Teorema de Fermat sobre las sumas de dos cuadrados

Condición bajo la cual un primo impar es una suma de dos cuadrados

En la teoría de números aditivos , el teorema de Fermat sobre las sumas de dos cuadrados establece que un primo impar p puede expresarse como:

${\displaystyle p=x^{2}+y^{2},}$

con números enteros x e y , si y solo si

${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}.}$

Los números primos para los que esto es cierto se denominan primos pitagóricos . Por ejemplo, los primos 5, 13, 17, 29, 37 y 41 son todos congruentes con 1 módulo 4 y pueden expresarse como sumas de dos cuadrados de las siguientes maneras:

${\displaystyle 5=1^{2}+2^{2},\quad 13=2^{2}+3^{2},\quad 17=1^{2}+4^{2},\quad 29=2^{2}+5^{2},\quad 37=1^{2}+6^{2},\quad 41=4^{2}+5^{2}.}$

Por otra parte, los primos 3, 7, 11, 19, 23 y 31 son todos congruentes con 3 módulo 4, y ninguno de ellos puede expresarse como suma de dos cuadrados. Esta es la parte más fácil del teorema, y ​​se desprende inmediatamente de la observación de que todos los cuadrados son congruentes con 0 (si el número al cuadrado es par) o 1 (si el número al cuadrado es impar) módulo 4.

Puesto que la identidad de Diofanto implica que el producto de dos números enteros, cada uno de los cuales puede escribirse como la suma de dos cuadrados, es en sí mismo expresable como la suma de dos cuadrados, al aplicar el teorema de Fermat a la factorización prima de cualquier número entero positivo n , vemos que si todos los factores primos de n congruentes con 3 módulo 4 ocurren con un exponente par, entonces n es expresable como una suma de dos cuadrados. La inversa también se cumple. ^[1] Esta generalización del teorema de Fermat se conoce como el teorema de la suma de dos cuadrados .

Historia

Albert Girard fue el primero en hacer la observación, caracterizando los números enteros positivos (no necesariamente primos) que son expresables como la suma de dos cuadrados de números enteros positivos; esto fue publicado en 1625. ^{[2] [3]} El enunciado de que todo primo p de la forma 4n+1 es la suma de dos cuadrados a veces se denomina teorema de Girard . ^[4] Por su parte, Fermat escribió una versión elaborada del enunciado (en el que también dio el número de posibles expresiones de las potencias de p como suma de dos cuadrados) en una carta a Marin Mersenne fechada el 25 de diciembre de 1640: por esta razón esta versión del teorema a veces se denomina teorema de Navidad de Fermat.

Primos gaussianos

El teorema de Fermat sobre las sumas de dos cuadrados está fuertemente relacionado con la teoría de los primos gaussianos .

Un entero gaussiano es un número complejo tal que a y b son números enteros. La norma de un entero gaussiano es un número entero igual al cuadrado del valor absoluto del entero gaussiano. La norma de un producto de números enteros gaussianos es el producto de sus normas. Esta es la identidad de Diofanto , que resulta inmediatamente de la propiedad similar del valor absoluto. ${\displaystyle a+ib}$ ${\displaystyle N(a+ib)=a^{2}+b^{2}}$

Los números enteros gaussianos forman un dominio ideal principal . Esto implica que los primos gaussianos pueden definirse de manera similar a los números primos, es decir, como aquellos números enteros gaussianos que no son el producto de dos números que no son unidades (aquí las unidades son 1, −1, i y − i ).

