La teoría algebraica de números es una rama de la teoría de números que utiliza las técnicas del álgebra abstracta para estudiar los números enteros , los números racionales y sus generalizaciones. Las cuestiones de teoría de números se expresan en términos de propiedades de objetos algebraicos como cuerpos de números algebraicos y sus anillos de números enteros , cuerpos finitos y cuerpos de funciones . Estas propiedades, como si un anillo admite factorización única , el comportamiento de los ideales y los grupos de cuerpos de Galois , pueden resolver cuestiones de importancia primordial en la teoría de números, como la existencia de soluciones a ecuaciones diofánticas .
Los inicios de la teoría algebraica de números se remontan a las ecuaciones diofánticas, [1] llamadas así por el matemático alejandrino del siglo III, Diofanto , que las estudió y desarrolló métodos para la solución de algunos tipos de ecuaciones diofánticas. Un problema diofántico típico es encontrar dos números enteros x e y tales que su suma, y la suma de sus cuadrados, sean iguales a dos números dados A y B , respectivamente:
Las ecuaciones diofánticas se han estudiado durante miles de años. Por ejemplo, las soluciones de la ecuación diofántica cuadrática
x 2 + y 2 = z 2 se dan mediante las ternas pitagóricas , resueltas originalmente por los babilonios ( c. 1800 a. C. ). [2] Las soluciones de las ecuaciones diofánticas lineales, como 26 x + 65 y = 13, se pueden encontrar utilizando el algoritmo de Euclides (c. siglo V a. C.). [3]
La obra principal de Diofanto fue la Aritmética , de la que sólo sobrevivió una parte.
El último teorema de Fermat fue conjeturado por primera vez por Pierre de Fermat en 1637, en el famoso margen de una copia de Arithmetica , donde afirmaba que tenía una prueba que era demasiado grande para caber en el margen. No se publicó ninguna prueba exitosa hasta 1995, a pesar de los esfuerzos de innumerables matemáticos durante los 358 años transcurridos desde entonces. El problema sin resolver estimuló el desarrollo de la teoría algebraica de números en el siglo XIX y la prueba del teorema de modularidad en el siglo XX.
Una de las obras fundadoras de la teoría algebraica de números, las Disquisitiones Arithmeticae ( en latín : Investigaciones aritméticas ) es un libro de texto de teoría de números escrito en latín [4] por Carl Friedrich Gauss en 1798 cuando Gauss tenía 21 años y publicado por primera vez en 1801 cuando tenía 24. En este libro, Gauss reúne resultados en teoría de números obtenidos por matemáticos como Fermat, Euler , Lagrange y Legendre y agrega nuevos resultados importantes propios. Antes de que se publicaran las Disquisitiones , la teoría de números consistía en una colección de teoremas y conjeturas aislados. Gauss reunió el trabajo de sus predecesores con su propio trabajo original en un marco sistemático, llenó vacíos, corrigió pruebas erróneas y amplió el tema de numerosas maneras.
Las Disquisitiones fueron el punto de partida del trabajo de otros matemáticos europeos del siglo XIX, entre ellos Ernst Kummer , Peter Gustav Lejeune Dirichlet y Richard Dedekind . Muchas de las anotaciones de Gauss son, en efecto, anuncios de nuevas investigaciones propias, algunas de las cuales permanecieron inéditas. Debieron parecer particularmente crípticas a sus contemporáneos; ahora podemos leerlas como si contuvieran los gérmenes de las teorías de las funciones L y de la multiplicación compleja , en particular.
En un par de artículos de 1838 y 1839, Peter Gustav Lejeune Dirichlet demostró la primera fórmula de número de clase para formas cuadráticas (posteriormente refinada por su alumno Leopold Kronecker ). La fórmula, que Jacobi llamó un resultado "que toca lo más profundo de la perspicacia humana", abrió el camino para resultados similares con respecto a cuerpos numéricos más generales . [5] Basándose en su investigación de la estructura del grupo unitario de cuerpos cuadráticos , demostró el teorema unitario de Dirichlet , un resultado fundamental en la teoría algebraica de números. [6]
Fue el primero en utilizar el principio del palomar , un argumento básico de conteo, en la demostración de un teorema en aproximación diofántica , más tarde llamado en su honor teorema de aproximación de Dirichlet . Publicó importantes contribuciones al último teorema de Fermat, para el que demostró los casos n = 5 y n = 14, y a la ley de reciprocidad bicuadrática . [5] El problema del divisor de Dirichlet , para el que encontró los primeros resultados, sigue siendo un problema sin resolver en la teoría de números a pesar de las contribuciones posteriores de otros investigadores.
