En matemáticas , el símbolo de Hilbert o símbolo de residuo de norma es una función (–, –) de K × × K × al grupo de n- ésimas raíces de la unidad en un campo local K , como los campos de números reales o p-ádicos. . Está relacionado con las leyes de reciprocidad y puede definirse en términos del símbolo de Artin de la teoría de campos de clases locales . El símbolo de Hilbert fue introducido por David Hilbert (1897, secciones 64, 131, 1998, traducción al inglés) en su Zahlbericht , con la ligera diferencia de que lo definió para elementos de campos globales en lugar de para campos locales más grandes.
El símbolo de Hilbert se ha generalizado a campos locales superiores .
Sobre un campo local K cuyo grupo multiplicativo de elementos distintos de cero es K × , el símbolo cuadrático de Hilbert es la función (–, –) de K × × K × a {−1,1} definida por
De manera equivalente, si y solo si es igual a la norma de un elemento de la extensión cuadrática [1] página 110 .
Las siguientes tres propiedades se derivan directamente de la definición, eligiendo soluciones adecuadas de la ecuación diofántica anterior:
La (bi)multiplicatividad, es decir,
Sin embargo, para cualquier a , b 1 y b 2 en K × es más difícil de probar y requiere el desarrollo de la teoría de campos de clases local .
La tercera propiedad muestra que el símbolo de Hilbert es un ejemplo de un símbolo de Steinberg y, por lo tanto, factoriza el segundo grupo K de Milnor , que por definición es
En la primera propiedad, incluso se factoriza . Este es el primer paso hacia la conjetura de Milnor .
El símbolo de Hilbert también se puede utilizar para denotar el álgebra simple central sobre K con base 1, i , j , k y reglas de multiplicación , , . En este caso el álgebra representa un elemento de orden 2 en el grupo de Brauer de K , el cual se identifica con -1 si es un álgebra de división y +1 si es isomorfo al álgebra de matrices de 2 por 2.
Para un lugar v del campo de números racionales y números racionales a , b denotamos ( a , b ) v el valor del símbolo de Hilbert en la correspondiente terminación Q v . Como de costumbre, si v es la valoración adjunta a un número primo p , entonces la terminación correspondiente es el campo p-ádico y si v es el lugar infinito, entonces la terminación es el campo de números reales .
Sobre los reales, ( a , b ) ∞ es +1 si al menos uno de a o b es positivo, y −1 si ambos son negativos.
Sobre los p-ádicos con p impar, escribiendo y , donde u y v son números enteros coprimos de p , tenemos
y la expresión involucra dos símbolos de Legendre .
Sobre los 2-ádicos, escribiendo nuevamente y , donde u y v son números impares , tenemos
Se sabe que si v abarca todos los lugares, ( a , b ) v es 1 para casi todos los lugares. Por lo tanto, la siguiente fórmula del producto
tiene sentido. Es equivalente a la ley de reciprocidad cuadrática .
El símbolo de Hilbert en un campo F define un mapa
donde Br( F ) es el grupo de Brauer de F . El núcleo de este mapeo, los elementos a tales que ( a , b )=1 para todo b , es el radical de Kaplansky de F . [2]
El radical es un subgrupo de F * /F *2 , identificado con un subgrupo de F * . El radical es igual a F * si y sólo si F tiene u -invariante como máximo 2. [3] En la dirección opuesta, un campo con radical F *2 se denomina campo de Hilbert . [4]
Si K es un campo local que contiene el grupo de n- ésimas raíces de la unidad para algún entero positivo n primo de la característica de K , entonces el símbolo de Hilbert (,) es una función de K *× K * a μ n . En términos del símbolo Artin, se puede definir mediante [5]
Hilbert definió originalmente el símbolo de Hilbert antes de que se descubriera el símbolo de Artin, y su definición (para n primo) usó el símbolo de residuo de potencia cuando K tiene una característica de residuo coprimo con n , y era bastante complicada cuando K tiene una característica de residuo que divide a n .
El símbolo de Hilbert es (multiplicativamente) bilineal:
sesgado simétrico:
no degenerado:
Detecta normas (de ahí el nombre símbolo de residuo de norma):
Tiene las propiedades de "símbolo" :
La ley de reciprocidad de Hilbert establece que si a y b están en un campo numérico algebraico que contiene las raíces enésimas de la unidad, entonces [6]
donde el producto está sobre los primos finitos e infinitos p del campo numérico, y donde (,) p es el símbolo de Hilbert de la terminación en p . La ley de reciprocidad de Hilbert se deriva de la ley de reciprocidad de Artin y de la definición del símbolo de Hilbert en términos del símbolo de Artin.
Si K es un campo numérico que contiene las n- ésimas raíces de la unidad, p es un ideal primo que no divide a n , π es un elemento primo del campo local de p y a es coprimo de p , entonces el símbolo del residuo de potencia (una
p) está relacionado con el símbolo de Hilbert por [7]
El símbolo del residuo de potencia se extiende a ideales fraccionarios mediante multiplicatividad y se define para elementos del campo numérico poniendo (un
segundo)=(un
( segundo )) donde ( b ) es el ideal principal generado por b . La ley de reciprocidad de Hilbert implica entonces la siguiente ley de reciprocidad para el símbolo del residuo, para a y b primos entre sí y para n :