norma ideal

En álgebra conmutativa , la norma de un ideal es una generalización de una norma de un elemento en la extensión del campo . Es particularmente importante en teoría de números ya que mide el tamaño de un ideal de un anillo numérico complicado en términos de un ideal en un anillo menos complicado . Cuando el anillo numérico menos complicado se toma como el anillo de números enteros , Z , entonces la norma de un ideal I distinto de cero de un anillo numérico R es simplemente el tamaño del anillo del cociente finito R / I .

Norma relativa

Sea A un dominio de Dedekind con campo de fracciones K y cierre integral de B en una extensión finita separable L de K. (esto implica que B también es un dominio de Dedekind). Sean y los grupos ideales de A y B , respectivamente (es decir, los conjuntos de ideales fraccionarios distintos de cero ). Siguiendo la técnica desarrollada por Jean-Pierre Serre , el mapa de normas ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{A}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{B}}$

${\displaystyle N_{B/A}\colon {\mathcal {I}}_{B}\to {\mathcal {I}}_{A}}$

es el único homomorfismo de grupo que satisface

${\displaystyle N_{B/A}({\mathfrak {q}})={\mathfrak {p}}^{[B/{\mathfrak {q}}:A/{\mathfrak {p}}]}}$

para todos los ideales primos distintos de cero de B , donde está el ideal primo de A que se encuentra debajo . ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {q}}\cap A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$

Alternativamente, cualquiera puede definirse de manera equivalente como el ideal fraccionario de A generado por el conjunto de normas de campo de elementos de B. ^[1] ${\displaystyle {\mathfrak {b}}\in {\mathcal {I}}_{B}}$ ${\displaystyle N_{B/A}({\mathfrak {b}})}$ ${\displaystyle \{N_{L/K}(x)|x\in {\mathfrak {b}}\}}$

Porque uno tiene dónde . ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\in {\mathcal {I}}_{A}}$ ${\displaystyle N_{B/A}({\mathfrak {a}}B)={\mathfrak {a}}^{n}}$ ${\displaystyle n=[L:K]}$

La norma ideal de un ideal principal es, por tanto, compatible con la norma de campo de un elemento:

${\displaystyle N_{B/A}(xB)=N_{L/K}(x)A.}$^[2]

Sea una extensión de Galois de campos numéricos con anillos de números enteros . ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}\subset {\mathcal {O}}_{L}}$

Entonces lo anterior se aplica con , y para cualquiera tenemos ${\displaystyle A={\mathcal {O}}_{K},B={\mathcal {O}}_{L}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}\in {\mathcal {I}}_{{\mathcal {O}}_{L}}}$

${\displaystyle N_{{\mathcal {O}}_{L}/{\mathcal {O}}_{K}}({\mathfrak {b}})=K\cap \prod _{\sigma \in \operatorname {Gal} (L/K)}\sigma ({\mathfrak {b}}),}$

que es un elemento de . ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{{\mathcal {O}}_{K}}}$

La notación a veces se abrevia a , un abuso de notación que es compatible con la escritura también para la norma de campo, como se señaló anteriormente. ${\displaystyle N_{{\mathcal {O}}_{L}/{\mathcal {O}}_{K}}}$ ${\displaystyle N_{L/K}}$ ${\displaystyle N_{L/K}}$

En este caso , es razonable utilizar números racionales positivos como rango para ya que tiene un grupo de clase ideal trivial y un grupo unitario , por lo que cada ideal fraccionario distinto de cero es generado por un número racional positivo determinado de forma única . Según esta convención, la norma relativa desde abajo hasta coincide con la norma absoluta definida a continuación. ${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle N_{{\mathcal {O}}_{L}/\mathbb {Z} }\,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \{\pm 1\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$

Norma absoluta

Sea un campo numérico con un anillo de números enteros y un ideal distinto de cero (integral) de . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$

La norma absoluta es ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$

${\displaystyle N({\mathfrak {a}}):=\left[{\mathcal {O}}_{L}:{\mathfrak {a}}\right]=\left|{\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {a}}\right|.\,}$

Por convención, la norma del ideal cero se considera cero.

Si es un ideal principal , entonces ${\displaystyle {\mathfrak {a}}=(a)}$

${\displaystyle N({\mathfrak {a}})=\left|N_{L/\mathbb {Q} }(a)\right|}$. ^[3]

La norma es completamente multiplicativa : si y son ideales de , entonces ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$

${\displaystyle N({\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}})=N({\mathfrak {a}})N({\mathfrak {b}})}$. ^[3]

Por tanto, la norma absoluta se extiende únicamente a un homomorfismo de grupo.

${\displaystyle N\colon {\mathcal {I}}_{{\mathcal {O}}_{L}}\to \mathbb {Q} _{>0}^{\times },}$

definido para todos los ideales fraccionarios distintos de cero de . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$

La norma de un ideal se puede utilizar para dar un límite superior a la norma de campo del elemento más pequeño distinto de cero que contiene: ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$

siempre existe un valor distinto de cero para el cual ${\displaystyle a\in {\mathfrak {a}}}$

${\displaystyle \left|N_{L/\mathbb {Q} }(a)\right|\leq \left({\frac {2}{\pi }}\right)^{s}{\sqrt {\left|\Delta _{L}\right|}}N({\mathfrak {a}}),}$

dónde

• ${\displaystyle \Delta _{L}}$es el discriminante de y ${\displaystyle L}$
• ${\displaystyle s}$es el número de pares de incrustaciones complejas (no reales) de L en (el número de lugares complejos de L ). ^[4] ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Ver también

• Norma de campo
• Función zeta de Dedekind

Referencias

1. Janusz, Gerald J. (1996), Campos de números algebraicos , Estudios de Posgrado en Matemáticas , vol. 7 (segunda ed.), Providence, Rhode Island: Sociedad Matemática Estadounidense, Proposición I.8.2, ISBN 0-8218-0429-4, SEÑOR  1362545
2. Serre, Jean-Pierre (1979), Campos locales , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 67, traducido por Greenberg, Marvin Jay , Nueva York: Springer-Verlag, 1.5, Proposición 14, ISBN 0-387-90424-7, SEÑOR  0554237
3. Marcus, Daniel A. (1977), Campos numéricos , Universitext, Nueva York: Springer-Verlag, Teorema 22c, ISBN 0-387-90279-1, señor  0457396
4. Neukirch, Jürgen (1999), Teoría algebraica de números , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 322, Berlín: Springer-Verlag, Lema 6.2, doi :10.1007/978-3-662-03983-0, ISBN 3-540-65399-6, señor  1697859