El estudio que Richard Dedekind hizo de la obra de Lejeune Dirichlet fue lo que lo llevó a su posterior estudio de los cuerpos numéricos algebraicos y los ideales. En 1863, publicó las conferencias de Lejeune Dirichlet sobre teoría de números con el título Vorlesungen über Zahlentheorie ("Conferencias sobre teoría de números"), sobre las cuales se ha escrito que:
"Aunque el libro está basado sin duda en las conferencias de Dirichlet, y aunque el propio Dedekind se refirió al libro durante toda su vida como de Dirichlet, el libro en sí fue escrito íntegramente por Dedekind, en su mayor parte después de la muerte de Dirichlet". (Edwards 1983)
Las ediciones de 1879 y 1894 de las Vorlesungen incluyeron suplementos que introducían la noción de ideal, fundamental para la teoría de anillos . (La palabra "Anillo", introducida posteriormente por Hilbert , no aparece en la obra de Dedekind). Dedekind definió un ideal como un subconjunto de un conjunto de números, compuesto por números enteros algebraicos que satisfacen ecuaciones polinómicas con coeficientes enteros. El concepto experimentó un mayor desarrollo en manos de Hilbert y, especialmente, de Emmy Noether . Los ideales generalizan los números ideales de Ernst Eduard Kummer , ideados como parte del intento de Kummer en 1843 de demostrar el Último Teorema de Fermat.
David Hilbert unificó el campo de la teoría algebraica de números con su tratado de 1897 Zahlbericht (literalmente "informe sobre números"). También resolvió un importante problema de teoría de números formulado por Waring en 1770. Al igual que con el teorema de finitud, utilizó una prueba de existencia que muestra que debe haber soluciones para el problema en lugar de proporcionar un mecanismo para producir las respuestas. [7] En ese momento tenía poco más que publicar sobre el tema; pero la aparición de las formas modulares de Hilbert en la disertación de un estudiante significa que su nombre está aún más vinculado a un área importante.
Hizo una serie de conjeturas sobre la teoría de campos de clases . Los conceptos fueron muy influyentes y su propia contribución sigue viva en los nombres de campo de clases de Hilbert y del símbolo de Hilbert de la teoría de campos de clases locales . Los resultados fueron demostrados en su mayoría en 1930, después del trabajo de Teiji Takagi . [8]
Emil Artin estableció la ley de reciprocidad de Artin en una serie de artículos (1924; 1927; 1930). Esta ley es un teorema general en teoría de números que forma una parte central de la teoría de campos de clases globales. [9] El término " ley de reciprocidad " se refiere a una larga línea de enunciados teóricos de números más concretos que generalizó, desde la ley de reciprocidad cuadrática y las leyes de reciprocidad de Eisenstein y Kummer hasta la fórmula del producto de Hilbert para el símbolo de norma . El resultado de Artin proporcionó una solución parcial al noveno problema de Hilbert .
Alrededor de 1955, los matemáticos japoneses Goro Shimura y Yutaka Taniyama observaron un posible vínculo entre dos ramas de las matemáticas aparentemente completamente distintas, las curvas elípticas y las formas modulares . El teorema de modularidad resultante (en ese momento conocido como la conjetura de Taniyama-Shimura) establece que cada curva elíptica es modular , lo que significa que puede asociarse con una forma modular única .
Inicialmente se la descartó por considerarla poco probable o altamente especulativa, pero se la tomó más en serio cuando el teórico de números André Weil encontró evidencia que la apoyaba, pero ninguna prueba; como resultado, la conjetura "asombrosa" [10] a menudo se conoció como la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil. Se convirtió en parte del programa Langlands , una lista de conjeturas importantes que necesitaban prueba o refutación.
