Teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange

Todo número natural puede representarse como la suma de cuatro cuadrados enteros.

A diferencia de las tres dimensiones en las que las distancias entre los vértices de un policubo con aristas unitarias excluyen √7 debido al teorema de tres cuadrados de Legendre , el teorema de cuatro cuadrados de Lagrange establece que el análogo en cuatro dimensiones produce raíces cuadradas de cada número natural.

El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange , también conocido como conjetura de Bachet , establece que todo entero no negativo puede representarse como una suma de cuatro cuadrados de enteros no negativos . ^[1] Es decir, los cuadrados forman una base aditiva de orden cuatro, donde los cuatro números son enteros. A modo de ejemplo, 3, 31 y 310 pueden representarse como la suma de cuatro cuadrados de la siguiente manera: $${\displaystyle p=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}$$ ${\displaystyle a,b,c,d}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}3&=1^{2}+1^{2}+1^{2}+0^{2}\\[3pt]31&=5^{2}+2^{2}+1^{2}+1^{2}\\[3pt]310&=17^{2}+4^{2}+2^{2}+1^{2}\\[3pt]&=16^{2}+7^{2}+2^{2}+1^{2}\\[3pt]&=15^{2}+9^{2}+2^{2}+0^{2}\\[3pt]&=12^{2}+11^{2}+6^{2}+3^{2}.\end{aligned}}}$$

Este teorema fue demostrado por Joseph Louis Lagrange en 1770. Es un caso especial del teorema del número poligonal de Fermat .

Desarrollo histórico

De los ejemplos que se dan en la Aritmética se desprende claramente que Diofanto conocía el teorema. Este libro fue traducido al latín en 1621 por Bachet (Claude Gaspard Bachet de Méziriac) , quien enunció el teorema en las notas de su traducción. Pero el teorema no fue demostrado hasta 1770 por Lagrange. ^[2]

Adrien-Marie Legendre amplió el teorema en 1797-8 con su teorema de los tres cuadrados , al demostrar que un entero positivo puede expresarse como la suma de tres cuadrados si y solo si no tiene la forma de los enteros k y m . Más tarde, en 1834, Carl Gustav Jakob Jacobi descubrió una fórmula simple para el número de representaciones de un entero como la suma de cuatro cuadrados con su propio teorema de los cuatro cuadrados . ${\displaystyle 4^{k}(8m+7)}$

La fórmula también está vinculada al teorema de Descartes de los cuatro "círculos que se besan", que implica la suma de los cuadrados de las curvaturas de cuatro círculos. Esto también está vinculado a las juntas apolíneas , que se relacionaron más recientemente con la conjetura de Ramanujan-Petersson . ^[3]

Pruebas

La prueba clásica

Existen varias versiones modernas muy similares ^{[4] [5] [6]} de la prueba de Lagrange. La prueba que se presenta a continuación es una versión ligeramente simplificada, en la que los casos en los que m es par o impar no requieren argumentos separados.

La prueba clásica

Es suficiente demostrar el teorema para cada número primo impar p . Esto se deduce inmediatamente de la identidad de cuatro cuadrados de Euler (y del hecho de que el teorema es verdadero para los números 1 y 2).

Los residuos de a ² módulo p son distintos para cada a entre 0 y ( p − 1)/2 (inclusive). Para ver esto, tomemos un a y definamos c como a ² módulo p . a es una raíz del polinomio x ² − c sobre el cuerpo Z/ p Z . También lo es p − a (que es distinto de a ). En un cuerpo K , cualquier polinomio de grado n tiene como máximo n raíces distintas ( teorema de Lagrange (teoría de números) ), por lo que no hay otros a con esta propiedad, en particular no entre 0 y ( p − 1)/2 .

De manera similar, para b que toma valores enteros entre 0 y ( p − 1)/2 (inclusive), los − b ² − 1 son distintos. Por el principio del palomar , hay a y b en este rango, para los cuales a ² y − b ² − 1 son congruentes módulo p , es decir para los cuales $${\displaystyle a^{2}+b^{2}+1^{2}+0^{2}=np.}$$

Sea ahora m el entero positivo más pequeño tal que mp es la suma de cuatro cuadrados, x ₁ ² + x ₂ ² + x ₃ ² + x ₄ ² (acabamos de demostrar que hay algún m (a saber, n ) con esta propiedad, por lo que hay al menos un m , y es menor que p ). Demostramos por contradicción que m es igual a 1: suponiendo que no sea el caso, demostramos la existencia de un entero positivo r menor que m , para el cual rp es también la suma de cuatro cuadrados (esto está en el espíritu del método de descenso infinito ^[7] de Fermat).

