Dominio euclidiano

En matemáticas , más específicamente en teoría de anillos , un dominio euclidiano (también llamado anillo euclidiano ) es un dominio integral que puede ser dotado de una función euclidiana que permite una generalización adecuada de la división euclidiana de números enteros . Este algoritmo euclidiano generalizado puede tener muchos de los mismos usos que el algoritmo original de Euclides en el anillo de números enteros: en cualquier dominio euclidiano, se puede aplicar el algoritmo euclidiano para calcular el máximo común divisor de dos elementos cualesquiera. En particular, el máximo común divisor de dos elementos cualesquiera existe y puede escribirse como una combinación lineal de ellos ( identidad de Bézout ). Además, todo ideal en un dominio euclidiano es principal , lo que implica una generalización adecuada del teorema fundamental de la aritmética : todo dominio euclidiano es un dominio de factorización único .

Es importante comparar la clase de dominios euclidianos con la clase más amplia de dominios ideales principales (PID). Un PID arbitrario tiene en gran medida las mismas "propiedades estructurales" de un dominio euclidiano (o, de hecho, incluso del anillo de números enteros), pero cuando se conoce un algoritmo explícito para la división euclidiana, se puede utilizar el algoritmo euclidiano y el algoritmo euclidiano extendido para calcular los máximos comunes divisores y la identidad de Bézout . En particular, la existencia de algoritmos eficientes para la división euclidiana de números enteros y de polinomios en una variable sobre un cuerpo es de importancia básica en el álgebra computacional .

Por lo tanto, dado un dominio integral $R$ , a menudo resulta muy útil saber que $R$ tiene una función euclidiana: en particular, esto implica que $R$ es un PID. Sin embargo, si no existe una función euclidiana "obvia", determinar si $R$ es un PID es generalmente un problema mucho más sencillo que determinar si es un dominio euclidiano.

Los dominios euclidianos aparecen en la siguiente cadena de inclusiones de clases :

rngs ⊃ anillos ⊃ anillos conmutativos ⊃ dominios integrales ⊃ dominios integralmente cerrados ⊃ dominios MCD ⊃ dominios de factorización única ⊃ dominios ideales principales ⊃ dominios euclidianos ⊃ campos ⊃ campos algebraicamente cerrados

Definición

Sea $R$ un dominio íntegro. Una función euclidiana en $R$ es una función $f$ de $R \ {0}$ a los enteros no negativos que satisfacen la siguiente propiedad fundamental de división con resto:

(EF1) Si $a$ y $b$ están en $R$ y $b$ es distinto de cero, entonces existen $q$ y $r$ en $R$ tales que $a = bq + r$ y $r = 0$ o $f (r) < f (b)$ .

Un dominio euclidiano es un dominio íntegro que puede estar dotado de al menos una función euclidiana. Una función euclidiana particular $f$ no forma parte de la definición de un dominio euclidiano, ya que, en general, un dominio euclidiano puede admitir muchas funciones euclidianas diferentes.

En este contexto, $q$ y $r$ se denominan respectivamente cociente y resto de la división (o división euclidiana ) de $a$ por $b$ . A diferencia del caso de los números enteros y polinomios , el cociente no suele estar definido de forma única, pero cuando se ha elegido un cociente, el resto sí lo está.

La mayoría de los textos de álgebra requieren que una función euclidiana tenga la siguiente propiedad adicional:

(EF2) Para todos $los a$ y $b$ distintos de cero en $R$ , $f (a) \leq f (ab)$ .

Sin embargo, se puede demostrar que (EF1) por sí solo es suficiente para definir un dominio euclidiano; si un dominio integral $R$ está dotado de una función $g$ que satisface (EF1), entonces $R$ también puede estar dotado de una función que satisface (EF1) y (EF2) simultáneamente. De hecho, para $a$ en $R \ {0}$ , se puede definir $f (a)$ de la siguiente manera: ^[1]

f(a)=\min _{x\in R\setminus \{0\}}g(xa)

En palabras, se puede definir $f (a)$ como el valor mínimo alcanzado por $g$ en el conjunto de todos los elementos distintos de cero del ideal principal generado por $a$ .

Una función euclidiana $f$ es multiplicativa si $f (ab) = f (a) f (b)$ y $f (a)$ nunca es cero. De ello se deduce que $f (1) = 1$ . De manera más general, $f (a) = 1$ si y solo si $a$ es una unidad .

Notas sobre la definición

Muchos autores utilizan otros términos en lugar de "función euclidiana", como "función de grado", "función de valoración", "función de calibre" o "función norma". ^[2] Algunos autores también requieren que el dominio de la función euclidiana sea todo el anillo $R$ ; ^[2] sin embargo, esto no afecta esencialmente a la definición, ya que (EF1) no involucra el valor de $f (0)$ . La definición a veces se generaliza permitiendo que la función euclidiana tome sus valores en cualquier conjunto bien ordenado ; este debilitamiento no afecta las implicaciones más importantes de la propiedad euclidiana.

