Entero de Eisenstein

Número complejo cuyo mapeo en un plano de coordenadas produce una red triangular

En matemáticas , los números enteros de Eisenstein (llamados así por Gotthold Eisenstein ), ocasionalmente también conocidos ^[1] como enteros eulerianos (por Leonhard Euler ), son los números complejos de la forma

${\displaystyle z=a+b\omega ,}$

donde a y b son números enteros y

${\displaystyle \omega ={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}=e^{i2\pi /3}}$

es una raíz cúbica de la unidad primitiva (por lo tanto, no real) .

Enteros de Eisenstein como puntos de una determinada red triangular en el plano complejo

Los enteros de Eisenstein forman una red triangular en el plano complejo , a diferencia de los enteros gaussianos , que forman una red cuadrada en el plano complejo. Los números enteros de Eisenstein son un conjunto contablemente infinito .

Propiedades

Los enteros de Eisenstein forman un anillo conmutativo de enteros algebraicos en el campo numérico algebraico Q ( ω ) , el tercer campo ciclotómico . Para ver que los números enteros de Eisenstein son enteros algebraicos, tenga en cuenta que cada z = a + bω es una raíz del polinomio mónico.

${\displaystyle z^{2}-(2a-b)\;\!z+\left(a^{2}-ab+b^{2}\right)~.}$

En particular, ω satisface la ecuación

${\displaystyle \omega ^{2}+\omega +1=0~.}$

El producto de dos enteros de Eisenstein a + bω y c + dω viene dado explícitamente por

${\displaystyle (a+b\;\!\omega )\;\!(c+d\;\!\omega )=(ac-bd)+(bc+ad-bd)\;\!\omega ~.}$

La norma 2 de un entero de Eisenstein es simplemente su módulo cuadrado y viene dada por

${\displaystyle {\left|a+b\;\!\omega \right|}^{2}\,=\,{(a-{\tfrac {1}{2}}b)}^{2}+{\tfrac {3}{4}}b^{2}\,=\,a^{2}-ab+b^{2}~,}$

que es claramente un entero ordinario (racional) positivo.

Además, el conjugado complejo de ω satisface

${\displaystyle {\bar {\omega }}=\omega ^{2}~.}$

El grupo de unidades de este anillo es el grupo cíclico formado por las raíces sextas de la unidad en el plano complejo: {±1, ± ω , ± ω ² } , los enteros de Eisenstein de norma  1 .

Dominio euclidiano

El anillo de números enteros de Eisenstein forma un dominio euclidiano cuya norma N viene dada por el módulo cuadrado, como arriba:

${\displaystyle N(a+b\,\omega )=a^{2}-ab+b^{2}.}$

Un algoritmo de división , aplicado a cualquier dividendo α y divisor β ≠ 0 , da un cociente κ y un resto ρ menor que el divisor, satisfaciendo:

${\displaystyle \alpha =\kappa \beta +\rho \ \ {\text{ with }}\ \ N(\rho )<N(\beta ).}$

Aquí, α , β , κ , ρ son todos enteros de Eisenstein. Este algoritmo implica el algoritmo euclidiano , que prueba el lema de Euclides y la factorización única de números enteros de Eisenstein en primos de Eisenstein.

Un algoritmo de división es el siguiente. Primero realiza la división en el campo de números complejos, y escribe el cociente en términos de ω :

${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}\ =\ {\tfrac {1}{\ |\beta |^{2}}}\alpha {\overline {\beta }}\ =\ a+bi\ =\ a+{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}b+{\tfrac {2}{\sqrt {3}}}b\omega ,}$

para racional a , b ∈ Q . Luego obtenga el cociente entero de Eisenstein redondeando los coeficientes racionales al entero más cercano:

${\displaystyle \kappa =\left\lfloor a+{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}b\right\rceil +\left\lfloor {\tfrac {2}{\sqrt {3}}}b\right\rceil \omega \ \ {\text{ and }}\ \ \rho ={\alpha }-\kappa \beta .}$