Para este propósito, consideramos para cada x _i el y _i que está en la misma clase de residuo módulo m y entre (– m + 1)/2 y m /2 (posiblemente incluido). Se sigue que y ₁ ² + y ₂ ² + y ₃ ² + y ₄ ² = mr , para algún entero estrictamente positivo r menor que  m .

Finalmente, otra apelación a la identidad de cuatro cuadrados de Euler muestra que mpmr = z ₁ ² + z ₂ ² + z ₃ ² + z ₄ ² . Pero el hecho de que cada x _i sea congruente con su correspondiente y _i implica que todos los z _i son divisibles por m . De hecho, $${\displaystyle {\begin{cases}z_{1}&=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}+x_{4}y_{4}&\equiv x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}&=mp\equiv 0&{\pmod {m}},\\z_{2}&=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+x_{3}y_{4}-x_{4}y_{3}&\equiv x_{1}x_{2}-x_{2}x_{1}+x_{3}x_{4}-x_{4}x_{3}&=0&{\pmod {m}},\\z_{3}&=x_{1}y_{3}-x_{2}y_{4}-x_{3}y_{1}+x_{4}y_{2}&\equiv x_{1}x_{3}-x_{2}x_{4}-x_{3}x_{1}+x_{4}x_{2}&=0&{\pmod {m}},\\z_{4}&=x_{1}y_{4}+x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}-x_{4}y_{1}&\equiv x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}-x_{3}x_{2}-x_{4}x_{1}&=0&{\pmod {m}}.\end{cases}}}$$

De ello se deduce que, para w _i = z _i / m , w ₁ ² + w ₂ ² + w ₃ ² + w ₄ ² = rp , y esto está en contradicción con la minimalidad de  m .

En el descenso anterior, debemos descartar tanto el caso y ₁ = y ₂ = y ₃ = y ₄ = m /2 (que daría r = m y no habría descenso), como también el caso y ₁ = y ₂ = y ₃ = y ₄ = 0 (que daría r = 0 en lugar de estrictamente positivo). Para ambos casos, se puede comprobar que mp = x ₁ ² + x ₂ ² + x ₃ ² + x ₄ ² sería un múltiplo de m ² , contradiciendo el hecho de que p es un primo mayor que m .

Demostración utilizando los números enteros de Hurwitz

Otra forma de demostrar el teorema se basa en los cuaterniones de Hurwitz , que son el análogo de los números enteros para los cuaterniones . ^[8]

Demostración utilizando los números enteros de Hurwitz

Los cuaterniones de Hurwitz están formados por todos los cuaterniones con componentes enteros y todos los cuaterniones con componentes semienteros . Estos dos conjuntos se pueden combinar en una única fórmula donde son números enteros. Por tanto, los componentes de los cuaterniones son todos los números enteros o todos los semienteros, según sean pares o impares, respectivamente. El conjunto de cuaterniones de Hurwitz forma un anillo ; es decir, la suma o el producto de dos cuaterniones de Hurwitz cualesquiera es asimismo un cuaternión de Hurwitz. $${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2}}E_{0}(1+\mathbf {i} +\mathbf {j} +\mathbf {k} )+E_{1}\mathbf {i} +E_{2}\mathbf {j} +E_{3}\mathbf {k} =a_{0}+a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} }$$ ${\displaystyle E_{0},E_{1},E_{2},E_{3}}$ ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}}$ ${\displaystyle E_{0}}$

La norma (aritmética o de campo) de un cuaternión racional es el número racional no negativo donde es el conjugado de . Nótese que la norma de un cuaternión de Hurwitz es siempre un entero. (Si los coeficientes son semienteros, entonces sus cuadrados tienen la forma , y la suma de cuatro de esos números es un entero). ${\displaystyle \mathrm {N} (\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle \mathrm {N} (\alpha )=\alpha {\bar {\alpha }}=a_{0}^{2}+a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}$$ ${\displaystyle {\bar {\alpha }}=a_{0}-a_{1}\mathbf {i} -a_{2}\mathbf {j} -a_{3}\mathbf {k} }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}+n:n\in \mathbb {Z} }$