La propiedad multiplicativa de la norma implica que un número primo p es un primo gaussiano o la norma de un primo gaussiano. El teorema de Fermat afirma que el primer caso ocurre cuando y que el segundo caso ocurre cuando y El último caso no se considera en el enunciado de Fermat, pero es trivial, ya que ${\displaystyle p=4k+3,}$ ${\displaystyle p=4k+1}$ ${\displaystyle p=2.}$ ${\displaystyle 2=1^{2}+1^{2}=N(1+i).}$

Resultados relacionados

El punto de vista anterior sobre el teorema de Fermat es un caso especial de la teoría de factorización de ideales en anillos de números enteros cuadráticos . En resumen, si es el anillo de números enteros algebraicos en el cuerpo cuadrático , entonces un número primo impar p , que no divida a d , es un elemento primo en o la norma ideal de un ideal de que es necesariamente primo. Además, la ley de reciprocidad cuadrática permite distinguir los dos casos en términos de congruencias. Si es un dominio ideal principal , entonces p es una norma ideal si y solo ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\sqrt {d}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\sqrt {d}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\sqrt {d}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\sqrt {d}}}$

${\displaystyle 4p=a^{2}-db^{2},}$

siendo a y b ambos números enteros.

En una carta a Blaise Pascal fechada el 25 de septiembre de 1654, Fermat anunció los dos resultados siguientes que son esencialmente los casos especiales y Si p es un primo impar, entonces ${\displaystyle d=-2}$ ${\displaystyle d=-3.}$

${\displaystyle p=x^{2}+2y^{2}\iff p\equiv 1{\mbox{ or }}p\equiv 3{\pmod {8}},}$

${\displaystyle p=x^{2}+3y^{2}\iff p\equiv 1{\pmod {3}}.}$

Fermat también escribió:

Si se multiplican dos primos que terminan en 3 o 7 y superan en 3 un múltiplo de 4, entonces su producto estará compuesto por un cuadrado y el quíntuple de otro cuadrado.

En otras palabras, si p, q tienen la forma 20 k + 3 o 20 k + 7 , entonces pq = x ² + 5 y ² . Euler luego extendió esto a la conjetura de que

${\displaystyle p=x^{2}+5y^{2}\iff p\equiv 1{\mbox{ or }}p\equiv 9{\pmod {20}},}$

${\displaystyle 2p=x^{2}+5y^{2}\iff p\equiv 3{\mbox{ or }}p\equiv 7{\pmod {20}}.}$

Tanto la afirmación de Fermat como la conjetura de Euler fueron establecidas por Joseph-Louis Lagrange . Esta formulación más complicada se basa en el hecho de que no es un dominio ideal principal, a diferencia de y ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\sqrt {-5}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\sqrt {-2}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\sqrt {-3}}.}$

Algoritmo

Existe un algoritmo trivial para descomponer un primo de la forma en una suma de dos cuadrados: para todos los n tales que , se comprueba si la raíz cuadrada de es un entero. Si es así, se obtiene la descomposición. ${\displaystyle p=4k+1}$ ${\displaystyle 1\leq n<{\sqrt {p}}}$ ${\displaystyle p-n^{2}}$

Sin embargo, el tamaño de entrada del algoritmo es el número de dígitos de p (hasta un factor constante que depende de la base numérica ). La cantidad de pruebas necesarias es del orden de y, por lo tanto, exponencial en el tamaño de entrada. Por lo tanto, la complejidad computacional de este algoritmo es exponencial . ${\displaystyle \log p,}$ ${\displaystyle {\sqrt {p}}=\exp \left({\frac {\log p}{2}}\right),}$

En 1990, Stan Wagon describió un algoritmo de Las Vegas con una complejidad polinómica probabilística , basándose en el trabajo de Serret y Hermite (1848) y Cornacchia (1908). ^[5] La parte probabilística consiste en encontrar un residuo cuadrático no válido, lo que se puede hacer con probabilidad de éxito y luego iterar si no se tiene éxito. Condicionalmente, esto también se puede hacer en tiempo polinómico determinista si se cumple la hipótesis generalizada de Riemann, como se explicó para el algoritmo de Tonelli-Shanks . ${\displaystyle \approx {\frac {1}{2}}}$

Descripción

Dado un primo impar de la forma , primero encuentre tal que . Esto se puede hacer encontrando un no residuo cuadrático módulo , digamos , y dejando . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 4k+1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{2}\equiv -1{\pmod {p}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle x=q^{\frac {p-1}{4}}{\pmod {p}}}$