De 1993 a 1994, Andrew Wiles proporcionó una prueba del teorema de modularidad para curvas elípticas semiestables , que, junto con el teorema de Ribet , proporcionó una prueba para el Último Teorema de Fermat. Casi todos los matemáticos de la época habían considerado previamente que tanto el Último Teorema de Fermat como el Teorema de Modularidad eran imposibles o virtualmente imposibles de demostrar, incluso con los desarrollos más avanzados. Wiles anunció por primera vez su prueba en junio de 1993 [11] en una versión que pronto se reconoció que tenía una falla grave en un punto clave. La prueba fue corregida por Wiles, en parte en colaboración con Richard Taylor , y la versión final, ampliamente aceptada, fue lanzada en septiembre de 1994 y publicada formalmente en 1995. La prueba utiliza muchas técnicas de la geometría algebraica y la teoría de números, y tiene muchas ramificaciones en estas ramas de las matemáticas. También utiliza construcciones estándar de la geometría algebraica moderna, como la categoría de esquemas y la teoría de Iwasawa , y otras técnicas del siglo XX que no estaban disponibles para Fermat.
Una propiedad importante del anillo de números enteros es que satisface el teorema fundamental de la aritmética , según el cual todo número entero (positivo) tiene una factorización en un producto de números primos , y esta factorización es única hasta el orden de los factores. Esto puede no ser cierto en el anillo de números enteros O de un cuerpo de números algebraicos K.
Un elemento primo es un elemento p de O tal que si p divide un producto ab , entonces divide uno de los factores a o b . Esta propiedad está estrechamente relacionada con la primalidad en los números enteros, porque cualquier número entero positivo que satisface esta propiedad es 1 o un número primo. Sin embargo, es estrictamente más débil. Por ejemplo, −2 no es un número primo porque es negativo, pero es un elemento primo. Si se permiten factorizaciones en elementos primos, entonces, incluso en los números enteros, hay factorizaciones alternativas como
En general, si u es una unidad , es decir, un número con un inverso multiplicativo en O , y si p es un elemento primo, entonces up también es un elemento primo. Se dice que números como p y up son asociados . En los números enteros, los primos p y − p son asociados, pero solo uno de ellos es positivo. Al exigir que los números primos sean positivos, se selecciona un elemento único de entre un conjunto de elementos primos asociados. Sin embargo, cuando K no son los números racionales, no hay análogo de positividad. Por ejemplo, en los números enteros gaussianos Z [ i ] , [12] los números 1 + 2 i y −2 + i son asociados porque el último es el producto del primero por i , pero no hay forma de distinguir uno como más canónico que el otro. Esto conduce a ecuaciones como
que prueban que en Z [ i ] no es cierto que las factorizaciones sean únicas hasta el orden de los factores. Por esta razón, se adopta la definición de factorización única utilizada en los dominios de factorización única (UFD). En un UFD, se espera que los elementos primos que aparecen en una factorización solo sean únicos hasta las unidades y su orden.
Sin embargo, incluso con esta definición más débil, muchos anillos de números enteros en cuerpos de números algebraicos no admiten factorización única. Existe una obstrucción algebraica llamada grupo de clases ideal. Cuando el grupo de clases ideal es trivial, el anillo es un UFD. Cuando no lo es, existe una distinción entre un elemento primo y un elemento irreducible . Un elemento irreducible x es un elemento tal que si x = yz , entonces y o z es una unidad. Estos son los elementos que no se pueden factorizar más. Cada elemento en O admite una factorización en elementos irreducibles, pero puede admitir más de uno. Esto se debe a que, si bien todos los elementos primos son irreducibles, algunos elementos irreducibles pueden no ser primos. Por ejemplo, considere el anillo Z [√ -5 ] . [13] En este anillo, los números 3 , 2 + √ -5 y 2 - √ -5 son irreducibles. Esto significa que el número 9 tiene dos factorizaciones en elementos irreducibles,
Esta ecuación muestra que 3 divide al producto (2 + √ -5 )(2 - √ -5 ) = 9 . Si 3 fuera un elemento primo, entonces dividiría a 2 + √ -5 o 2 - √ -5 , pero no lo hace, porque todos los elementos divisibles por 3 son de la forma 3 a + 3 b √ -5 . De manera similar, 2 + √ -5 y 2 - √ -5 dividen al producto 3 2 , pero ninguno de estos elementos divide al propio 3 , por lo que ninguno de ellos es primo. Como no hay ningún sentido en el que los elementos 3 , 2 + √ -5 y 2 - √ -5 puedan hacerse equivalentes, la factorización única falla en Z [√ -5 ] . A diferencia de la situación con las unidades, donde la unicidad podría repararse debilitando la definición, superar esta falla requiere una nueva perspectiva.