Dado que la multiplicación de cuaterniones es asociativa y los números reales conmutan con otros cuaterniones, la norma de un producto de cuaterniones es igual al producto de las normas: $${\displaystyle \mathrm {N} (\alpha \beta )=\alpha \beta ({\overline {\alpha \beta }})=\alpha \beta {\bar {\beta }}{\bar {\alpha }}=\alpha \mathrm {N} (\beta ){\bar {\alpha }}=\alpha {\bar {\alpha }}\mathrm {N} (\beta )=\mathrm {N} (\alpha )\mathrm {N} (\beta ).}$$

Para cualquier , . Se deduce fácilmente que es una unidad en el anillo de cuaterniones de Hurwitz si y solo si . ${\displaystyle \alpha \neq 0}$ ${\displaystyle \alpha ^{-1}={\bar {\alpha }}\mathrm {N} (\alpha )^{-1}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \mathrm {N} (\alpha )=1}$

La demostración del teorema principal comienza por reducción al caso de los números primos. La identidad de los cuatro cuadrados de Euler implica que si el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange es válido para dos números, es válido también para el producto de los dos números. Puesto que cualquier número natural puede factorizarse en potencias de primos, basta con demostrar el teorema para números primos. Es cierto para . Para demostrarlo para un entero primo impar p , represéntelo como un cuaternión y suponga por ahora (como demostraremos más adelante) que no es un irreducible de Hurwitz ; es decir, puede factorizarse en dos cuaterniones de Hurwitz no unitarios ${\displaystyle 2=1^{2}+1^{2}+0^{2}+0^{2}}$ ${\displaystyle (p,0,0,0)}$ $${\displaystyle p=\alpha \beta .}$$

Las normas de son números enteros tales que y . Esto demuestra que tanto y como son iguales a p (ya que son números enteros), y p es la suma de cuatro cuadrados. ${\displaystyle p,\alpha ,\beta }$ $${\displaystyle \mathrm {N} (p)=p^{2}=\mathrm {N} (\alpha \beta )=\mathrm {N} (\alpha )\mathrm {N} (\beta )}$$ ${\displaystyle \mathrm {N} (\alpha ),\mathrm {N} (\beta )>1}$ ${\displaystyle \mathrm {N} (\alpha )}$ ${\displaystyle \mathrm {N} (\beta )}$ $${\displaystyle p=\mathrm {N} (\alpha )=a_{0}^{2}+a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}.}$$

Si sucede que el elegido tiene coeficientes semienteros, se puede sustituir por otro cuaternión de Hurwitz. Elegimos de tal forma que tenga coeficientes enteros pares. Entonces ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \omega =(\pm 1\pm \mathbf {i} \pm \mathbf {j} \pm \mathbf {k} )/2}$ ${\displaystyle \gamma \equiv \omega +\alpha }$ $${\displaystyle p=({\bar {\gamma }}-{\bar {\omega }})\omega {\bar {\omega }}(\gamma -\omega )=({\bar {\gamma }}\omega -1)({\bar {\omega }}\gamma -1).}$$

Dado que tiene coeficientes enteros pares, tendrá coeficientes enteros y se puede utilizar en lugar del original para dar una representación de p como la suma de cuatro cuadrados. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle ({\bar {\omega }}\gamma -1)}$ ${\displaystyle \alpha }$

En cuanto a demostrar que p no es un irreducible de Hurwitz, Lagrange demostró que cualquier primo impar p divide al menos un número de la forma , donde l y m son enteros. ^[8] Esto se puede ver de la siguiente manera: dado que p es primo, puede cumplirse para enteros , solo cuando . Por lo tanto, el conjunto de cuadrados contiene residuos distintos módulo p . Asimismo, contiene residuos. Dado que solo hay p residuos en total, y , los conjuntos X e Y deben intersecarse. ${\displaystyle u=1+l^{2}+m^{2}}$ ${\displaystyle a^{2}\equiv b^{2}{\pmod {p}}}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle a\equiv \pm b{\pmod {p}}}$ ${\displaystyle X=\{0^{2},1^{2},\dots ,((p-1)/2)^{2}\}}$ ${\displaystyle (p+1)/2}$ ${\displaystyle Y=\{-(1+x):x\in X\}}$ ${\displaystyle (p+1)/2}$ ${\displaystyle |X|+|Y|=p+1>p}$

