Ley de reciprocidad

Ley matemática, una generalización de la reciprocidad cuadrática

En matemáticas, una ley de reciprocidad es una generalización de la ley de reciprocidad cuadrática a polinomios mónicos irreducibles arbitrarios con coeficientes enteros. Recuerde que la primera ley de reciprocidad, la reciprocidad cuadrática, determina cuándo un polinomio irreducible se divide en términos lineales cuando se reduce mod . Es decir, determina para qué números primos la relación ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}+ax+b}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle f(x)\equiv f_{p}(x)=(x-n_{p})(x-m_{p}){\text{ }}({\text{mod }}p)}$

sostiene. Para una ley general de reciprocidad ^{[1] pg 3} , se define como la regla que determina cuál de los primos del polinomio se divide en factores lineales, denotado . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f_{p}}$ ${\displaystyle {\text{Spl}}\{f(x)\}}$

Hay varias formas diferentes de expresar las leyes de reciprocidad. Las primeras leyes de reciprocidad encontradas en el siglo XIX generalmente se expresaban en términos de un símbolo de residuo de potencia ( p / q ) que generalizaba el símbolo de reciprocidad cuadrática , que describe cuando un número primo es un n- ésimo módulo de residuo de potencia de otro primo, y daba una relación entre ( p / q ) y ( q / p ). Hilbert reformuló las leyes de reciprocidad diciendo que un producto sobre p de los símbolos residuales de la norma de Hilbert ( a , b / p ), tomando valores en raíces de la unidad, es igual a 1. Artin reformuló las leyes de reciprocidad como una afirmación de que el símbolo de Artin de ideales (o ideles) a elementos de un grupo de Galois es trivial en un determinado subgrupo. Varias generalizaciones más recientes expresan leyes de reciprocidad utilizando cohomología de grupos o representaciones de grupos adélicos o grupos K algebraicos, y su relación con la ley de reciprocidad cuadrática original puede ser difícil de ver.

El nombre ley de reciprocidad fue acuñado por Legendre en su publicación de 1785 Recherches d'analyse indéterminée , ^[2] porque los números primos impares corresponden o no en el sentido de reciprocidad cuadrática que se indica a continuación según sus clases de residuos . Este comportamiento recíproco no se generaliza bien; el comportamiento equivalente de división sí lo hace. El nombre ley de reciprocidad todavía se utiliza en el contexto más general de las escisiones. ${\displaystyle {\bmod {4}}}$

Reciprocidad cuadrática

En términos del símbolo de Legendre , la ley de reciprocidad cuadrática establece

para primos impares positivos tenemos ${\displaystyle p,q}$ ${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.}$

Usando la definición del símbolo de Legendre, esto equivale a una afirmación más elemental sobre ecuaciones.

Para primos impares positivos, la solubilidad de for determina la solubilidad de for y viceversa mediante el criterio comparativamente simple de si es o . ${\displaystyle p,q}$ ${\displaystyle n^{2}-p\equiv 0{\bmod {q}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m^{2}-q\equiv 0{\bmod {p}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle (-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1}$

Según el teorema del factor y el comportamiento de los grados en las factorizaciones, la solubilidad de tales ecuaciones de congruencia cuadrática es equivalente a la división de polinomios cuadráticos asociados sobre un anillo de residuos en factores lineales. En esta terminología, la ley de reciprocidad cuadrática se establece de la siguiente manera.

Para primos impares positivos, la división del polinomio en residuos determina la división del polinomio en residuos y viceversa a través de la cantidad . ${\displaystyle p,q}$ ${\displaystyle x^{2}-p}$ ${\displaystyle {\bmod {q}}}$ ${\displaystyle x^{2}-q}$ ${\displaystyle {\bmod {p}}}$ ${\displaystyle (-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}\in \{\pm 1\}}$

Esto establece el puente entre el nombre que da el comportamiento recíproco de los primos introducido por Legendre y el comportamiento de división de los polinomios utilizados en las generalizaciones.