Tal satisfará la condición ya que los residuos no cuadráticos satisfacen . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle q^{\frac {p-1}{2}}\equiv -1{\pmod {p}}}$

Una vez determinado, se puede aplicar el algoritmo euclidiano con y . Denotemos los dos primeros residuos menores que la raíz cuadrada de como y . Entonces se dará el caso de que . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=p}$

Ejemplo

Tome . Un posible residuo cuadrático no válido para 97 es 13, ya que . por lo tanto, hacemos . El algoritmo euclidiano aplicado a 97 y 22 da como resultado: Los primeros dos residuos menores que la raíz cuadrada de 97 son 9 y 4; y, de hecho, tenemos , como se esperaba. ${\displaystyle p=97}$ ${\displaystyle 13^{\frac {97-1}{2}}\equiv -1{\pmod {97}}}$ ${\displaystyle x=13^{\frac {97-1}{4}}=22{\pmod {97}}}$ $${\displaystyle 97=22(4)+9,}$$ $${\displaystyle 22=9(2)+4,}$$ $${\displaystyle 9=4(2)+1,}$$ $${\displaystyle 4=1(4).}$$ ${\displaystyle 97=9^{2}+4^{2}}$

Pruebas

Fermat no solía escribir pruebas de sus afirmaciones, y no proporcionó una prueba de esta afirmación. La primera prueba fue encontrada por Euler después de mucho esfuerzo y se basa en la descendencia infinita . La anunció en dos cartas a Goldbach , el 6 de mayo de 1747 y el 12 de abril de 1749; publicó la prueba detallada en dos artículos (entre 1752 y 1755). ^{[6] [7]} Lagrange dio una prueba en 1775 que se basaba en su estudio de las formas cuadráticas . Esta prueba fue simplificada por Gauss en sus Disquisitiones Arithmeticae (art. 182). Dedekind dio al menos dos pruebas basadas en la aritmética de los números enteros gaussianos . Hay una prueba elegante que utiliza el teorema de Minkowski sobre conjuntos convexos. Simplificando una prueba corta anterior debida a Heath-Brown (quien se inspiró en la idea de Liouville ), Zagier presentó una prueba no constructiva de una sola oración en 1990. ^[8] Y más recientemente, Christopher dio una prueba de teoría de particiones . ^[9]

Demostración de Euler por descendencia infinita

Euler logró demostrar el teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados en 1749, cuando tenía cuarenta y dos años. Se lo comunicó en una carta a Goldbach fechada el 12 de abril de 1749. ^[10] La prueba se basa en la descendencia infinita y solo se describe brevemente en la carta. La prueba completa consta de cinco pasos y se publica en dos artículos. Los primeros cuatro pasos son las proposiciones 1 a 4 del primer artículo ^[11] y no corresponden exactamente a los cuatro pasos siguientes. El quinto paso que se muestra a continuación es del segundo artículo. ^{[12] [13]}

Para evitar ambigüedades, cero siempre será un constituyente posible válido de "sumas de dos cuadrados", por lo que, por ejemplo, cada cuadrado de un entero se puede expresar trivialmente como la suma de dos cuadrados estableciendo uno de ellos como cero.

1. El producto de dos números, cada uno de los cuales es una suma de dos cuadrados, es en sí mismo una suma de dos cuadrados.

Se trata de una propiedad muy conocida, basada en la identidad

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})(p^{2}+q^{2})=(ap+bq)^{2}+(aq-bp)^{2}}$

debido a Diofanto .

2. Si un número que es suma de dos cuadrados es divisible por un primo que es suma de dos cuadrados, entonces el cociente es suma de dos cuadrados. (Esta es la primera proposición de Euler).

