ideal fraccionario

En matemáticas , en particular en álgebra conmutativa , el concepto de ideal fraccionario se introduce en el contexto de dominios integrales y es particularmente fructífero en el estudio de los dominios de Dedekind . En cierto sentido, los ideales fraccionarios de un dominio integral son como ideales en los que se permiten denominadores . En contextos donde se discuten tanto los ideales fraccionarios como los ideales de anillo ordinarios, estos últimos a veces se denominan ideales integrales para mayor claridad.

Definición y resultados básicos.

Sea un dominio integral y sea su campo de fracciones . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle K=\operatorname {Frac} R}$

Un ideal fraccionario de es un submódulo de tal que existe un valor distinto de cero tal que . Se puede considerar que el elemento limpia los denominadores en , de ahí el nombre ideal fraccionario. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle rI\subseteq R}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle I}$

Los principales ideales fraccionarios son aquellos -submódulos de generados por un único elemento distinto de cero de . Un ideal fraccionario está contenido en si y sólo si es un ideal (integral) de . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Un ideal fraccionario se llama invertible si existe otro ideal fraccionario tal que ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$

${\displaystyle IJ=R}$

dónde

${\displaystyle IJ=\{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}:a_{i}\in I,b_{j}\in J,n\in \mathbb {Z} _{>0}\}}$

es el producto de los dos ideales fraccionarios.

En este caso, el ideal fraccionario está determinado de forma única e igual al cociente ideal generalizado. ${\displaystyle J}$

${\displaystyle (R:_{K}I)=\{x\in K:xI\subseteq R\}.}$

El conjunto de ideales fraccionarios invertibles forma un grupo abeliano con respecto al producto anterior, donde la identidad es el ideal unitario mismo. Este grupo se llama grupo de ideales fraccionarios de . Los principales ideales fraccionarios forman un subgrupo . Un ideal fraccionario (distinto de cero) es invertible si y sólo si es proyectivo como módulo . Geométricamente, esto significa que un ideal fraccionario invertible puede interpretarse como un paquete de vectores de rango 1 sobre el esquema afín . ${\displaystyle (1)=R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\text{Spec}}(R)}$

Cada R -submódulo finitamente generado de K es un ideal fraccionario y, si es noetheriano, estos son todos los ideales fraccionarios de . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

dominios dedekind

En los dominios de Dedekind , la situación es mucho más sencilla. En particular, todo ideal fraccionario distinto de cero es invertible. De hecho, esta propiedad caracteriza los dominios de Dedekind:

Un dominio integral es un dominio de Dedekind si y sólo si todo ideal fraccionario distinto de cero es invertible.

Se denota el conjunto de ideales fraccionarios sobre un dominio de Dedekind . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\text{Div}}(R)}$

Su grupo cociente de ideales fraccionarios por el subgrupo de ideales fraccionarios principales es un invariante importante de un dominio de Dedekind llamado grupo de clases ideal .

Campos numéricos

Para el caso especial de campos numéricos (como ) hay un anillo asociado denominado anillo de números enteros de . Por ejemplo, para cuadrados libres y congruentes con . La propiedad clave de estos anillos es que son dominios de Dedekind. Por tanto, la teoría de los ideales fraccionarios puede describirse para los anillos de números enteros de campos numéricos. De hecho, la teoría del campo de clases es el estudio de tales grupos de anillos de clases. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {d}}\,)}=\mathbb {Z} [{\sqrt {d}}\,]}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 2,3{\text{ }}({\text{mod }}4)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

Estructuras asociadas

Para el anillo de números enteros ^{[1] pg 2} de un campo numérico, el grupo de ideales fraccionarios forma un grupo denotado y el subgrupo de ideales fraccionarios principales se denota . El grupo de clases ideales es el grupo de ideales fraccionarios módulo de los ideales fraccionarios principales, por lo que ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{K}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{K}}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{K}:={\mathcal {I}}_{K}/{\mathcal {P}}_{K}}$

y su número de clase es el orden del grupo, . De alguna manera, el número de clase es una medida de qué tan "lejos" está el anillo de números enteros de ser un dominio de factorización único (UFD). Esto se debe a que si y sólo si es un UFD. ${\displaystyle h_{K}}$ ${\displaystyle h_{K}=|{\mathcal {C}}_{K}|}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle h_{K}=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

Secuencia exacta para grupos de clase ideales.

Hay una secuencia exacta

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{K}^{*}\to K^{*}\to {\mathcal {I}}_{K}\to {\mathcal {C}}_{K}\to 0}$

asociado a cada campo numérico.

