En matemáticas , el teorema de los tres cuadrados de Legendre establece que un número natural puede representarse como la suma de tres cuadrados de números enteros.
si y sólo si n no tiene la forma para números enteros no negativos a y b .
Los primeros números que no se pueden expresar como la suma de tres cuadrados (es decir, números que se pueden expresar como ) son
Pierre de Fermat dio un criterio para que los números de la forma 8 a + 1 y 8 a + 3 sean sumas de un cuadrado más el doble de otro cuadrado, pero no proporcionó una prueba. [1] N. Beguelin notó en 1774 [2] que cada entero positivo que no es ni de la forma 8 n + 7, ni de la forma 4 n , es la suma de tres cuadrados, pero no proporcionó una prueba satisfactoria. [3] En 1796 Gauss demostró su teorema de Eureka que cada entero positivo n es la suma de 3 números triangulares ; esto es equivalente al hecho de que 8 n + 3 es una suma de tres cuadrados. En 1797 o 1798 A.-M. Legendre obtuvo la primera prueba de su teorema de 3 cuadrados. [4] En 1813, AL Cauchy notó [5] que el teorema de Legendre es equivalente a la afirmación de la introducción anterior. Anteriormente, en 1801, Gauss había obtenido un resultado más general [6] , que contenía como corolario el teorema de Legendre de 1797-8. En particular, Gauss contaba el número de soluciones de la expresión de un entero como una suma de tres cuadrados, y esto es una generalización de otro resultado de Legendre, [7] cuya demostración es incompleta. Este último hecho parece ser la razón de posteriores afirmaciones incorrectas según las cuales la demostración de Legendre del teorema de los tres cuadrados era defectuosa y Gauss tuvo que completarla. [8]
Con el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange y el teorema de los dos cuadrados de Girard, Fermat y Euler, el problema de Waring para k = 2 queda completamente resuelto.
El "sólo si" del teorema es simplemente que, módulo 8, cada cuadrado es congruente con 0, 1 o 4. Hay varias demostraciones del inverso (además de la demostración de Legendre). Una de ellas se debe a JPGL Dirichlet en 1850, y se ha convertido en clásica. [9] Requiere tres lemas principales:
Este teorema se puede utilizar para demostrar el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange , que establece que todos los números naturales se pueden escribir como una suma de cuatro cuadrados. Gauss [10] señaló que el teorema de los cuatro cuadrados se deduce fácilmente del hecho de que cualquier entero positivo que sea 1 o 2 módulo 4 es una suma de 3 cuadrados, porque cualquier entero positivo no divisible por 4 se puede reducir a esta forma restándole 0 o 1. Sin embargo, demostrar el teorema de los tres cuadrados es considerablemente más difícil que una prueba directa del teorema de los cuatro cuadrados que no utilice el teorema de los tres cuadrados. De hecho, el teorema de los cuatro cuadrados se demostró antes, en 1770.