Reciprocidad cúbica

La ley de reciprocidad cúbica para los números enteros de Eisenstein establece que si α y β son primarios (primos congruentes con 2 mod 3) entonces

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {\alpha }{\beta }}{\Bigg )}_{3}={\Bigg (}{\frac {\beta }{\alpha }}{\Bigg )}_{3}.}$

Reciprocidad cuartica

En términos del símbolo del residuo cuártico, la ley de reciprocidad cuártica para los enteros gaussianos establece que si π y θ son primos primarios (congruentes con 1 mod (1+ i ) ³ ) gaussianos, entonces

${\displaystyle {\Bigg [}{\frac {\pi }{\theta }}{\Bigg ]}\left[{\frac {\theta }{\pi }}\right]^{-1}=(-1)^{{\frac {N\pi -1}{4}}{\frac {N\theta -1}{4}}}.}$

Reciprocidad óctica

Reciprocidad de Eisenstein

Supongamos que ζ es una raíz enésima de la unidad para algún primo impar . El carácter de potencia es la potencia de ζ tal que ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle l}$

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)_{l}\equiv \alpha ^{\frac {N({\mathfrak {p}})-1}{l}}{\pmod {\mathfrak {p}}}}$

para cualquier ideal primo de Z [ζ]. Se extiende a otros ideales por la multiplicatividad. La ley de reciprocidad de Eisenstein establece que ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

${\displaystyle \left({\frac {a}{\alpha }}\right)_{l}=\left({\frac {\alpha }{a}}\right)_{l}}$

para a cualquier entero racional coprimo a y α cualquier elemento de Z [ζ] que sea coprimo a ay y congruente a un entero racional módulo (1–ζ) ² . ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle l}$

Reciprocidad de Kummer

Supongamos que ζ es una raíz l -ésima de la unidad para algún primo regular impar l . Como l es regular, podemos extender el símbolo {} a ideales de una manera única tal que

${\displaystyle \left\{{\frac {p}{q}}\right\}^{n}=\left\{{\frac {p^{n}}{q}}\right\}}$donde n es algún número primo entero de l tal que p ⁿ es principal.

La ley de reciprocidad de Kummer establece que

${\displaystyle \left\{{\frac {p}{q}}\right\}=\left\{{\frac {q}{p}}\right\}}$

para p y q cualquier ideal primo distinto de Z [ζ] distinto de (1–ζ).

Reciprocidad de Hilbert

En términos del símbolo de Hilbert, la ley de reciprocidad de Hilbert para un campo numérico algebraico establece que

${\displaystyle \prod _{v}(a,b)_{v}=1}$

donde el producto está sobre todos los lugares finitos e infinitos. Para los números racionales esto equivale a la ley de reciprocidad cuadrática. Para ver esto, consideremos que a y b son primos impares distintos. Entonces la ley de Hilbert se convierte en Pero ( p , q ) _p es igual al símbolo de Legendre, ( p , q ) _∞ es 1 si uno de p y q es positivo y –1 en caso contrario, y ( p , q ) ₂ es (–1 ) ^{( p –1)( q –1)/4} . Entonces, para p y q primos impares positivos, la ley de Hilbert es la ley de reciprocidad cuadrática. ${\displaystyle (p,q)_{\infty }(p,q)_{2}(p,q)_{p}(p,q)_{q}=1}$

Artin reciprocidad

En el lenguaje de los ideles , la ley de reciprocidad de Artin para una extensión finita L / K establece que el mapa de Artin desde el grupo de clases idele C _K hasta la abelianización Gal( L / K ) ^ab del grupo de Galois se desvanece en N _{L / K} ( C _L ), e induce un isomorfismo

${\displaystyle \theta :C_{K}/{N_{L/K}(C_{L})}\to {\text{Gal}}(L/K)^{\text{ab}}.}$

Aunque no es inmediatamente obvio, la ley de reciprocidad de Artin implica fácilmente todas las leyes de reciprocidad descubiertas previamente, aplicándola a extensiones adecuadas L / K . Por ejemplo, en el caso especial cuando K contiene las n -ésimas raíces de la unidad y L = K [ a ^{1/ n} ] es una extensión de Kummer de K , el hecho de que el mapa de Artin desaparezca en N _{L / K} ( C _L ) implica Ley de reciprocidad de Hilbert para el símbolo de Hilbert.