En efecto, supongamos por ejemplo que es divisible por y que este último es primo. Entonces divide ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ ${\displaystyle p^{2}+q^{2}}$ ${\displaystyle p^{2}+q^{2}}$

${\displaystyle (pb-aq)(pb+aq)=p^{2}b^{2}-a^{2}q^{2}=p^{2}(a^{2}+b^{2})-a^{2}(p^{2}+q^{2}).}$

Como es primo, divide a uno de los dos factores. Supongamos que divide a . Como ${\displaystyle p^{2}+q^{2}}$ ${\displaystyle pb-aq}$

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})(p^{2}+q^{2})=(ap+bq)^{2}+(aq-bp)^{2}}$

(Identidad de Diofanto) se deduce que debe dividirse . Por lo tanto, la ecuación se puede dividir por el cuadrado de . Dividiendo la expresión por se obtiene: ${\displaystyle p^{2}+q^{2}}$ ${\displaystyle (ap+bq)^{2}}$ ${\displaystyle p^{2}+q^{2}}$ ${\displaystyle (p^{2}+q^{2})^{2}}$

${\displaystyle {\frac {a^{2}+b^{2}}{p^{2}+q^{2}}}=\left({\frac {ap+bq}{p^{2}+q^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {aq-bp}{p^{2}+q^{2}}}\right)^{2}}$

y por tanto expresa el cociente como suma de dos cuadrados, como se afirma.

Por otra parte, si divide , se sostiene un argumento similar utilizando la siguiente variante de la identidad de Diofanto: ${\displaystyle p^{2}+q^{2}}$ ${\displaystyle pb+aq}$

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})(q^{2}+p^{2})=(aq+bp)^{2}+(ap-bq)^{2}.}$

3. Si un número que puede escribirse como suma de dos cuadrados es divisible por un número que no es suma de dos cuadrados, entonces el cociente tiene un factor que no es suma de dos cuadrados. (Esta es la segunda proposición de Euler).

Supongamos que es un número no expresable como suma de dos cuadrados, que divide a . Escribe el cociente, factorizado en sus factores primos (posiblemente repetidos), como tal que . Si todos los factores pueden escribirse como sumas de dos cuadrados, entonces podemos dividir sucesivamente por , , etc., y aplicando el paso (2.) anterior deducimos que cada cociente sucesivo, más pequeño, es una suma de dos cuadrados. Si llegamos hasta entonces tendría que ser igual a la suma de dos cuadrados, lo cual es una contradicción. Por lo tanto, al menos uno de los primos no es la suma de dos cuadrados. ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ ${\displaystyle p_{1}p_{2}\cdots p_{n}}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=qp_{1}p_{2}\cdots p_{n}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle p_{2}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p_{i}}$

4. Si y son números enteros positivos relativamente primos, entonces cada factor de es una suma de dos cuadrados. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ (Este es el paso que utiliza el paso (3.) para producir un "descenso infinito" y fue la Proposición 4 de Euler. La prueba esbozada a continuación también incluye la prueba de su Proposición 3).

Sean números enteros positivos relativamente primos: sin pérdida de generalidad no es primo en sí mismo, de lo contrario no hay nada que demostrar. Sea , por tanto, un factor propio de , no necesariamente primo: queremos demostrar que es una suma de dos cuadrados. Nuevamente, no perdemos nada al suponer, ya que el caso es obvio. ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q>2}$ ${\displaystyle q=2=1^{2}+1^{2}}$

Sean números enteros no negativos tales que sean los múltiplos más próximos de (en valor absoluto) a, respectivamente. Nótese que las diferencias y son números enteros de valor absoluto estrictamente menores que : de hecho, cuando es par, mcd ; de lo contrario, dado que mcd , también tendríamos mcd . ${\displaystyle m,n}$ ${\displaystyle mq,nq}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle c=a-mq}$ ${\displaystyle d=b-nq}$ ${\displaystyle q/2}$ ${\displaystyle q>2}$ ${\displaystyle (a,q/2)=1}$ ${\displaystyle (a,q/2)\mid q/2\mid q\mid a^{2}+b^{2}}$ ${\displaystyle (a,q/2)\mid b}$

