para cuerpos locales, los puntos K -racionales tienen otras estructuras útiles, ya que se puede hablar de dimensiones como variedades o variedades algebraicas, ya que se tiene una filtración infinita donde los cocientes sucesivos son grupos finitos de una estructura bien clasificada. Pero para K general no hay un análogo universal en lugar del rango que sea un objeto de estudio interesante. ${\displaystyle K\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {Q} _{p},\mathbb {F} _{q}((x))\}}$ ${\displaystyle K\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$ ${\displaystyle K\in \{\mathbb {Q} _{p},\mathbb {F} _{q}((x))\}}$

Los rangos más grandes conocidos

Una conjetura común es que no existe un límite para el rango más grande posible de una curva elíptica. En 2006, Noam Elkies descubrió una curva elíptica con un rango de al menos 28. ^[1] Se demostró ^[12] que bajo GRH tiene exactamente rango 28:

y2 + xy + y = x3 − ^x2 − 20 067 762 415 575 526 585 033 208 209 ³³⁸ 542 750 930 230 312 178 956 ⁵⁰² x + 34 481 611 795 030 556 467 032 985 690 390 720 374 855 944 359 319 180 361 266 008 296 291 939 448 732 243 429​​​

En 2020, Elkies y Zev Klagsbrun descubrieron una curva con un rango de exactamente 20: ^{[13] [14]}

y2 + xy + y = x3 − x2 -^​​​

244 537 673 336 319 601 463 803 487 168 961 769 270 757 573 821 859 853 707 x + 961 710 182 053 183 034 546 222 979 258 806 817 743 270 682 028 964 434 238 957 830 989 898 438 151 121 499 931

Se conocen muchos otros ejemplos de (familias de) curvas elípticas sobre . ^[1] En particular, Elkies proporcionó una familia infinita de curvas elípticas sobre cada una de rango al menos 19. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

En 2024, Elkies y Klagsbrun descubrieron una curva con un rango de al menos 29 (según el GRH, el rango es exactamente 29): ^{[1] [15]}

y2 + xy = x3 − 27 006 183 241 630 922 218 434 652 145 297 453 784 768 054 621 836 357 954 737 385 x + 55 258 058 551 342 376 475 736 699 ⁵⁹¹ 118 ¹⁹¹ 821 521 067 032 535 079 608 372 404 779 149 413 277 716 173 425 636 721 497 .​​

Referencias

1. Dujella, Andrej . "Historia de los registros de clasificación de curvas elípticas". Universidad de Zagreb . Consultado el 4 de mayo de 2024 . La siguiente tabla contiene algunos datos históricos sobre los registros de clasificación de curvas elípticas.
2. D. Goldfeld, Conjeturas sobre curvas elípticas sobre cuerpos cuadráticos, en Number Theory, Carbondale 1979 (Proc. Southern Illinois Conf., Southern Illinois Univ., Carbondale, Ill., 1979), Lecture Notes in Math. 751, Springer-Verlag, Nueva York, 1979, págs. 108-118. MR 0564926. Zbl  0417.14031. doi :10.1007/BFb0062705.
3. NM Katz y P. Sarnak, Matrices aleatorias, valores propios de Frobenius y monodromía, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ. 45, Amer. Math. Soc., 1999. MR 1659828. Zbl  0958.11004.
4. A. Brumer, El rango promedio de las curvas elípticas. Yo, Invent. Math. 109 (1992), 445–472. MR 1176198. Zbl  0783.14019. doi :10.1007/BF01232033.
5. DR Heath-Brown, El rango analítico promedio de las curvas elípticas, Duke Math. J. 122 (2004), 591–623. MR 2057019. Zbl  1063.11013. doi :10.1215/S0012-7094-04-12235-3.
6. MP Young, Ceros bajos de familias de curvas elípticas, J. Amer. Math. Soc. 19 (2006), 205–250. MR 2169047. Zbl  1086.11032. doi :10.1090/S0894-0347-05-00503-5.
7. M. Bhargava y A. Shankar, Formas binarias cuárticas con invariantes acotados y acotación del rango promedio de curvas elípticas, Annals of Mathematics 181 (2015), 191–242 doi :10.4007/annals.2015.181.1.3
8. M. Bhargava y A. Shankar, Formas cúbicas ternarias con invariantes acotados y existencia de una proporción positiva de curvas elípticas con rango 0, Annals of Mathematics 181 (2015), 587–621 doi :10.4007/annals.2015.181.2.4
9. Jennifer Park, Bjorn Poonen, John Voight, Melanie Matchett Wood, Una heurística para la delimitación de rangos de curvas elípticas. J. Eur. Math. Soc. 21 (2019), n.º 9, págs. 2859–2903. doi :10.4171/JEMS/893
10. Hartnett, Kevin (31 de octubre de 2018). «Sin una prueba, los matemáticos se preguntan cuánta evidencia es suficiente». Quanta Magazine . Consultado el 18 de julio de 2019 .
11. Conrad, Brian. "La imagen K/k y la traza K/k de Chow, y el teorema de Lang-Néron" (PDF) . Brian Conrad . Departamento de Matemáticas de la Universidad de Stanford . Consultado el 4 de mayo de 2024 .
12. Klagsbrun, Zev; Sherman, Travis; Weigandt, James (2019). "La curva de Elkies tiene rango 28 sujeto solo a GRH". Matemáticas. Comp . 88 (316): 837–846. arXiv : 1606.07178 . doi :10.1090/mcom/3348 . Consultado el 4 de mayo de 2024 .
13. Dujella, Andrej. «Historia de los récords de clasificación de curvas elípticas» . Consultado el 30 de marzo de 2020 .
14. Elkies, Noam. "Nuevos récords para rangos de curvas elípticas con torsión". Archivos NMBRTHRY . Consultado el 30 de marzo de 2020 .
15. Elkies, Noam (29 de agosto de 2024). "Z^29 en E(Q)". Archivos NMBRTHRY . Archivado desde el original el 18 de septiembre de 2024.