Reciprocidad local

Hasse introdujo un análogo local de la ley de reciprocidad de Artin, llamado ley de reciprocidad local. Una forma establece que para una extensión abeliana finita de L / K de campos locales, el mapa de Artin es un isomorfismo del grupo de Galois . ${\displaystyle K^{\times }/N_{L/K}(L^{\times })}$ ${\displaystyle Gal(L/K)}$

Leyes de reciprocidad explícita

Para obtener una ley de reciprocidad de estilo clásico a partir de la ley de reciprocidad de Hilbert Π( a , b ) _p =1, es necesario conocer los valores de ( a , b ) _p para p dividiendo n . Las fórmulas explícitas para esto a veces se denominan leyes explícitas de reciprocidad.

Leyes de reciprocidad de poder

Una ley de reciprocidad de potencias puede formularse como análoga a la ley de reciprocidad cuadrática en términos de los símbolos de Hilbert como ^[3]

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\beta }}\right)_{n}\left({\frac {\beta }{\alpha }}\right)_{n}^{-1}=\prod _{{\mathfrak {p}}|n\infty }(\alpha ,\beta )_{\mathfrak {p}}\ .}$

Leyes racionales de reciprocidad

Una ley de reciprocidad racional es aquella expresada en términos de números enteros racionales sin el uso de raíces de unidad.

La ley de reciprocidad de Scholz

reciprocidad shimura

Ley de reciprocidad de Weil

Reciprocidad de Langlands

El programa Langlands incluye varias conjeturas para grupos algebraicos reductivos generales, que para el grupo especial GL ₁ implican la ley de reciprocidad de Artin.

La ley de reciprocidad de Yamamoto

La ley de reciprocidad de Yamamoto es una ley de reciprocidad relacionada con números de clase de campos numéricos cuadráticos.

Ver también

• El noveno problema de Hilbert
• Teorema de reciprocidad de Stanley

Referencias

1. Hiramatsu, Toyokazu; Saito, Seiken (4 de mayo de 2016). Una introducción a la teoría de campos de clases no abeliana. Serie sobre teoría de números y sus aplicaciones. CIENTÍFICO MUNDIAL. doi :10.1142/10096. ISBN 978-981-314-226-8.
2. Chandrasekharan, K. (1985). Funciones elípticas. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 281. Berlín: Springer. pag. 152 y siguientes. doi :10.1007/978-3-642-52244-4. ISBN 3-540-15295-4.
3. Neukirch (1999) p.415

• Frei, Günther (1994), "La ley de reciprocidad de Euler a Eisenstein", en Chikara, Sasaki (ed.), La intersección de la historia y las matemáticas. Artículos presentados en el simposio de historia de las matemáticas, celebrado en Tokio, Japón, del 31 de agosto al 1 de septiembre de 1990, Sci. Historia de las redes. Stud., vol. 15, Basilea: Birkhäuser, págs. 67–90, doi : 10.1090/S0002-9904-1972-12997-5 , ISBN 9780817650292, SEÑOR  0308080, Zbl  0818.01002
• Hilbert, David (1897), "Die Theorie der algebraischen Zahlkörper", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (en alemán), 4 : 175–546, ISSN  0012-0456
• Hilbert, David (1998), La teoría de los campos numéricos algebraicos, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-662-03545-0, ISBN 978-3-540-62779-1, señor  1646901
• Lemmermeyer, Franz (2000), Leyes de reciprocidad. De Euler a Eisenstein, Springer Monographs in Mathematics, Berlín: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-662-12893-0, ISBN 3-540-66957-4, SEÑOR  1761696, Zbl  0949.11002
• Lemmermeyer, Franz, Leyes de reciprocidad. De Kummer a Hilbert
• Neukirch, Jürgen (1999), Teoría algebraica de números , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 322, Traducido del alemán por Norbert Schappacher, Berlín: Springer-Verlag , ISBN 3-540-65399-6, Zbl  0956.11021
• Stepanov, SA (2001) [1994], "Leyes de reciprocidad", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Wyman, BF (1972), "¿Qué es una ley de reciprocidad?", Amer. Matemáticas. Mensual , 79 (6): 571–586, doi :10.2307/2317083, JSTOR  2317083, MR  0308084. Corrección, ibídem. 80 (1973), 281.

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