Símbolo de residuo de energía

En teoría algebraica de números, el símbolo del residuo de potencia n -ésimo (para un número entero n > 2) es una generalización del símbolo (cuadrático) de Legendre a potencias n -ésimas. Estos símbolos se utilizan en el enunciado y prueba de leyes de reciprocidad cúbica , cuártica , de Eisenstein y superiores ^[1] relacionadas . ^[2]

Antecedentes y notación

Sea k un campo numérico algebraico con un anillo de números enteros que contiene una raíz n -ésima primitiva de la unidad ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}}$ ${\displaystyle \zeta _{n}.}$

Sea un ideal primo y supongamos que n y son coprimos (es decir , .) ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{k}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle n\not \in {\mathfrak {p}}}$

La norma de se define como la cardinalidad del anillo de clase de residuo (tenga en cuenta que, dado que es primo, el anillo de clase de residuo es un campo finito ): ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

${\displaystyle \mathrm {N} {\mathfrak {p}}:=|{\mathcal {O}}_{k}/{\mathfrak {p}}|.}$

Un análogo del teorema de Fermat se cumple en Si entonces ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}.}$ ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {O}}_{k}-{\mathfrak {p}},}$

${\displaystyle \alpha ^{\mathrm {N} {\mathfrak {p}}-1}\equiv 1{\bmod {\mathfrak {p}}}.}$

Y finalmente, supongamos que estos hechos implican que ${\displaystyle \mathrm {N} {\mathfrak {p}}\equiv 1{\bmod {n}}.}$

${\displaystyle \alpha ^{\frac {\mathrm {N} {\mathfrak {p}}-1}{n}}\equiv \zeta _{n}^{s}{\bmod {\mathfrak {p}}}}$

está bien definido y es congruente con una única raíz -ésima de la unidad ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \zeta _{n}^{s}.}$

Definición

Esta raíz de unidad se llama el n -ésimo símbolo del residuo de potencia y se denota por ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k},}$

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}=\zeta _{n}^{s}\equiv \alpha ^{\frac {\mathrm {N} {\mathfrak {p}}-1}{n}}{\bmod {\mathfrak {p}}}.}$

Propiedades

El n -ésimo símbolo de potencia tiene propiedades completamente análogas a las del símbolo clásico (cuadrático) de Jacobi ( es una raíz -ésima primitiva fija de la unidad): ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}={\begin{cases}0&\alpha \in {\mathfrak {p}}\\1&\alpha \not \in {\mathfrak {p}}{\text{ and }}\exists \eta \in {\mathcal {O}}_{k}:\alpha \equiv \eta ^{n}{\bmod {\mathfrak {p}}}\\\zeta &\alpha \not \in {\mathfrak {p}}{\text{ and there is no such }}\eta \end{cases}}}$

En todos los casos (cero y distinto de cero)

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}\equiv \alpha ^{\frac {\mathrm {N} {\mathfrak {p}}-1}{n}}{\bmod {\mathfrak {p}}}.}$

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}\left({\frac {\beta }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}=\left({\frac {\alpha \beta }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}}$

${\displaystyle \alpha \equiv \beta {\bmod {\mathfrak {p}}}\quad \Rightarrow \quad \left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}=\left({\frac {\beta }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}}$

Todos los símbolos de residuos de potencia mod n son caracteres de Dirichlet mod n , y el m -ésimo símbolo de residuo de potencia solo contiene las m -ésimas raíces de la unidad , el m -ésimo símbolo de residuo de potencia mod n existe si y sólo si m divide (la lambda de Carmichael función de n ). ${\displaystyle \lambda (n)}$

Relación con el símbolo de Hilbert

El n -ésimo símbolo del residuo de potencia está relacionado con el símbolo de Hilbert para el primo por ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}=(\pi ,\alpha )_{\mathfrak {p}}}$

en el caso coprimo a n , donde es cualquier elemento uniformizador para el campo local . ^[3] ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle K_{\mathfrak {p}}}$

Generalizaciones

El símbolo de potencia -ésimo puede ampliarse para tomar ideales no primos o elementos distintos de cero como su "denominador", de la misma manera que el símbolo de Jacobi extiende el símbolo de Legendre. ${\displaystyle n}$

Todo ideal es producto de ideales primos, y de un solo modo: ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{k}}$

${\displaystyle {\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}\cdots {\mathfrak {p}}_{g}.}$