Si I es un ideal en O , entonces siempre hay una factorización
donde cada uno es un ideal primo , y donde esta expresión es única hasta el orden de los factores. En particular, esto es cierto si I es el ideal principal generado por un solo elemento. Este es el sentido más fuerte en el que el anillo de números enteros de un cuerpo de números general admite factorización única. En el lenguaje de la teoría de anillos, dice que los anillos de números enteros son dominios de Dedekind .
Cuando O es un UFD, todo ideal primo es generado por un elemento primo. De lo contrario, hay ideales primos que no son generados por elementos primos. En Z [√ -5 ] , por ejemplo, el ideal (2, 1 + √ -5 ) es un ideal primo que no puede ser generado por un solo elemento.
Históricamente, la idea de factorizar ideales en ideales primos fue precedida por la introducción de los números ideales por parte de Ernst Kummer. Estos son números que se encuentran en un campo de extensión E de K. Este campo de extensión ahora se conoce como el campo de clase de Hilbert. Por el teorema del ideal principal , cada ideal primo de O genera un ideal principal del anillo de números enteros de E. Un generador de este ideal principal se llama número ideal. Kummer usó estos como un sustituto para el fracaso de la factorización única en los campos ciclotómicos . Estos finalmente llevaron a Richard Dedekind a introducir un precursor de ideales y a demostrar la factorización única de ideales.
Un ideal que es primo en el anillo de números enteros en un cuerpo de números puede dejar de serlo cuando se extiende a un cuerpo de números mayor. Consideremos, por ejemplo, los números primos. Los ideales correspondientes p Z son ideales primos del anillo Z . Sin embargo, cuando este ideal se extiende a los números enteros gaussianos para obtener p Z [ i ] , puede ser primo o no. Por ejemplo, la factorización 2 = (1 + i )(1 − i ) implica que
nótese que debido a que 1 + i = (1 − i ) ⋅ i , los ideales generados por 1 + i y 1 − i son los mismos. Una respuesta completa a la pregunta de qué ideales siguen siendo primos en los enteros gaussianos la proporciona el teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados . Implica que para un número primo impar p , p Z [ i ] es un ideal primo si p ≡ 3 (mod 4) y no es un ideal primo si p ≡ 1 (mod 4) . Esto, junto con la observación de que el ideal (1 + i ) Z [ i ] es primo, proporciona una descripción completa de los ideales primos en los enteros gaussianos. Generalizar este simple resultado a anillos más generales de enteros es un problema básico en la teoría de números algebraicos. La teoría de cuerpos de clases logra este objetivo cuando K es una extensión abeliana de Q (es decir, una extensión de Galois con grupo de Galois abeliano ).
La factorización única falla si y solo si hay ideales primos que no son principales. El objeto que mide el fracaso de los ideales primos para ser principales se llama grupo de clases ideales. Definir el grupo de clases ideales requiere ampliar el conjunto de ideales en un anillo de números enteros algebraicos para que admitan una estructura de grupo . Esto se hace generalizando ideales a ideales fraccionarios . Un ideal fraccionario es un subgrupo aditivo J de K que está cerrado bajo la multiplicación por elementos de O , lo que significa que xJ ⊆ J si x ∈ O. Todos los ideales de O también son ideales fraccionarios. Si I y J son ideales fraccionarios, entonces el conjunto IJ de todos los productos de un elemento en I y un elemento en J también es un ideal fraccionario. Esta operación convierte el conjunto de ideales fraccionarios distintos de cero en un grupo. La identidad de grupo es el ideal (1) = O , y el inverso de J es un cociente ideal (generalizado) :
Los ideales fraccionarios principales, es decir, los de la forma Ox donde x ∈ K × , forman un subgrupo del grupo de todos los ideales fraccionarios distintos de cero. El cociente del grupo de ideales fraccionarios distintos de cero por este subgrupo es el grupo de clase ideal. Dos ideales fraccionarios I y J representan el mismo elemento del grupo de clase ideal si y solo si existe un elemento x ∈ K tal que xI = J . Por lo tanto, el grupo de clase ideal hace que dos ideales fraccionarios sean equivalentes si uno está tan cerca de ser principal como el otro. El grupo de clase ideal generalmente se denota Cl K , Cl O o Pic O (la última notación lo identifica con el grupo de Picard en geometría algebraica).