El número u se puede factorizar en cuaterniones de Hurwitz: $${\displaystyle 1+l^{2}+m^{2}=(1+l\;\mathbf {i} +m\;\mathbf {j} )(1-l\;\mathbf {i} -m\;\mathbf {j} ).}$$

La norma de los cuaterniones de Hurwitz satisface una forma de la propiedad euclidiana : para cualquier cuaternión con coeficientes racionales podemos elegir un cuaternión de Hurwitz de modo que, eligiendo primero de modo que y luego de modo que para . Entonces obtenemos ${\displaystyle \alpha =a_{0}+a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} }$ ${\displaystyle \beta =b_{0}+b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k} }$ ${\displaystyle \mathrm {N} (\alpha -\beta )<1}$ ${\displaystyle b_{0}}$ ${\displaystyle |a_{0}-b_{0}|\leq 1/4}$ ${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3}}$ ${\displaystyle |a_{i}-b_{i}|\leq 1/2}$ ${\displaystyle i=1,2,3}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {N} (\alpha -\beta )&=(a_{0}-b_{0})^{2}+(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+(a_{3}-b_{3})^{2}\\&\leq \left({\frac {1}{4}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}={\frac {13}{16}}<1.\end{aligned}}}$$

De ello se deduce que para cualquier cuaternión de Hurwitz con , existe un cuaternión de Hurwitz tal que ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ ${\displaystyle \alpha \neq 0}$ ${\displaystyle \gamma }$ $${\displaystyle \mathrm {N} (\beta -\alpha \gamma )<\mathrm {N} (\alpha ).}$$

El anillo H de cuaterniones de Hurwitz no es conmutativo, por lo tanto no es un dominio euclidiano real y no tiene factorización única en el sentido habitual. Sin embargo, la propiedad anterior implica que todo ideal recto es principal . Por lo tanto, existe un cuaternión de Hurwitz tal que ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle \alpha H=pH+(1-l\;\mathbf {i} -m\;\mathbf {j} )H.}$$

En particular, para algún cuaternión de Hurwitz . Si fuera una unidad, sería un múltiplo de p , sin embargo esto es imposible ya que no es un cuaternión de Hurwitz para . De manera similar, si fuera una unidad, tendríamos entonces p divide a , lo que nuevamente contradice el hecho de que no es un cuaternión de Hurwitz. Por lo tanto, p no es irreducible de Hurwitz, como se afirma. ${\displaystyle p=\alpha \beta }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle 1-l\;\mathbf {i} -m\;\mathbf {j} }$ ${\displaystyle 1/p-l/p\;\mathbf {i} -m/p\;\mathbf {j} }$ ${\displaystyle p>2}$ ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle (1+l\;\mathbf {i} +m\;\mathbf {j} )H=(1+l\;\mathbf {i} +m\;\mathbf {j} )pH+(1+l\;\mathbf {i} +m\;\mathbf {j} )(1-l\;\mathbf {i} -m\;\mathbf {j} )H\subseteq pH}$$ ${\displaystyle 1+l\;\mathbf {i} +m\;\mathbf {j} }$ ${\displaystyle 1/p-l/p\;\mathbf {i} -m/p\;\mathbf {j} }$

Generalizaciones

El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange es un caso especial del teorema de los números poligonales de Fermat y del problema de Waring . Otra posible generalización es el siguiente problema: Dados números naturales , ¿podemos resolver ${\displaystyle a,b,c,d}$

$${\displaystyle n=ax_{1}^{2}+bx_{2}^{2}+cx_{3}^{2}+dx_{4}^{2}}$$

para todos los enteros positivos n en enteros ? El caso se responde positivamente mediante el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange. La solución general fue dada por Ramanujan . ^[9] Demostró que si suponemos, sin pérdida de generalidad, que entonces hay exactamente 54 opciones posibles para tales que el problema es solucionable en enteros para todos los n . (Ramanujan enumeró una posibilidad número 55 , pero en este caso el problema no es solucionable si . ^[10] ) ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$ ${\displaystyle a=b=c=d=1}$ ${\displaystyle a\leq b\leq c\leq d}$ ${\displaystyle a,b,c,d}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$ ${\displaystyle a=1,b=2,c=5,d=5}$ ${\displaystyle n=15}$