Multiplicando obtenemos

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=m^{2}q^{2}+2mqc+c^{2}+n^{2}q^{2}+2nqd+d^{2}=Aq+(c^{2}+d^{2})}$

definiendo de forma única un entero no negativo . Dado que divide ambos extremos de esta secuencia de ecuaciones, se deduce que también debe ser divisible por : digamos . Sea el mcd de y que por la coprimidad de es relativamente primo a . Por lo tanto , divide , por lo que escribiendo , y , obtenemos la expresión para relativamente primo y , y con , ya que ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle c^{2}+d^{2}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle c^{2}+d^{2}=qr}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle g^{2}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle e=c/g}$ ${\displaystyle f=d/g}$ ${\displaystyle s=r/g^{2}}$ ${\displaystyle e^{2}+f^{2}=qs}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s<q/2}$

${\displaystyle qs=e^{2}+f^{2}\leq c^{2}+d^{2}<\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}=q^{2}/2.}$

Ahora, finalmente, el paso descendente : si no es la suma de dos cuadrados, entonces, por el paso (3.) debe haber un factor, digamos, de que no sea la suma de dos cuadrados. Pero y, por lo tanto, repitiendo estos pasos (inicialmente con en lugar de , y así sucesivamente hasta el infinito ) podremos encontrar una secuencia infinita estrictamente decreciente de números enteros positivos que no sean en sí mismos la suma de dos cuadrados, sino que se dividan en una suma de dos cuadrados primos entre sí. Como tal descenso infinito es imposible, concluimos que debe ser expresable como una suma de dos cuadrados, como se afirma. ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q_{1}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle q_{1}\leq s<q/2<q}$ ${\displaystyle e,f;q_{1}}$ ${\displaystyle a,b;q}$ ${\displaystyle q,q_{1},q_{2},\ldots }$ ${\displaystyle q}$

5. Todo primo de la forma es suma de dos cuadrados. ${\displaystyle 4n+1}$ (Éste es el resultado principal del segundo artículo de Euler).

Si , entonces, por el pequeño teorema de Fermat, cada uno de los números es congruente con uno módulo . Por lo tanto, las diferencias son todas divisibles por . Cada una de estas diferencias se puede factorizar como ${\displaystyle p=4n+1}$ ${\displaystyle 1,2^{4n},3^{4n},\dots ,(4n)^{4n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 2^{4n}-1,3^{4n}-2^{4n},\dots ,(4n)^{4n}-(4n-1)^{4n}}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle a^{4n}-b^{4n}=\left(a^{2n}+b^{2n}\right)\left(a^{2n}-b^{2n}\right).}$

Como es primo, debe dividir uno de los dos factores. Si en cualquiera de los casos divide al primer factor, entonces por el paso anterior concluimos que es en sí misma una suma de dos cuadrados (como y difieren en , son primos entre sí). Así que es suficiente con mostrar que no siempre puede dividir el segundo factor. Si divide todas las diferencias , entonces dividiría todas las diferencias de términos sucesivos, todas las diferencias de las diferencias, y así sucesivamente. Como las ésimas diferencias de la sucesión son todas iguales a ( Diferencia finita ), las ésimas diferencias serían todas constantes e iguales a , que ciertamente no es divisible por . Por lo tanto, no puede dividir todos los segundos factores lo que demuestra que es de hecho la suma de dos cuadrados. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 4n-1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 4n-1}$ ${\displaystyle 2^{2n}-1,3^{2n}-2^{2n},\dots ,(4n)^{2n}-(4n-1)^{2n}}$ ${\displaystyle 4n-2}$ ${\displaystyle 4n-3}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 1^{k},2^{k},3^{k},\dots }$ ${\displaystyle k!}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle (2n)!}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Demostración de Lagrange mediante formas cuadráticas

Lagrange completó una demostración en 1775 ^[14] basada en su teoría general de las formas cuadráticas integrales . La siguiente presentación incorpora una ligera simplificación de su argumento, debida a Gauss , que aparece en el artículo 182 de las Disquisitiones Arithmeticae .

