Base aditiva

En la teoría de números aditivos , una base aditiva es un conjunto de números naturales con la propiedad de que, para algún número finito , cada número natural puede expresarse como una suma de o menos elementos de . Es decir, el conjunto suma de copias de consta de todos los números naturales. El orden o grado de una base aditiva es el número . Cuando el contexto de la teoría de números aditivos es claro, una base aditiva puede simplemente llamarse base . Una base aditiva asintótica es un conjunto para el cual todos los números naturales, excepto un número finito, pueden expresarse como una suma de o menos elementos de . ^[1] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S}$

Por ejemplo, por el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange , el conjunto de números cuadrados es una base aditiva de orden cuatro, y más generalmente por el teorema de los números poligonales de Fermat los números poligonales para polígonos de lados forman una base aditiva de orden . De manera similar, las soluciones al problema de Waring implican que las potencias n son una base aditiva, aunque su orden sea mayor que . Por el teorema de Vinogradov , los números primos son una base aditiva asintótica de orden como máximo cuatro, y la conjetura de Goldbach implicaría que su orden es tres. ^[1] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

La conjetura no demostrada de Erdős-Turán sobre bases aditivas establece que, para cualquier base aditiva de orden , el número de representaciones del número como suma de elementos de la base tiende a infinito en el límite cuando tiende a infinito. (Más precisamente, el número de representaciones no tiene un supremo finito .) ^{[2] El} teorema de Erdős-Fuchs relacionado establece que el número de representaciones no puede estar cerca de una función lineal . ^[3] El teorema de Erdős-Tetali establece que, para cada , existe una base aditiva de orden cuyo número de representaciones de cada uno es . ^[4] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Theta (\log n)}$

Un teorema de Lev Schnirelmann establece que cualquier secuencia con densidad de Schnirelmann positiva es una base aditiva. Esto se desprende de un teorema más fuerte de Henry Mann según el cual la densidad de Schnirelmann de una suma de dos secuencias es al menos la suma de sus densidades de Schnirelmann, a menos que su suma consista en todos los números naturales. Por lo tanto, cualquier secuencia de densidad de Schnirelmann es una base aditiva de orden como máximo . ^[5] ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \lceil 1/\varepsilon \rceil }$

Referencias

1. Bell, Jason; Hare, Kathryn ; Shallit, Jeffrey (2018), "¿Cuándo un conjunto automático es una base aditiva?", Actas de la American Mathematical Society , Serie B, 5 : 50–63, arXiv : 1710.08353 , doi : 10.1090/bproc/37 , MR  3835513
2. Erdős, Paul ; Turán, Pál (1941), "Sobre un problema de Sidón en la teoría aditiva de números, y sobre algunos problemas relacionados", Journal of the London Mathematical Society , 16 (4): 212–216, doi :10.1112/jlms/s1-16.4.212
3. Erdős, P. ; Fuchs, WHJ (1956), "Sobre un problema de teoría de números aditivos", Journal of the London Mathematical Society , 31 (1): 67–73, doi :10.1112/jlms/s1-31.1.67, hdl : 2027/mdp.39015095244037
4. Erdős, Paul ; Tetali, Prasad (1990), "Representaciones de números enteros como suma de términos", Random Structures & Algorithms , 1 (3): 245–261, doi :10.1002/rsa.3240010302, MR  1099791 ${\displaystyle k}$
5. Mann, Henry B. (1942), "Una prueba del teorema fundamental sobre la densidad de sumas de conjuntos de números enteros positivos", Anales de Matemáticas , Segunda Serie, 43 (3): 523–527, doi :10.2307/1968807, JSTOR  1968807, MR  0006748, Zbl  0061.07406