En matemáticas, el conductor de una curva elíptica sobre el campo de números racionales (o más generalmente un campo local o global ) es un ideal integral , que es análogo al conductor de Artin de una representación de Galois . Se da como producto de ideales primos , junto con exponentes asociados, que codifican la ramificación en las extensiones de campo generadas por los puntos de orden finito en la ley de grupo de la curva elíptica . Los números primos involucrados en el conductor son precisamente los números primos de mala reducción de la curva: este es el criterio de Néron-Ogg-Shafarevich .
La fórmula de Ogg expresa el conductor en términos del discriminante y el número de componentes de la fibra especial en un campo local, que se puede calcular utilizando el algoritmo de Tate .
El conductor de una curva elíptica sobre un campo local fue estudiado implícitamente (pero no nombrado) por Ogg (1967) en la forma de un invariante entero ε+δ que luego resultó ser el exponente del conductor.
El conductor de una curva elíptica sobre los racionales fue introducido y nombrado por Weil (1967) como una constante que aparece en la ecuación funcional de su serie L , de forma análoga a la forma en que aparece el conductor de un campo global en la ecuación funcional de su zeta. función. Demostró que podría escribirse como un producto entre números primos con exponentes dados por el orden (Δ) − μ + 1, que según la fórmula de Ogg es igual a ε+δ. Una definición similar funciona para cualquier campo global. Weil también sugirió que el conductor era igual al nivel de una forma modular correspondiente a la curva elíptica.
Serre y Tate (1968) ampliaron la teoría a conductores de variedades abelianas .
Sea E una curva elíptica definida sobre un campo local K y p un ideal primo del anillo de números enteros de K. Consideramos una ecuación mínima para E : una ecuación de Weierstrass generalizada cuyos coeficientes son p -integrales y con la valoración del discriminante ν p (Δ) lo más pequeña posible. Si el discriminante es una unidad p , entonces E tiene una buena reducción en p y el exponente del conductor es cero.
Podemos escribir el exponente f del conductor como una suma ε + δ de dos términos, correspondientes a la ramificación mansa y salvaje. La parte de ramificación domesticada ε se define en términos del tipo de reducción: ε=0 para una buena reducción, ε=1 para una reducción multiplicativa y ε=2 para una reducción aditiva. El término de ramificación salvaje δ es cero a menos que p divida a 2 o 3, y en los últimos casos se define en términos de la ramificación salvaje de las extensiones de K por los puntos de división de E mediante la fórmula de Serre.
Aquí M es el grupo de puntos de la curva elíptica de orden l para un primo l , P es la representación de Swan y G el grupo de Galois de una extensión finita de K tal que los puntos de M están definidos sobre él (de modo que G actúa sobre M )
El exponente del conductor está relacionado con otros invariantes de la curva elíptica mediante la fórmula de Ogg:
donde n es el número de componentes (sin contar multiplicidades) de la fibra singular del modelo mínimo de Néron para E. (Esto a veces se utiliza como definición del conductor).
La prueba original de Ogg utilizó mucha verificación caso por caso, especialmente en las características 2 y 3. Saito (1988) dio una prueba uniforme y generalizó la fórmula de Ogg a superficies aritméticas más generales.
También podemos describir ε en términos de la valoración del j-invariante ν p ( j ): es 0 en el caso de una buena reducción; en caso contrario es 1 si ν p ( j ) < 0 y 2 si ν p ( j ) ≥ 0.
Sea E una curva elíptica definida sobre un campo numérico K. El conductor global es el ideal dado por el producto sobre números primos de K
Este es un producto finito ya que los números primos de mala reducción están contenidos en el conjunto de primos divisores del discriminante de cualquier modelo para E con coeficientes integrales globales.
![{\displaystyle \delta =\dim _{Z/lZ}{\text{Hom}}_{Z_{l}[G]}(P,M).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f64514b79c34d60c5ce490bdfa26432c9a4e41de)