Aquí puede indicar cualquiera de las funciones estándar de redondeo a números enteros. ${\displaystyle \lfloor x\rceil }$

La razón por la que esto satisface N ( ρ ) < N ( β ) , mientras que el procedimiento análogo falla para la mayoría de los otros anillos enteros cuadráticos , es la siguiente. Un dominio fundamental para el ideal Z [ ω ] β = Z β + Z ωβ , que actúa por traslaciones en el plano complejo, es el rombo de 60°–120° con vértices 0 , β , ωβ , β + ωβ . Cualquier entero de Eisenstein α se encuentra dentro de una de las traslaciones de este paralelogramo, y el cociente κ es uno de sus vértices. El resto es la distancia al cuadrado desde α hasta este vértice, pero la distancia máxima posible en nuestro algoritmo es solo , entonces . (El tamaño de ρ podría reducirse ligeramente tomando κ como la esquina más cercana). ${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}|\beta |}$ ${\displaystyle |\rho |\leq {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}|\beta |<|\beta |}$

primos de eisenstein

Pequeños primos de Eisenstein. Los de los ejes verdes están asociados a un primo natural de la forma 3 n + 2 . Todos los demás tienen un valor absoluto igual a 3 o raíz cuadrada de un primo natural de la forma 3 n + 1 .

Eisenstein primos en un rango más amplio

Si x e y son enteros de Eisenstein, decimos que x divide a y si hay algún entero de Eisenstein z tal que y = zx . Un entero de Eisenstein x no unitario se dice que es un primo de Eisenstein si sus únicos divisores no unitarios son de la forma ux , donde u es cualquiera de las seis unidades. Son el concepto correspondiente a los primos gaussianos en los enteros gaussianos.

Hay dos tipos de primos de Eisenstein.

• un número primo ordinario (o primo racional ) que es congruente con 2 mod 3 también es un primo de Eisenstein.
• 3 y cada primo racional congruente con 1 mod 3 son iguales a la norma x ² − xy + y ² de un entero de Eisentein x + ωy . Por tanto, un primo de este tipo puede factorizarse como ( x + ωy ) ( x + ω ² y ) , y estos factores son primos de Eisenstein: son precisamente los números enteros de Eisenstein cuya norma es un primo racional.

En el segundo tipo, los factores de 3 y son asociados:, por lo que se considera un tipo especial en algunos libros. ^{[2] [3]} ${\displaystyle 1-\omega }$ ${\displaystyle 1-\omega ^{2}}$ ${\displaystyle 1-\omega =(-\omega )(1-\omega ^{2})}$

Los primeros primos de Eisenstein de la forma 3 n − 1 son:

2 , 5 , 11 , 17 , 23 , 29 , 41 , 47 , 53 , 59 , 71 , 83 , 89 , 101 , ... (secuencia A003627 en el OEIS ).

Los primos naturales que son congruentes con 0 o 1 módulo 3 no son primos de Eisenstein: ^[4] admiten factorizaciones no triviales en Z [ ω ] . Por ejemplo:

3 = −(1 + 2 ω ) ²

7 = (3 + ω )(2 − ω ) .

En general, si un primo natural p es 1 módulo 3 y, por lo tanto, puede escribirse como p = a ² − ab + b ² , entonces se factoriza sobre Z [ ω ] como

pags = ( a + bω )(( a − b ) − bω ) .

Algunos primos de Eisenstein no reales son

2 + ω , 3 + ω , 4 + ω , 5 + 2 ω , 6 + ω , 7 + ω , 7 + 3 ω .

Hasta la conjugación y los múltiplos unitarios, los primos enumerados anteriormente, junto con 2 y 5 , son todos los primos de Eisenstein de valor absoluto que no excede 7 .