La propiedad (EF1) puede reformularse de la siguiente manera: para cualquier ideal principal $I$ de $R$ con generador $b$ distinto de cero , todas las clases distintas de cero del anillo cociente $R / I$ tienen un representante $r$ con $f (r) < f (b)$ . Puesto que los posibles valores de $f$ están bien ordenados, esta propiedad puede establecerse mostrando que $f (r) < f (b)$ para cualquier $r \notin I$ con valor mínimo de $f (r)$ en su clase. Nótese que, para una función euclidiana así establecida, no es necesario que exista un método eficaz para determinar $q$ y $r$ en (EF1).

Ejemplos

Algunos ejemplos de dominios euclidianos incluyen:

Cualquier campo. Defina $f (x) = 1$ para todo $x$ distinto de cero .
$Z$ , el anillo de los números enteros. Defina $f (n) = | n |$ , el valor absoluto de $n$ .^[3]
$Z [i]$ , el anillo de los números enteros gaussianos . Defina $f (a + bi) = a 2 + b 2$ , la norma del número entero gaussiano $a + bi$ .
$Z [ω]$ (donde $ω$ es una raíz cúbica primitiva (no real ) de la unidad ), el anillo de los enteros de Eisenstein . Defina $f (a + b ω) = a 2 - ab + b 2$ , la norma del entero de Eisenstein $a + b ω$ .
$K [X]$ , el anillo de polinomios sobre un cuerpo $K$ . Para cada polinomio distinto de cero $P$ , defina $f (P)$ como el grado de $P$ .^[4]
$K [[X]]$ , el anillo de series de potencias formales sobre el cuerpo $K$ . Para cada serie de potencias $P$ distinta de cero , defina $f (P)$ como el orden de $P$ , es decir, el grado de la potencia más pequeña de $X$ que aparece en $P$ . En particular, para dos series de potencias $P$ y $Q$ distintas de cero , $f (P) \leq f (Q )$ si y solo si $P$ divide $a Q$ .
Cualquier anillo de valoración discreto . Defina $f (x)$ como la potencia más alta del ideal maximalista $M$ que contiene $a x$ . De manera equivalente, sea $g$ un generador de $M$ y $v$ el único entero tal que $g v$ es un asociado de $x$ , entonces defina $f (x) = v$ . El ejemplo anterior $K [[X]]$ es un caso especial de esto.
Un dominio de Dedekind con un número finito de ideales primos distintos de cero $P$ $1$ $, ...,$ $P$ $n$ . Defina , donde $v$ $i$ es la valoración discreta correspondiente al ideal $P$ $i$ . ^[5] $f(x)=\sum _{i=1}^{n}v_{i}(x)$

Algunos ejemplos de dominios que no son dominios euclidianos incluyen:

Todo dominio que no sea un dominio ideal principal , tal como el anillo de polinomios en al menos dos indeterminados sobre un cuerpo, o el anillo de polinomios univariados con coeficientes enteros , o el anillo de números $Z [\sqrt -5]$ .
El anillo de números enteros de $Q (\sqrt -19)$ , formado por los números $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠a + b √ −19/2⁠$ donde $a$ y $b$ son números enteros y ambos pares o ambos impares. Es un dominio ideal principal que no es euclidiano. Esto fue demostrado por Theodore Motzkin y fue el primer caso conocido.^[6]
El anillo $A = R [X, Y]/(X 2 + Y 2 + 1)$ es también un dominio ideal principal ^[7] que no es euclidiano. Para ver que no es un dominio euclidiano, basta con mostrar que para cada primo no nulo , la función inducida por la función cociente no es sobreyectiva . ^[8] $p\en A$ $A^{\times }\to (A/p)^{\times }$ $A\to A/p$

Propiedades

Sea R un dominio y f una función euclidiana en R . Entonces:

R es un dominio ideal principal (PID). De hecho, si I es un ideal distinto de cero de R entonces cualquier elemento a de I \ {0} con valor mínimo (en ese conjunto) de f ( a ) es un generador de I . ^[9] Como consecuencia, R es también un dominio de factorización único y un anillo noetheriano . Con respecto a los dominios ideales principales generales, la existencia de factorizaciones (es decir, que R es un dominio atómico ) es particularmente fácil de demostrar en dominios euclidianos: eligiendo una función euclidiana f que satisfaga (EF2), x no puede tener ninguna descomposición en más de f ( x ) factores no unitarios, por lo que comenzar con x y descomponer repetidamente los factores reducibles está obligado a producir una factorización en elementos irreducibles .
Cualquier elemento de R en el que f toma su valor mínimo global es invertible en R. Si se elige una f que satisface (EF2), entonces también se cumple la inversa , y f toma su valor mínimo exactamente en los elementos invertibles de R.
Si la división euclidiana es algorítmica, es decir, si existe un algoritmo para calcular el cociente y el resto, entonces se puede definir un algoritmo euclidiano extendido exactamente como en el caso de los números enteros. ^[10]
Si un dominio euclidiano no es un cuerpo, entonces tiene un elemento a con la siguiente propiedad: cualquier elemento x no divisible por a puede escribirse como x = ay + u para alguna unidad u y algún elemento y . Esto se deduce tomando a como una unidad no-unidad con f ( a ) tan pequeña como sea posible. Esta extraña propiedad puede usarse para mostrar que algunos dominios ideales principales no son dominios euclidianos, ya que no todos los PID tienen esta propiedad. Por ejemplo, para d = −19, −43, −67, −163, el anillo de enteros de es un PID que no es euclidiano, pero los casos d = −1, −2, −3, −7, −11 son euclidianos. ^[11] $\mathbf {Q} ({\sqrt {d}}\,)$

