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Teorema de los cuatro cuadrados de Jacobi

En teoría de números , el teorema de los cuatro cuadrados de Jacobi proporciona una fórmula para el número de formas en que un entero positivo dado n puede representarse como la suma de cuatro cuadrados (de números enteros ).

Historia

El teorema fue demostrado en 1834 por Carl Gustav Jakob Jacobi .

Teorema

Dos representaciones se consideran diferentes si sus términos están en orden diferente o si el número entero que se eleva al cuadrado (no solo el cuadrado) es diferente; para ilustrarlo, estas son tres de las ocho formas diferentes de representar 1:

El número de formas de representar n como la suma de cuatro cuadrados es ocho veces la suma de los divisores de n si n es impar y 24 veces la suma de los divisores impares de n si n es par (ver función divisor ), es decir

Equivalentemente, es ocho veces la suma de todos sus divisores que no son divisibles por 4, es decir

También podemos escribir esto como

donde el segundo término debe tomarse como cero si n no es divisible por 4. En particular, para un número primo p tenemos la fórmula explícita r 4 ( p ) = 8( p + 1) . [1]

Algunos valores de r 4 ( n ) ocurren infinitamente a menudo como r 4 ( n ) = r 4 (2 m n ) siempre que n sea par. Los valores de r 4 ( n ) pueden ser arbitrariamente grandes: de hecho, r 4 ( n ) es infinitamente a menudo mayor que [1]

Prueba

El teorema se puede demostrar por medios elementales comenzando con el triple producto de Jacobi . [2]

La prueba muestra que la serie Theta para la red Z 4 es una forma modular de un cierto nivel y, por lo tanto, es igual a una combinación lineal de la serie de Eisenstein .

Véase también

Notas

  1. ^Ab Williams 2011, pág. 119.
  2. ^ Hirschhorn, Michael D. (2000). "Fracciones parciales y cuatro teoremas clásicos de la teoría de números". The American Mathematical Monthly . 107 (3): 260–264. CiteSeerX  10.1.1.28.1615 . doi :10.2307/2589321. JSTOR  2589321.

Referencias

Enlaces externos