Una forma cuadrática (binaria integral) es una expresión de la forma con números enteros. Se dice que un número está representado por la forma si existen números enteros tales que . El teorema de Fermat sobre las sumas de dos cuadrados es entonces equivalente a la afirmación de que un primo está representado por la forma (es decir, , ) exactamente cuando es congruente con módulo . ${\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}}$ ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle n=ax^{2}+bxy+cy^{2}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle a=c=1}$ ${\displaystyle b=0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 4}$

El discriminante de la forma cuadrática se define como . El discriminante de es entonces igual a . ${\displaystyle b^{2}-4ac}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle -4}$

Dos formas y son equivalentes si y sólo si existen sustituciones con coeficientes enteros ${\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}}$ ${\displaystyle a'x'^{2}+b'x'y'+c'y'^{2}}$

${\displaystyle x=\alpha x'+\beta y'}$

${\displaystyle y=\gamma x'+\delta y'}$

con tal que, cuando se sustituye en la primera forma, se obtiene la segunda. Se ve fácilmente que las formas equivalentes tienen el mismo discriminante y, por lo tanto, también la misma paridad para el coeficiente medio , que coincide con la paridad del discriminante. Además, está claro que las formas equivalentes representarán exactamente los mismos números enteros, porque este tipo de sustituciones se pueden revertir mediante sustituciones del mismo tipo. ${\displaystyle \alpha \delta -\beta \gamma =\pm 1}$ ${\displaystyle b}$

Lagrange demostró que todas las formas definidas positivas del discriminante −4 son equivalentes. Por lo tanto, para demostrar el teorema de Fermat es suficiente encontrar cualquier forma definida positiva del discriminante −4 que represente . Por ejemplo, se puede utilizar una forma ${\displaystyle p}$

${\displaystyle px^{2}+2mxy+\left({\frac {m^{2}+1}{p}}\right)y^{2},}$

donde el primer coeficiente a  =  se eligió de modo que la forma represente al establecer x  = 1 e y  = 0, el coeficiente b  = 2 m es un número par arbitrario (como debe ser, para obtener un discriminante par), y finalmente se elige de modo que el discriminante sea igual a −4, lo que garantiza que la forma es de hecho equivalente a . Por supuesto, el coeficiente debe ser un entero, por lo que el problema se reduce a encontrar algún entero m tal que divida a : o en otras palabras, una 'raíz cuadrada de -1 módulo ' . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle c={\frac {m^{2}+1}{p}}}$ ${\displaystyle b^{2}-4ac=4m^{2}-4pc}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle c={\frac {m^{2}+1}{p}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle m^{2}+1}$ ${\displaystyle p}$

Afirmamos que dicha raíz cuadrada de está dada por . En primer lugar, se sigue del Teorema Fundamental de la Aritmética de Euclides que . En consecuencia, : es decir, son sus propios inversos módulo y esta propiedad es única para ellos. Luego se sigue de la validez de la división euclidiana en los números enteros, y del hecho de que es primo, que para cada mcd de y puede expresarse mediante el algoritmo euclidiano produciendo un inverso único y distinto de módulo . En particular, por lo tanto, el producto de todos los residuos no nulos módulo es . Sea : de lo que se acaba de observar, . Pero por definición, dado que cada término en puede emparejarse con su negativo en , , que dado que es impar muestra que , como se requiere. ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle K=\prod _{k=1}^{\frac {p-1}{2}}k}$ ${\displaystyle ab\equiv 0{\pmod {p}}\iff a\equiv 0{\pmod {p}}\ \ {\hbox{or}}\ \ b\equiv 0{\pmod {p}}}$ ${\displaystyle a^{2}\equiv 1{\pmod {p}}\iff a\equiv \pm 1{\pmod {p}}}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 2\leq a\leq p-2}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a^{-1}\neq a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle L=\prod _{l={\frac {p+1}{2}}}^{p-1}l}$ ${\displaystyle KL\equiv -1{\pmod {p}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L=(-1)^{\frac {p-1}{2}}K}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle K^{2}\equiv -1{\pmod {p}}\iff p\equiv 1{\pmod {4}}}$