Algoritmos

En 1986, Michael O. Rabin y Jeffrey Shallit ^[11] propusieron algoritmos de tiempo polinomial aleatorios para calcular una única representación de un entero dado n en un tiempo de ejecución esperado . Paul Pollack y Enrique Treviño los mejoraron en 2018. ^[12] ${\displaystyle n=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {O} (\log(n)^{2})}$ ${\displaystyle \mathrm {O} (\log(n)^{2}\log(\log(n))^{-1})}$

Número de representaciones

El número de representaciones de un número natural n como suma de cuatro cuadrados de números enteros se denota por r ₄ ( n ). El teorema de los cuatro cuadrados de Jacobi establece que esto es ocho veces la suma de los divisores de n si n es impar y 24 veces la suma de los divisores impares de n si n es par (ver función divisor ), es decir

$${\displaystyle r_{4}(n)={\begin{cases}8\sum \limits _{m\mid n}m&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\\[12pt]24\sum \limits _{\begin{smallmatrix}m|n\\m{\text{ odd}}\end{smallmatrix}}m&{\text{if }}n{\text{ is even}}.\end{cases}}}$$

Equivalentemente, es ocho veces la suma de todos sus divisores que no son divisibles por 4, es decir

$${\displaystyle r_{4}(n)=8\sum _{m\,:\,4\nmid m\mid n}m.}$$

También podemos escribir esto como donde el segundo término debe tomarse como cero si n no es divisible por 4. En particular, para un número primo p tenemos la fórmula explícita  r ₄ ( p ) = 8( p + 1) . ^[13] $${\displaystyle r_{4}(n)=8\sigma (n)-32\sigma (n/4)\ ,}$$

Algunos valores de r ₄ ( n ) ocurren infinitamente a menudo como r ₄ ( n ) = r ₄ (2 ^m n ) siempre que n sea par. Los valores de r ₄ ( n )/ n pueden ser arbitrariamente grandes: de hecho, r ₄ ( n )/ n es infinitamente a menudo mayor que 8 √ log n . ^[13]

Unicidad

La secuencia de números enteros positivos que tienen una única representación como suma de cuatro cuadrados de números enteros no negativos (hasta el orden) es:

1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 11, 14, 15, 23, 24, 32, 56, 96, 128, 224, 384, 512, 896 ... (secuencia A006431 en la OEIS ).

Estos números enteros consisten en los siete números impares 1, 3, 5, 7, 11, 15, 23 y todos los números de la forma o . ${\displaystyle 2(4^{k}),6(4^{k})}$ ${\displaystyle 14(4^{k})}$

La secuencia de números enteros positivos que no se puede representar como suma de cuatro cuadrados distintos de cero es:

1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 14, 17, 24, 29, 32, 41, 56, 96, 128, 224, 384, 512, 896 ... (secuencia A000534 en la OEIS ).

Estos números enteros constan de los ocho números impares 1, 3, 5, 9, 11, 17, 29, 41 y todos los números de la forma o . ${\displaystyle 2(4^{k}),6(4^{k})}$ ${\displaystyle 14(4^{k})}$

Mejoras adicionales

El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange se puede refinar de varias maneras. Por ejemplo, Zhi-Wei Sun ^[14] demostró que cada número natural se puede escribir como una suma de cuatro cuadrados con algunos requisitos en la elección de estos cuatro números.

