En matemáticas , la teoría de campos de clases locales , introducida por Helmut Hasse , [1] es el estudio de extensiones abelianas de campos locales ; aquí, "campo local" significa un campo que es completo con respecto a un valor absoluto o una valoración discreta con un campo de residuos finito: por lo tanto, cada campo local es isomorfo (como un campo topológico) a los números reales R , los números complejos C , una extensión finita de los números p -ádicos Q p (donde p es cualquier número primo ), o el campo de la serie formal de Laurent F q (( T )) sobre un campo finito F q .
La teoría de campos de clases locales da una descripción del grupo de Galois G de la extensión abeliana máxima de un campo local K a través del mapa de reciprocidad que actúa desde el grupo multiplicativo K × = K \{0}. Para una extensión abeliana finita L de K, el mapa de reciprocidad induce un isomorfismo del grupo cociente K × / N ( L × ) de K × por el grupo normativo N ( L × ) de la extensión L × al grupo de Galois Gal ( L / K ) de la extensión. [2]
El teorema de existencia en la teoría de campos de clases locales establece una correspondencia uno a uno entre subgrupos abiertos de índice finito en el grupo multiplicativo K × y extensiones abelianas finitas del campo K. Para una extensión abeliana finita L de K, el subgrupo abierto correspondiente de índice finito es el grupo normativo N ( L × ). El mapa de reciprocidad envía grupos superiores de unidades a subgrupos de ramificación superiores, véase, por ejemplo, el cap. IV de. [3]
Utilizando el mapa de reciprocidad local, se define el símbolo de Hilbert y sus generalizaciones. Encontrar fórmulas explícitas para esto es una de las subdirecciones de la teoría de campos locales, tiene una larga y rica historia, ver, por ejemplo, la reseña de Sergei Vostokov . [4]
Existen enfoques cohomológicos y enfoques no cohomológicos para la teoría de campos de clases locales. Los enfoques cohomológicos tienden a ser no explícitos, ya que utilizan el producto de copa de los primeros grupos de cohomología de Galois.
Para diversos enfoques de la teoría de campos de clases locales, véase el cap. IV y secc. 7 cap. IV de [5] Incluyen el enfoque de Hasse de utilizar el grupo de Brauer , enfoques cohomológicos , los métodos explícitos de Jürgen Neukirch , Michiel Hazewinkel , la teoría de Lubin-Tate y otros.
Las generalizaciones de la teoría de campos de clases locales a campos locales con campos de residuos cuasi finitos fueron extensiones fáciles de la teoría, obtenidas por G. Whaples en la década de 1950, véase el capítulo V de [ aclaración necesaria ] . [6]
La teoría de campos de clase p explícita para campos locales con campos de residuos perfectos e imperfectos que no son finitos tiene que abordar la nueva cuestión de los grupos de normas de índice infinito. Ivan Fesenko construyó las teorías apropiadas . [7] [8] La teoría de campos de clases locales no conmutativa de Fesenko para extensiones de Galois aritméticamente rentables de campos locales estudia el mapa de ciclos de reciprocidad local apropiado y sus propiedades. [9] Esta teoría aritmética puede verse como una alternativa a la representación teórica de la correspondencia de Langlands local.
Para un campo local de dimensiones superiores, existe un mapa de reciprocidad local superior que describe extensiones abelianas del campo en términos de subgrupos abiertos de índice finito en el grupo K de Milnor del campo. Es decir, si se trata de un campo local de dimensiones, entonces se utiliza su cociente separado dotado de una topología adecuada. Cuando la teoría se convierte en la habitual teoría de campos de clases locales. A diferencia del caso clásico, los grupos K de Milnor no satisfacen el descenso del módulo de Galois si . La teoría general del campo de clases locales de dimensiones superiores fue desarrollada por K. Kato e I. Fesenko .
La teoría de campos de clase local superior es parte de la teoría de campos de clase superior que estudia las extensiones abelianas (resp. cubiertas abelianas) de campos de funciones racionales de esquemas regulares adecuados planos sobre números enteros.