El número de elementos en el grupo de clases se llama número de clase de K. El número de clase de Q (√ -5 ) es 2. Esto significa que solo hay dos clases ideales, la clase de ideales fraccionarios principales y la clase de un ideal fraccionario no principal como (2, 1 + √ -5 ) .
El grupo de clases ideal tiene otra descripción en términos de divisores . Estos son objetos formales que representan posibles factorizaciones de números. El grupo divisor Div K se define como el grupo abeliano libre generado por los ideales primos de O. Existe un homomorfismo de grupo desde K × , los elementos no nulos de K hasta la multiplicación, hasta Div K . Supóngase que x ∈ K satisface
Entonces div x se define como el divisor
El núcleo de div es el grupo de unidades en O , mientras que el conúcleo es el grupo de clases ideal. En el lenguaje del álgebra homológica , esto dice que hay una secuencia exacta de grupos abelianos (escritos multiplicativamente),
Algunos cuerpos numéricos, como Q (√ 2 ) , pueden especificarse como subcuerpos de los números reales. Otros, como Q (√ −1 ) , no pueden. De manera abstracta, tal especificación corresponde a un homomorfismo de cuerpo K → R o K → C . Estos se denominan incrustaciones reales e incrustaciones complejas , respectivamente.
Un cuerpo cuadrático real Q (√ a ) , con a ∈ Q , a > 0 y a no es un cuadrado perfecto , se llama así porque admite dos incrustaciones reales pero ninguna incrustación compleja. Estos son los homomorfismos de cuerpo que envían √ a a √ a y a −√ a , respectivamente. Dualmente, un cuerpo cuadrático imaginario Q (√ − a ) no admite incrustaciones reales pero admite un par conjugado de incrustaciones complejas. Una de estas incrustaciones envía √ − a a √ − a , mientras que la otra lo envía a su conjugado complejo , −√ − a .
Convencionalmente, el número de incrustaciones reales de K se denota r 1 , mientras que el número de pares conjugados de incrustaciones complejas se denota r 2 . La signatura de K es el par ( r 1 , r 2 ) . Es un teorema que r 1 + 2 r 2 = d , donde d es el grado de K .
Considerar todas las incrustaciones a la vez determina una función , o equivalentemente . Esto se llama incrustación de Minkowski .
El subespacio del codominio fijado por conjugación compleja es un espacio vectorial real de dimensión d llamado espacio de Minkowski . Debido a que la incrustación de Minkowski está definida por homomorfismos de campo, la multiplicación de elementos de K por un elemento x ∈ K corresponde a la multiplicación por una matriz diagonal en la incrustación de Minkowski. El producto escalar en el espacio de Minkowski corresponde a la forma de traza .
La imagen de O bajo la incrustación de Minkowski es una red de dimensión d . Si B es una base para esta red, entonces det B T B es el discriminante de O. El discriminante se denota Δ o D. El covolumen de la imagen de O es .
Las incrustaciones reales y complejas pueden ponerse en el mismo plano que los ideales primos adoptando una perspectiva basada en valoraciones . Consideremos, por ejemplo, los números enteros. Además de la función de valor absoluto habitual |·| : Q → R , existen funciones de valor absoluto p-ádicas |·| p : Q → R , definidas para cada número primo p , que miden la divisibilidad por p . El teorema de Ostrowski establece que todas estas son posibles funciones de valor absoluto en Q (hasta la equivalencia). Por lo tanto, los valores absolutos son un lenguaje común para describir tanto la incrustación real de Q como los números primos.
Un lugar de un cuerpo de números algebraicos es una clase de equivalencia de funciones de valor absoluto en K . Hay dos tipos de lugares. Hay un valor absoluto -ádico para cada ideal primo de O y, al igual que los valores absolutos p -ádicos, mide la divisibilidad. Estos se denominan lugares finitos . El otro tipo de lugar se especifica utilizando una incrustación real o compleja de K y la función de valor absoluto estándar en R o C . Estos son lugares infinitos . Debido a que los valores absolutos no pueden distinguir entre una incrustación compleja y su conjugado, una incrustación compleja y su conjugado determinan el mismo lugar. Por lo tanto, hay r 1 lugares reales y r 2 lugares complejos . Debido a que los lugares abarcan los primos, a veces se hace referencia a los lugares como primos . Cuando se hace esto, los lugares finitos se denominan primos finitos y los lugares infinitos se denominan primos infinitos . Si v es una valoración correspondiente a un valor absoluto, entonces uno escribe con frecuencia para significar que v es un lugar infinito y para significar que es un lugar finito.
