Teorema de Lagrange (teoría de números)

En teoría de números , el teorema de Lagrange es un enunciado que lleva el nombre de Joseph-Louis Lagrange y que trata sobre la frecuencia con la que un polinomio sobre los números enteros puede evaluarse como un múltiplo de un primo fijo p . Más precisamente, afirma que para todos los polinomios enteros , ya sea: ${\displaystyle \textstyle f\in \mathbb {Z} [x]}$

• todo coeficiente de f es divisible por p , o
• ${\displaystyle p\mid f(x)}$tiene como máximo soluciones deg f en {1, 2, ..., p } ,

donde deg f es el grado de f .

Esto se puede afirmar con clases de congruencia de la siguiente manera: para todos los polinomios con p primo, ya sea: ${\displaystyle \textstyle f\in (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )[x]}$

• todo coeficiente de f es nulo, o
• ${\displaystyle f(x)=0}$tiene como máximo soluciones deg f en . ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$

Si p no es primo, entonces potencialmente puede haber más de un grado f ( x ) soluciones. Consideremos, por ejemplo, p=8 y el polinomio f(x)=x ² -1 , donde 1, 3, 5, 7 son todas soluciones.

Prueba

Sea un polinomio entero, y escribimos g ∈ ( Z / p Z )[ x ] el polinomio obtenido al tomar sus coeficientes mod p . Entonces, para todos los enteros x , ${\displaystyle \textstyle f\in \mathbb {Z} [x]}$

${\displaystyle f(x)\equiv 0{\pmod {p}}\quad \Longleftrightarrow \quad g(x)\equiv 0{\pmod {p}}}$.

Además, según las reglas básicas de la aritmética modular,

${\displaystyle f(x)\equiv 0{\pmod {p}}\quad \Longleftrightarrow \quad f(x{\pmod {p}})\equiv 0{\pmod {p}}\quad \Longleftrightarrow \quad g(x{\pmod {p}})\equiv 0{\pmod {p}}}$.

Ambas versiones del teorema (sobre Z y sobre Z / p Z ) son, por tanto, equivalentes. Demostramos la segunda versión por inducción sobre el grado, en el caso en que los coeficientes de f no sean todos nulos.

Si deg f = 0 entonces f no tiene raíces y la afirmación es verdadera.

Si deg f ≥ 1 sin raíces, entonces la afirmación también es trivialmente verdadera.

En caso contrario, deg f ≥ 1 y f tiene raíz . El hecho de que Z / p Z sea un cuerpo permite aplicar el algoritmo de división a f y al polinomio xk (de grado 1 ), lo que da como resultado la existencia de un polinomio (de grado inferior al de f ) y de una constante (de grado inferior a 1 ) tales que ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \textstyle g\in (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )[x]}$ ${\displaystyle \textstyle r\in \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$

${\displaystyle f(x)=g(x)(x-k)+r.}$

Evaluando en x=k se obtiene r=0 . Las otras raíces de f son entonces también raíces de g , que por la propiedad de inducción son como máximo grados g ≤ grados f - 1 en número. Esto demuestra el resultado.

Referencias

• LeVeque, William J. (2002) [1956]. Temas de teoría de números, volúmenes I y II. Nueva York: Dover Publications. pág. 42. ISBN 978-0-486-42539-9.Zbl 1009.11001  .
• Tattersall, James J. (2005). Teoría elemental de números en nueve capítulos (2.ª ed.). Cambridge University Press . p. 198. ISBN 0-521-85014-2.Zbl 1071.11002  .