Dos demostraciones de Dedekind usando números enteros gaussianos

Richard Dedekind dio al menos dos demostraciones del teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados, ambas usando las propiedades aritméticas de los números enteros gaussianos , que son números de la forma a + bi , donde a y b son números enteros, e i es la raíz cuadrada de −1. Una aparece en la sección 27 de su exposición de ideales publicada en 1877; la segunda apareció en el Suplemento XI de Vorlesungen über Zahlentheorie de Peter Gustav Lejeune Dirichlet , y fue publicada en 1894.

1. Primera demostración. Si p es un número primo impar , entonces tenemos en los enteros gaussianos. En consecuencia, escribiendo un entero gaussiano ω = x + iy con x,y ∈ Z y aplicando el automorfismo de Frobenius en Z [ i ]/( p ), se encuentra ${\displaystyle i^{p-1}=(-1)^{\frac {p-1}{2}}}$

${\displaystyle \omega ^{p}=(x+yi)^{p}\equiv x^{p}+y^{p}i^{p}\equiv x+(-1)^{\frac {p-1}{2}}yi{\pmod {p}},}$

ya que el automorfismo fija los elementos de Z /( p ). En el caso actual, para algún entero n, y por lo tanto en la expresión anterior para ω ^p , el exponente ⁠ ⁠ de −1 es par. Por lo tanto, el lado derecho es igual a ω, por lo que en este caso el endomorfismo de Frobenius de Z [ i ]/( p ) es la identidad. ${\displaystyle p=4n+1}$ ${\displaystyle (p-1)/2}$

Kummer ya había establecido que si f ∈ {1,2} es el orden del automorfismo de Frobenius de Z [ i ]/( p ), entonces el ideal en Z [ i ] sería un producto de 2/ f ideales primos distintos . (De hecho, Kummer había establecido un resultado mucho más general para cualquier extensión de Z obtenida mediante la adición de una raíz primitiva m -ésima de la unidad , donde m era cualquier entero positivo; este es el caso m = 4 de ese resultado.) Por lo tanto, el ideal ( p ) es el producto de dos ideales primos diferentes en Z [ i ]. Como los enteros gaussianos son un dominio euclidiano para la función norma , todo ideal es principal y generado por un elemento distinto de cero del ideal de norma mínima. Como la norma es multiplicativa, la norma de un generador de uno de los factores ideales de ( p ) debe ser un divisor estricto de , de modo que debemos tener , lo que da el teorema de Fermat. ${\displaystyle (p)}$ ${\displaystyle N(x+iy)=x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle N(p)=p^{2}}$ ${\displaystyle p=N(\alpha )=N(a+bi)=a^{2}+b^{2}}$

2. Segunda prueba. Esta prueba se basa en el resultado de Lagrange de que si es un número primo, entonces debe haber un entero m tal que sea divisible por p (también podemos ver esto por el criterio de Euler ); también utiliza el hecho de que los enteros gaussianos son un dominio de factorización único (porque son un dominio euclidiano). Como p ∈ Z no divide a ninguno de los enteros gaussianos y (como no divide sus partes imaginarias ), pero sí divide su producto , se sigue que p no puede ser un elemento primo en los enteros gaussianos. Por lo tanto, debemos tener una factorización no trivial de p en los enteros gaussianos, que en vista de la norma solo puede tener dos factores (ya que la norma es multiplicativa, y , solo puede haber hasta dos factores de p), por lo que debe ser de la forma para algunos enteros x e y . Esto produce inmediatamente que . ${\displaystyle p=4n+1}$ ${\displaystyle m^{2}+1}$ ${\displaystyle m+i}$ ${\displaystyle m-i}$ ${\displaystyle m^{2}+1}$ ${\displaystyle p^{2}=N(p)}$ ${\displaystyle p=(x+yi)(x-yi)}$ ${\displaystyle p=x^{2}+y^{2}}$