Al considerar todos los lugares del campo en conjunto se produce el anillo de Adele del campo numérico. El anillo de Adele permite realizar un seguimiento simultáneo de todos los datos disponibles utilizando valores absolutos. Esto produce ventajas significativas en situaciones en las que el comportamiento en un lugar puede afectar el comportamiento en otros lugares, como en la ley de reciprocidad de Artin .
Existe una analogía geométrica para los lugares en el infinito que se cumple en los campos de funciones de las curvas. Por ejemplo, sea y una curva algebraica suave y proyectiva . El campo de funciones tiene muchos valores absolutos, o lugares, y cada uno corresponde a un punto en la curva. Si es la compleción proyectiva de una curva afín , entonces los puntos en corresponden a los lugares en el infinito. Entonces, la compleción de en uno de estos puntos da un análogo de los -ádicos.
Por ejemplo, si entonces su campo de funciones es isomorfo a donde es un indeterminado y el campo es el campo de fracciones de polinomios en . Entonces, un lugar en un punto mide el orden de desaparición o el orden de un polo de una fracción de polinomios en el punto . Por ejemplo, si , entonces en la carta afín esto corresponde al punto , la valoración mide el orden de desaparición de menos el orden de desaparición de en . El campo de funciones de la terminación en el lugar es entonces que es el campo de la serie de potencias en la variable , por lo que un elemento es de la forma
Para algunos . Para el lugar en el infinito, esto corresponde al campo de funciones que son series de potencias de la forma
Los números enteros tienen sólo dos unidades, 1 y −1 . Otros anillos de números enteros pueden admitir más unidades. Los números enteros de Gauss tienen cuatro unidades, las dos anteriores además de ± i . Los números enteros de Eisenstein Z [exp(2π i / 3)] tienen seis unidades. Los números enteros en cuerpos de números cuadráticos reales tienen infinitas unidades. Por ejemplo, en Z [√ 3 ] , cada potencia de 2 + √ 3 es una unidad, y todas estas potencias son distintas.
En general, el grupo de unidades de O , denotado O × , es un grupo abeliano finitamente generado. El teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados implica, por tanto, que es una suma directa de una parte de torsión y una parte libre. Reinterpretando esto en el contexto de un cuerpo numérico, la parte de torsión consiste en las raíces de la unidad que se encuentran en O . Este grupo es cíclico. La parte libre se describe mediante el teorema de la unidad de Dirichlet . Este teorema dice que el rango de la parte libre es r 1 + r 2 − 1 . Así, por ejemplo, los únicos cuerpos para los que el rango de la parte libre es cero son Q y los cuerpos cuadráticos imaginarios. También es posible una afirmación más precisa que dé la estructura de O × ⊗ Z Q como un módulo de Galois para el grupo de Galois de K / Q. [14]
La parte libre del grupo unitario se puede estudiar utilizando los lugares infinitos de K. Considere la función
donde v varía sobre los lugares infinitos de K y |·| v es el valor absoluto asociado con v . La función L es un homomorfismo de K × a un espacio vectorial real. Se puede demostrar que la imagen de O × es una red que abarca el hiperplano definido por El covolumen de esta red es el regulador del cuerpo de números. Una de las simplificaciones que se hacen posibles al trabajar con el anillo de Adele es que hay un solo objeto, el grupo de clases ideal , que describe tanto el cociente por esta red como el grupo de clases ideal.
La función zeta de Dedekind de un cuerpo de números, análoga a la función zeta de Riemann , es un objeto analítico que describe el comportamiento de los ideales primos en K. Cuando K es una extensión abeliana de Q , las funciones zeta de Dedekind son productos de funciones L de Dirichlet , existiendo un factor para cada carácter de Dirichlet . El carácter trivial corresponde a la función zeta de Riemann. Cuando K es una extensión de Galois , la función zeta de Dedekind es la función L de Artin de la representación regular del grupo de Galois de K , y tiene una factorización en términos de representaciones irreducibles de Artin del grupo de Galois.