Teorema de estructura para ideales fraccionarios

Uno de los teoremas de estructura importantes para los ideales fraccionarios de un campo numérico establece que cada ideal fraccionario se descompone de forma única hasta ordenarse como ${\displaystyle I}$

${\displaystyle I=({\mathfrak {p}}_{1}\ldots {\mathfrak {p}}_{n})({\mathfrak {q}}_{1}\ldots {\mathfrak {q}}_{m})^{-1}}$

para ideales primordiales

${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i},{\mathfrak {q}}_{j}\in {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}$.

en el espectro de . Por ejemplo, ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

${\displaystyle {\frac {2}{5}}{\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} (i)}}$factores como ${\displaystyle (1+i)(1-i)((1+2i)(1-2i))^{-1}}$

Además, debido a que los ideales fraccionarios sobre un campo numérico se generan de forma finita, podemos borrar los denominadores multiplicando por algunos para obtener un ideal . Por eso ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle J}$

${\displaystyle I={\frac {1}{\alpha }}J}$

Otro teorema de estructura útil es que los ideales fraccionarios integrales son generados por hasta 2 elementos. Llamamos ideal fraccionario al subconjunto de integral . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

Ejemplos

• ${\displaystyle {\frac {5}{4}}\mathbb {Z} }$es un ideal fraccionario sobre ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Para las divisiones ideales en como ${\displaystyle K=\mathbb {Q} (i)}$ ${\displaystyle (5)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} (i)}=\mathbb {Z} [i]}$ ${\displaystyle (2-i)(2+i)}$
• Porque tenemos la factorización . Esto se debe a que si lo multiplicamos, obtenemos ${\displaystyle K=\mathbb {Q} _{\zeta _{3}}}$ ${\displaystyle (3)=(2\zeta _{3}+1)^{2}}$

  ${\displaystyle {\begin{aligned}(2\zeta _{3}+1)^{2}&=4\zeta _{3}^{2}+4\zeta _{3}+1\\&=4(\zeta _{3}^{2}+\zeta _{3})+1\end{aligned}}}$

Dado que satisface , nuestra factorización tiene sentido. ${\displaystyle \zeta _{3}}$ ${\displaystyle \zeta _{3}^{2}+\zeta _{3}=-1}$

• Porque podemos multiplicar los ideales fraccionarios. ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {-23}})}$

${\displaystyle I=(2,{\frac {1}{2}}{\sqrt {-23}}-{\frac {1}{2}})}$y ${\displaystyle J=(4,{\frac {1}{2}}{\sqrt {-23}}+{\frac {3}{2}})}$

para conseguir el ideal

${\displaystyle IJ=({\frac {1}{2}}{\sqrt {-23}}+{\frac {3}{2}}).}$

Ideal divisional

Denotemos la intersección de todos los ideales fraccionarios principales que contienen un ideal fraccionario distinto de cero . ${\displaystyle {\tilde {I}}}$ ${\displaystyle I}$

De manera equivalente,

${\displaystyle {\tilde {I}}=(R:(R:I)),}$

donde como arriba

${\displaystyle (R:I)=\{x\in K:xI\subseteq R\}.}$

Si entonces I se llama divisorial . ^[2] En otras palabras, un ideal divisorio es una intersección distinta de cero de algún conjunto no vacío de ideales principales fraccionarios. ${\displaystyle {\tilde {I}}=I}$

Si I es divisorial y J es un ideal fraccionario distinto de cero, entonces ( I  : J ) es divisorial.

Sea R un dominio local de Krull (por ejemplo, un dominio local noetheriano integralmente cerrado ). Entonces R es un anillo de valoración discreto si y sólo si el ideal máximo de R es divisorial. ^[3]

Un dominio integral que satisface las condiciones de la cadena ascendente en ideales divisorios se llama dominio de Mori . ^[4]

Ver también

• Gavilla divisional
• Teorema de Dedekind-Kummer

Notas

1. Childress, Nancy (2009). Teoría del campo de clases. Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-72490-4. OCLC  310352143.
2. Bourbaki 1998, §VII.1
3. Bourbaki 1998, cap. VII, § 1, n. 7. Proposición 11.
4. Barucci 2000.

Referencias

• Barucci, Valentina (2000), "Dominios Mori", en Glaz, Sarah ; Chapman, Scott T. (eds.), Teoría del anillo conmutativo no noetheriano , Matemáticas y sus aplicaciones, vol. 520, Dordrecht: Kluwer Acad. Publicado, págs. 57–73, ISBN 978-0-7923-6492-4, señor  1858157
• Stein, William, Introducción computacional a la teoría algebraica de números (PDF)
• Capítulo 9 de Atiyah, Michael Francis ; Macdonald, IG (1994), Introducción al álgebra conmutativa , Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8
• Capítulo VII.1 de Bourbaki, Nicolas (1998), Álgebra conmutativa (2ª ed.), Springer Verlag , ISBN 3-540-64239-0
• Capítulo 11 de Matsumura, Hideyuki (1989), Teoría de anillos conmutativos , Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas, vol. 8 (2ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36764-6, SEÑOR  1011461