En octubre de 2023 ^[update], el primo real de Eisenstein más grande conocido es el décimo primo más grande conocido 10223 × 2 ^31172165 + 1 , descubierto por Péter Szabolcs y PrimeGrid . ^[5] Con una excepción, ^{[ se necesita aclaración ]} todos los números primos más grandes conocidos son primos de Mersenne , descubiertos por GIMPS . Los primos reales de Eisenstein son congruentes con 2 mod 3 , y todos los primos de Mersenne mayores que 3 son congruentes con 1 mod 3 ; por tanto, ningún primo de Mersenne es un primo de Eisenstein.

serie eisenstein

La suma de los recíprocos de todos los números enteros de Eisenstein excluyendo el 0 elevado a la cuarta potencia es 0 : ^[6]

$${\displaystyle \sum _{z\in \mathbf {E} \setminus \{0\}}{\frac {1}{z^{4}}}=G_{4}\left(e^{\frac {2\pi i}{3}}\right)=0}$$

j-invariante^[7] ${\displaystyle e^{2\pi i/3}}$ ${\displaystyle G_{k}\left(e^{\frac {2\pi i}{3}}\right)=0}$ ${\displaystyle k\not \equiv 0{\pmod {6}}}$

La suma de los recíprocos de todos los números enteros de Eisenstein excluyendo el 0 elevado a la sexta potencia se puede expresar en términos de la función gamma :

$${\displaystyle \sum _{z\in \mathbf {E} \setminus \{0\}}{\frac {1}{z^{6}}}=G_{6}\left(e^{\frac {2\pi i}{3}}\right)={\frac {\Gamma (1/3)^{18}}{8960\pi ^{6}}}}$$

EG ₆serie de Eisenstein^[8]

Cociente de C por los enteros de Eisenstein

El cociente del plano complejo C por la red que contiene todos los números enteros de Eisenstein es un toro complejo de dimensión real  2 . Este es uno de los dos tori con máxima simetría entre todos estos tori complejos. ^{[ cita necesaria ]} Este toro se puede obtener identificando cada uno de los tres pares de aristas opuestas de un hexágono regular.

Identificar cada uno de los tres pares de aristas opuestas de un hexágono regular.

El otro toro de máxima simetría es el cociente del plano complejo por la red aditiva de enteros gaussianos , y se puede obtener identificando cada uno de los dos pares de lados opuestos de un dominio fundamental cuadrado, como [0, 1] × [0 , 1] .

Ver también

• entero gaussiano
• campo ciclotómico
• Geometría sistólica
• constante de hermita
• Reciprocidad cúbica
• Desigualdad del toro de Loewner
• cuaternión de Hurwitz
• Entero cuadrático
• Funciones elípticas de Dixon

Notas

1. Ambos Surányi, László (1997). Álgebra . TIPOTEX. pag. 73.y Szalay, Mihály (1991). Számelmélet . Tankönyvkiadó. pag. 75.Llame a estos números "Euler-egészek", es decir, enteros eulerianos. Este último afirma que Euler trabajó con ellos en una prueba.
2. Weisstein, Eric W. "Entero de Eisenstein". MundoMatemático .
3. Cox, David A. (8 de mayo de 1997). Primos de la forma x2+ny2: Fermat, teoría de campos de clases y multiplicación compleja (PDF) . pag. 77.ISBN​ 0-471-19079-9.
4. " X 2 + X + 1 {\displaystyle X^{2}+X+1} es reducible en F p [ X ] {\displaystyle \mathbb {F} _{p}[X]} si p ≡ 1 ( mod 3 ) {\displaystyle p\equiv 1{\pmod {3}}} ".
5. "Primos más grandes conocidos". Las páginas principales . Consultado el 27 de febrero de 2023 .
6. "¿Cuáles son los ceros de la función j?".
7. "Demuestre que G 4 ( i ) ≠ 0 {\displaystyle G_{4}(i)\neq 0} , y G 6 ( ρ ) ≠ 0 {\displaystyle G_{6}(\rho )\neq 0} , ρ = mi 2 π yo / 3 {\displaystyle \rho =e^{2\pi i/3}} ".
8. "Entrada 0fda1b - Fungrim: El grimorio de funciones matemáticas". fungrim.org . Consultado el 22 de junio de 2023 .

enlaces externos

• Entero de Eisenstein - de MathWorld