En matemáticas , un cuaternión de Hurwitz (o entero de Hurwitz ) es un cuaternión cuyos componentes son todos números enteros o semienteros ( mitades de enteros impares ; se excluye una mezcla de números enteros y semienteros). El conjunto de todos los cuaterniones de Hurwitz es
Es decir, a , b , c , d son todos números enteros o todos son semienteros. H está cerrado bajo la multiplicación y suma de cuaterniones, lo que lo convierte en un subanillo del anillo de todos los cuaterniones H. Los cuaterniones de Hurwitz fueron introducidos por Adolf Hurwitz (1919).
Un cuaternión de Lipschitz (o entero de Lipschitz ) es un cuaternión cuyos componentes son todos números enteros. El conjunto de todos los cuaterniones de Lipschitz.
forma un subanillo de los cuaterniones de Hurwitz H. Los enteros de Hurwitz tienen la ventaja sobre los enteros de Lipschitz de que es posible realizarles una división euclidiana , obteniendo un pequeño resto.
Tanto los cuaterniones de Hurwitz como los de Lipschitz son ejemplos de dominios no conmutativos que no son anillos de división .
Como grupo aditivo , H es abeliano libre con generadores {(1 + i + j + k ) / 2, i , j , k }. Por tanto forma una red en R 4 . Esta red se conoce como red F 4 ya que es la red raíz del álgebra de Lie semisimple F 4 . Los cuaterniones de Lipschitz L forman una subred de índice 2 de H.
El grupo de unidades en L es el grupo de cuaterniones de orden 8 Q = {±1, ± i , ± j , ± k }. El grupo de unidades en H es un grupo nobeliano de orden 24 conocido como grupo tetraédrico binario . Los elementos de este grupo incluyen los 8 elementos de Q junto con los 16 cuaterniones {(±1 ± i ± j ± k ) / 2}, donde los signos pueden tomarse en cualquier combinación. El grupo cuaternión es un subgrupo normal del grupo tetraédrico binario U ( H ). Los elementos de U ( H ), que tienen norma 1, forman los vértices de las 24 celdas inscritas en las 3 esferas .
Los cuaterniones de Hurwitz forman un orden (en el sentido de la teoría de anillos ) en el anillo de división de cuaterniones con componentes racionales . De hecho, es un orden máximo ; esto explica su importancia. Los cuaterniones de Lipschitz, que son el candidato más obvio para la idea de un cuaternión integral , también forman un orden. Sin embargo, este último orden no es máximo y, por lo tanto (como se verá), es menos adecuado para desarrollar una teoría de ideales de izquierda comparable a la de la teoría algebraica de números . Por lo tanto, lo que Adolf Hurwitz se dio cuenta fue que esta definición de cuaternión integral de Hurwitz es la mejor para operar. Para un anillo no conmutativo como H , los órdenes máximos no necesitan ser únicos, por lo que es necesario fijar un orden máximo, al trasladar el concepto de entero algebraico .
La norma (aritmética o de campo) de un cuaternión de Hurwitz a + bi + cj + dk , dada por a 2 + b 2 + c 2 + d 2 , es siempre un número entero. Según un teorema de Lagrange, cada número entero no negativo se puede escribir como una suma de como máximo cuatro cuadrados . Por tanto, todo número entero no negativo es la norma de algún cuaternión de Lipschitz (o Hurwitz). Más precisamente, el número c ( n ) de cuaterniones de Hurwitz de norma positiva dada n es 24 veces la suma de los divisores impares de n . La función generadora de los números c ( n ) viene dada por la forma modular de peso 2 de nivel 2
dónde
y
es la serie de Eisenstein de nivel 1 de peso 2 (que es una forma cuasimodular ) y σ 1 ( n ) es la suma de los divisores de n .
Un número entero de Hurwitz se llama irreducible si no es 0 o una unidad y no es un producto de no unidades. Un entero de Hurwitz es irreducible si y sólo si su norma es un número primo . Los cuaterniones irreducibles a veces se denominan cuaterniones primos, pero esto puede inducir a error ya que no son primos en el sentido habitual del álgebra conmutativa : es posible que un cuaternión irreducible divida un producto ab sin dividir a ni b . Cada cuaternión de Hurwitz se puede factorizar como producto de cuaterniones irreducibles. Esta factorización no es en general única, incluso hasta unidades y orden, porque un primo impar positivo p puede escribirse de 24( p +1) maneras como producto de dos cuaterniones de Hurwitz irreducibles de norma p , y para p grandes estos no pueden todos serán equivalentes bajo la multiplicación por unidades izquierda y derecha, ya que solo hay 24 unidades. Sin embargo, si se excluye este caso, existe una versión de factorización única. Más precisamente, cada cuaternión de Hurwitz puede escribirse únicamente como el producto de un número entero positivo y un cuaternión primitivo (un cuaternión de Hurwitz no divisible por ningún número entero mayor que 1). La factorización de un cuaternión primitivo en irreductibles es única hasta orden y unidades en el siguiente sentido: si
y
son dos factorizaciones de algún cuaternión primitivo de Hurwitz en cuaterniones irreducibles donde p k tiene la misma norma que q k para todo k , entonces
para algunas unidades reino unido .
Los enteros ordinarios y los enteros gaussianos permiten una división con resto o división euclidiana .
Para números enteros positivos N y D , siempre hay un cociente Q y un resto no negativo R tal que
Para enteros complejos o gaussianos N = a + i b y D = c + i d , con la norma N( D ) > 0, siempre existen Q = p + i q y R = r + i s tales que
Sin embargo, para los enteros de Lipschitz N = ( a , b , c , d ) y D = ( e , f , g , h ) puede suceder que N( R ) = N( D ). Esto motivó un cambio a los enteros de Hurwitz, para los cuales la condición N( R ) < N( D ) está garantizada. [1]
Muchos algoritmos dependen de la división con resto, por ejemplo, el algoritmo de Euclides para el máximo común divisor .