Sin embargo, en muchas extensiones finitas de Q con grupo de clases triviales , el anillo de números enteros es euclidiano (no necesariamente con respecto al valor absoluto de la norma del cuerpo; ver más abajo). Suponiendo la hipótesis de Riemann extendida , si K es una extensión finita de Q y el anillo de números enteros de K es un PID con un número infinito de unidades, entonces el anillo de números enteros es euclidiano. ^[12] En particular, esto se aplica al caso de cuerpos numéricos cuadráticos totalmente reales con grupo de clases triviales. Además (y sin suponer ERH), si el cuerpo K es una extensión de Galois de Q , tiene grupo de clases triviales y rango de unidad estrictamente mayor que tres, entonces el anillo de números enteros es euclidiano. ^{[13] Un}corolario inmediato de esto es que si el cuerpo numérico es de Galois sobre Q , su grupo de clases es trivial y la extensión tiene grado mayor que 8, entonces el anillo de números enteros es necesariamente euclidiano.

Campos normativos euclidianos

Los cuerpos de números algebraicos K vienen con una función de norma canónica sobre ellos: el valor absoluto de la norma de cuerpo N que toma un elemento algebraico α al producto de todos los conjugados de α . Esta norma asigna el anillo de números enteros de un cuerpo de números K , digamos O _K , a los números enteros racionales no negativos , por lo que es un candidato para ser una norma euclidiana en este anillo. Si esta norma satisface los axiomas de una función euclidiana, entonces el cuerpo de números K se llama norma euclidiana o simplemente euclidiana . ^[14]^[15] Estrictamente hablando, es el anillo de números enteros el que es euclidiano ya que los cuerpos son dominios trivialmente euclidianos, pero la terminología es estándar.

Si un cuerpo no es una norma euclidiana, eso no significa que el anillo de números enteros no sea euclidiano, sino que la norma del cuerpo no satisface los axiomas de una función euclidiana. De hecho, los anillos de números enteros de cuerpos numéricos pueden dividirse en varias clases:

Aquellos que no son principales y por lo tanto no euclidianos, como los números enteros de $\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}}\,)$
Aquellos que son principales y no euclidianos, como los números enteros de $\mathbf {Q} ({\sqrt {-19}}\,)$
Aquellos que son euclidianos y no euclidianos normativos, como los números enteros de ^[16] $\mathbf {Q} ({\sqrt {69}}\,)$
Aquellos que son de norma euclidiana, como los números enteros gaussianos (números enteros de ) $\mathbf {Q} ({\sqrt {-1}}\,)$

Los cuerpos cuadráticos norma-euclidianos han sido completamente clasificados; son donde toman los valores $\mathbf {Q} ({\sqrt {d}}\,)$ $d$

−11, −7, −3, −2, −1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 (secuencia A048981 en la OEIS ). ^[17]

Todo cuerpo cuadrático imaginario euclidiano es norma euclidiana y es uno de los cinco primeros cuerpos de la lista anterior.

Véase también

Valoración (álgebra)

Notas

^ Rogers, Kenneth (1971), "Los axiomas para dominios euclidianos", American Mathematical Monthly , 78 (10): 1127–8, doi :10.2307/2316324, JSTOR 2316324, Zbl 0227.13007
^ ab Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta . Wiley. pág. 270. ISBN 9780471433347.
^ Fraleigh y Katz 1967, pág. 377, Ejemplo 1
^ Fraleigh y Katz 1967, pág. 377, Ejemplo 2
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^ Pierre, Samuel (1964). Lecciones sobre dominios de factorización únicos (PDF) . Instituto Tata de Investigación Fundamental. págs. 27-28.
^ "¿Cociente de polinomios, PID pero no dominio euclidiano?".
^ Fraleigh y Katz 1967, pág. 377, Teorema 7.4
^ Fraleigh y Katz 1967, pág. 380, Teorema 7.7
^ Motzkin, Theodore (1949), "El algoritmo euclidiano", Boletín de la Sociedad Matemática Americana , 55 (12): 1142–6, doi : 10.1090/S0002-9904-1949-09344-8 , Zbl 0035.30302
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^ Harper, Malcolm; Murty, M. Ram (2004), "Anillos euclidianos de números enteros algebraicos" (PDF) , Revista canadiense de matemáticas , 56 (1): 71–76, CiteSeerX 10.1.1.163.7917 , doi :10.4153/CJM-2004-004-5
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Referencias

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Samuel, Pierre (1971). «Acerca de los anillos euclidianos» (PDF) . Journal of Algebra . 19 (2): 282–301. doi : 10.1016/0021-8693(71)90110-4 . Archivado desde el original (PDF) el 2021-05-06 . Consultado el 2021-04-24 .