La función zeta está relacionada con los otros invariantes descritos anteriormente mediante la fórmula del número de clase .
Completar un cuerpo numérico K en un lugar w da un cuerpo completo . Si la valoración es arquimediana, se obtiene R o C , si no es arquimediana y se encuentra sobre un primo p de los racionales, se obtiene una extensión finita un cuerpo completo, discreto y valorado con un cuerpo de residuos finitos. Este proceso simplifica la aritmética del cuerpo y permite el estudio local de los problemas. Por ejemplo, el teorema de Kronecker-Weber se puede deducir fácilmente a partir del enunciado local análogo. La filosofía detrás del estudio de los cuerpos locales está motivada en gran medida por métodos geométricos. En geometría algebraica, es común estudiar variedades localmente en un punto localizándolas en un ideal máximo. La información global se puede recuperar luego uniendo los datos locales. Este espíritu se adopta en la teoría de números algebraicos. Dado un primo en el anillo de números enteros algebraicos en un cuerpo numérico, es deseable estudiar el cuerpo localmente en ese primo. Por lo tanto, uno localiza el anillo de números enteros algebraicos en ese primo y luego completa el cuerpo de fracciones en el espíritu de la geometría.
Uno de los resultados clásicos en la teoría de números algebraicos es que el grupo de clases ideal de un cuerpo de números algebraicos K es finito. Esto es una consecuencia del teorema de Minkowski , ya que solo hay un número finito de ideales integrales con norma menor que un entero positivo fijo [15] página 78. El orden del grupo de clases se denomina número de clase y a menudo se denota con la letra h .
El teorema de la unidad de Dirichlet proporciona una descripción de la estructura del grupo multiplicativo de unidades O × del anillo de números enteros O . Específicamente, establece que O × es isomorfo a G × Z r , donde G es el grupo cíclico finito que consiste en todas las raíces de la unidad en O , y r = r 1 + r 2 − 1 (donde r 1 (respectivamente, r 2 ) denota el número de incrustaciones reales (respectivamente, pares de incrustaciones no reales conjugadas) de K ). En otras palabras, O × es un grupo abeliano finitamente generado de rango r 1 + r 2 − 1 cuya torsión consiste en las raíces de la unidad en O .
En términos del símbolo de Legendre , la ley de reciprocidad cuadrática para primos impares positivos establece
Una ley de reciprocidad es una generalización de la ley de reciprocidad cuadrática .
Existen varias formas diferentes de expresar las leyes de reciprocidad. Las primeras leyes de reciprocidad encontradas en el siglo XIX se expresaban generalmente en términos de un símbolo de residuo de potencia ( p / q ) que generalizaba el símbolo de reciprocidad cuadrática , que describe cuándo un número primo es un residuo de potencia n- ésima módulo otro primo, y daba una relación entre ( p / q ) y ( q / p ). Hilbert reformuló las leyes de reciprocidad diciendo que un producto sobre p de símbolos de Hilbert ( a , b / p ), que toman valores en raíces de la unidad, es igual a 1. La ley de reciprocidad reformulada de Artin establece que el símbolo de Artin de ideales (o ideles) a elementos de un grupo de Galois es trivial en un cierto subgrupo. Varias generalizaciones más recientes expresan leyes de reciprocidad usando cohomología de grupos o representaciones de grupos adélicos o grupos K algebraicos, y su relación con la ley de reciprocidad cuadrática original puede ser difícil de ver.
La fórmula del número de clase relaciona muchos invariantes importantes de un campo numérico con un valor especial de su función zeta de Dedekind.
La teoría algebraica de números interactúa con muchas otras disciplinas matemáticas. Utiliza herramientas del álgebra homológica . A través de la analogía de cuerpos de funciones frente a cuerpos de números, se basa en técnicas e ideas de la geometría algebraica. Además, el estudio de esquemas de dimensiones superiores sobre Z en lugar de anillos de números se conoce como geometría aritmética . La teoría algebraica de números también se utiliza en el estudio de las 3-variedades hiperbólicas aritméticas .
Medios relacionados con la teoría algebraica de números en Wikimedia Commons
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![{\displaystyle p=[2:1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a4307ceccfe0f808749a10601f98a74c01a50d3)