También cabe preguntarse si es necesario utilizar todo el conjunto de enteros cuadrados para escribir cada natural como la suma de cuatro cuadrados. Eduard Wirsing demostró que existe un conjunto de cuadrados S con tal que cada entero positivo menor o igual a n puede escribirse como una suma de como máximo 4 elementos de S . ^[15] ${\displaystyle |S|=O(n^{1/4}\log ^{1/4}n)}$

Véase también

• Teorema de Fermat sobre las sumas de dos cuadrados
• Teorema de Fermat sobre los números poligonales
• El problema de Waring
• Teorema de los tres cuadrados de Legendre
• Teorema de la suma de dos cuadrados
• Función suma de cuadrados
• Teoremas 15 y 290

Notas

1. Andrews, George E. (1994), Teoría de números , Dover Publications, pág. 144, ISBN 0-486-68252-8
2. Irlanda y Rosen 1990.
3. Sarnak 2013.
4. Landau 1958, Teoremas 166 a 169.
5. Hardy y Wright 2008, Teorema 369.
6. Niven y Zuckerman 1960, párrafo 5.7.
7. Aquí el argumento es una prueba directa por contradicción . Con el supuesto inicial de que m > 2, m < p , es un entero tal que mp es la suma de cuatro cuadrados (no necesariamente el más pequeño), el argumento podría modificarse para convertirse en un argumento de descenso infinito en el espíritu de Fermat.
8. Stillwell 2003, págs. 138-157.
9. Ramanujan 1917.
10. Oh, año 2000.
11. Rabin y Shallit 1986.
12. Pollack y Treviño 2018.
13. Williams 2011, pág. 119.
14. Dom 2017.
15. Spencer 1996.

Referencias

• Hardy, GH ; Wright, EM (2008) [1938]. Heath-Brown, DR ; Silverman, JH ; Wiles, Andrew (eds.). Introducción a la teoría de números (6.ª ed.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921985-8.
• Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990). Una introducción clásica a la teoría de números moderna (2.ª ed.). Springer. doi :10.1007/978-1-4757-2103-4. ISBN 978-1-4419-3094-1.
• Landau, Edmund (1958) [1927]. Teoría elemental de números. Vol. 125. Traducido por Goodman, Jacob E. (2.ª ed.). AMS Chelsea Publishing.
• Niven, Ivan; Zuckerman, Herbert S. (1960). Introducción a la teoría de números . Wiley .
• Oh, Byeong-Kweon (2000). "Representaciones de formas binarias mediante formas cuadráticas quinarias" (PDF) . Tendencias en matemáticas . 3 (1): 102–107.
• Rabin, MO ; Shallit, JO (1986). "Algoritmos aleatorios en teoría de números". Communications on Pure and Applied Mathematics . 39 (S1): S239–S256. doi :10.1002/cpa.3160390713.
• Ramanujan, S. (1917). "Sobre la expresión de un número en la forma ax ² + by ² + cz ² + dw ² ". Proc. Camb. Phil. Soc . 19 : 11–21.
• Sarnak, Peter (2013). "La conjetura de Ramanujan y algunas ecuaciones diofánticas". YouTube (Conferencia en el Instituto Tata de Investigación Fundamental). Serie de conferencias ICTS. Bangalore, India.
• Stillwell, John (2003). Elementos de teoría de números . Textos de pregrado en matemáticas. Springer. doi :10.1007/978-0-387-21735-2. ISBN. 978-0-387-95587-2.Zbl 1112.11002  .
• Sun, Z.-W. (2017). "Refinamiento del teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange". J. Number Theory . 175 : 167–190. arXiv : 1604.06723 . doi :10.1016/j.jnt.2016.11.008. S2CID  119597024.
• Williams, Kenneth S. (2011). Teoría de números en el espíritu de Liouville . Textos para estudiantes de la London Mathematical Society. Vol. 76. Cambridge University Press . ISBN. 978-0-521-17562-3.Zbl 1227.11002  .
• Spencer, Joel (1996). "Cuatro cuadrados con pocos cuadrados". Teoría de números: Seminario de Nueva York 1991-1995 . Springer US. págs. 295-297. doi :10.1007/978-1-4612-2418-1_22. ISBN . 9780387948263.
• Pollack, P.; Treviño, E. (2018). "Hallazgo de los cuatro cuadrados en el teorema de Lagrange" (PDF) . Números enteros . 18A : A15.

Enlaces externos

• Prueba en PlanetMath.org
• Otra prueba
• Una aplicación que descompone números como sumas de cuatro cuadrados
• Índice OEIS de secuencias relacionadas con sumas de cuadrados y sumas de cubos
• Weisstein, Eric W. "Teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange". MathWorld .