El símbolo de potencia -ésimo se extiende multiplicativamente: ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\mathfrak {a}}}\right)_{n}=\left({\frac {\alpha }{{\mathfrak {p}}_{1}}}\right)_{n}\cdots \left({\frac {\alpha }{{\mathfrak {p}}_{g}}}\right)_{n}.}$

Para entonces definimos ${\displaystyle 0\neq \beta \in {\mathcal {O}}_{k}}$

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\beta }}\right)_{n}:=\left({\frac {\alpha }{(\beta )}}\right)_{n},}$

¿Dónde está el ideal principal generado por ${\displaystyle (\beta )}$ ${\displaystyle \beta .}$

De manera análoga al símbolo cuadrático de Jacobi, este símbolo es multiplicativo en los parámetros superior e inferior.

• si entonces ${\displaystyle \alpha \equiv \beta {\bmod {\mathfrak {a}}}}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {\alpha }{\mathfrak {a}}}\right)_{n}=\left({\tfrac {\beta }{\mathfrak {a}}}\right)_{n}.}$
• ${\displaystyle \left({\tfrac {\alpha }{\mathfrak {a}}}\right)_{n}\left({\tfrac {\beta }{\mathfrak {a}}}\right)_{n}=\left({\tfrac {\alpha \beta }{\mathfrak {a}}}\right)_{n}.}$
• ${\displaystyle \left({\tfrac {\alpha }{\mathfrak {a}}}\right)_{n}\left({\tfrac {\alpha }{\mathfrak {b}}}\right)_{n}=\left({\tfrac {\alpha }{\mathfrak {ab}}}\right)_{n}.}$

Dado que el símbolo es siempre una raíz -ésima de la unidad, debido a su multiplicatividad es igual a 1 siempre que un parámetro sea una potencia -ésima; lo contrario no es cierto. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

• si entonces ${\displaystyle \alpha \equiv \eta ^{n}{\bmod {\mathfrak {a}}}}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {\alpha }{\mathfrak {a}}}\right)_{n}=1.}$
• Si entonces no es un -ésimo módulo de potencia ${\displaystyle \left({\tfrac {\alpha }{\mathfrak {a}}}\right)_{n}\neq 1}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}.}$
• Si entonces puede o no ser un -ésimo módulo de potencia ${\displaystyle \left({\tfrac {\alpha }{\mathfrak {a}}}\right)_{n}=1}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}.}$

Ley de reciprocidad de poder

La ley de reciprocidad de potencias , análoga a la ley de reciprocidad cuadrática , puede formularse en términos de los símbolos de Hilbert como ^[4]

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\beta }}\right)_{n}\left({\frac {\beta }{\alpha }}\right)_{n}^{-1}=\prod _{{\mathfrak {p}}|n\infty }(\alpha ,\beta )_{\mathfrak {p}},}$

siempre y son coprimos. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Ver también

• Aritmética_modular#clase_residuo
• Residuo_cuadrático#Prime_power_modulus
• símbolo de arte
• Lema de Gauss

Notas

1. La reciprocidad cuadrática se ocupa de los cuadrados; superior se refiere a cubos, cuarta y potencias superiores.
2. Todos los datos de este artículo están en Lemmermeyer Ch. 4.1 e Irlanda y Rosen Cap. 14.2
3. Neukirch (1999) pág. 336
4. Neukirch (1999) pág. 415

Referencias

• Gras, Georges (2003), Teoría de campos de clases. De la teoría a la práctica , Springer Monographs in Mathematics, Berlín: Springer-Verlag , págs. 204-207, ISBN 3-540-44133-6, Zbl  1019.11032
• Irlanda, Kenneth; Rosen, Michael (1990), Una introducción clásica a la teoría de números moderna (Segunda edición) , Nueva York: Springer Science+Business Media , ISBN 0-387-97329-X
• Lemmermeyer, Franz (2000), Leyes de reciprocidad: de Euler a Eisenstein , Springer Monographs in Mathematics, Berlín: Springer Science+Business Media , doi :10.1007/978-3-662-12893-0, ISBN 3-540-66957-4, SEÑOR  1761696, Zbl  0949.11002
• Neukirch, Jürgen (1999), Teoría algebraica de números , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 322, traducido del alemán por Norbert Schappacher, Berlín: Springer-Verlag , ISBN 3-540-65399-6, Zbl  0956.11021