Demostración mediante el teorema de Minkowski

Para que sea congruente con un primo, es un residuo cuadrático mod según el criterio de Euler . Por lo tanto, existe un entero tal que divide a . Sean los elementos de la base estándar para el espacio vectorial y el conjunto y . Consideremos la red . Si entonces . Por lo tanto, divide para cualquier . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle m^{2}+1}$ ${\displaystyle {\hat {i}},{\hat {j}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle {\vec {u}}={\hat {i}}+m{\hat {j}}}$ ${\displaystyle {\vec {v}}=0{\hat {i}}+p{\hat {j}}}$ ${\displaystyle S=\{a{\vec {u}}+b{\vec {v}}\mid a,b\in \mathbb {Z} \}}$ ${\displaystyle {\vec {w}}=a{\vec {u}}+b{\vec {v}}=a{\hat {i}}+(am+bp){\hat {j}}\in S}$ ${\displaystyle \|{\vec {w}}\|^{2}\equiv a^{2}+(am+bp)^{2}\equiv a^{2}(1+m^{2})\equiv 0{\pmod {p}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \|{\vec {w}}\|^{2}}$ ${\displaystyle {\vec {w}}\in S}$

El área del paralelogramo fundamental de la red es . El área del disco abierto, , de radio centrado alrededor del origen es . Además, es convexo y simétrico respecto del origen. Por lo tanto, por el teorema de Minkowski existe un vector distinto de cero tal que . Tanto y por lo tanto . Por lo tanto es la suma de los cuadrados de los componentes de . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\sqrt {2p}}}$ ${\displaystyle 2\pi p>4p}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\vec {w}}\in S}$ ${\displaystyle {\vec {w}}\in D}$ ${\displaystyle \|{\vec {w}}\|^{2}<2p}$ ${\displaystyle p\mid \|{\vec {w}}\|^{2}}$ ${\displaystyle p=\|{\vec {w}}\|^{2}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\vec {w}}}$

La "prueba de una sola frase" de Zagier

Sea primo, denotemos los números naturales (con o sin cero) y consideremos el conjunto finito de ternas de números. Entonces tiene dos involuciones : una obvia cuyos puntos fijos corresponden a representaciones de como suma de dos cuadrados, y una más complicada, ${\displaystyle p=4k+1}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle S=\{(x,y,z)\in \mathbb {N} ^{3}:x^{2}+4yz=p\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (x,y,z)\mapsto (x,z,y)}$ ${\displaystyle (x,y,y)}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle (x,y,z)\mapsto {\begin{cases}(x+2z,~z,~y-x-z),\quad {\textrm {if}}\,\,\,x<y-z\\(2y-x,~y,~x-y+z),\quad {\textrm {if}}\,\,\,y-z<x<2y\\(x-2y,~x-y+z,~y),\quad {\textrm {if}}\,\,\,x>2y\end{cases}}}$

que tiene exactamente un punto fijo . Esto demuestra que la cardinalidad de es impar. Por lo tanto, también tiene un punto fijo con respecto a la involución obvia. ${\displaystyle (1,1,k)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Esta demostración, debida a Zagier , es una simplificación de una demostración anterior de Heath-Brown , que a su vez se inspiró en una demostración de Liouville . La técnica de la demostración es un análogo combinatorio del principio topológico de que las características de Euler de un espacio topológico con una involución y de su conjunto de punto fijo tienen la misma paridad y recuerda el uso de involuciones con inversión de signo en las demostraciones de biyecciones combinatorias.

Esta prueba es equivalente a una prueba geométrica o "visual" que utiliza figuras de "molinos de viento", dada por Alexander Spivak en 2006 y descrita en esta publicación de MathOverflow de Moritz Firsching y este video de YouTube de Mathologer .

Demostración con teoría de particiones

En 2016, A. David Christopher dio una prueba teórica de particiones al considerar particiones del primo impar que tienen exactamente dos tamaños , cada uno de los cuales ocurre exactamente veces, y al mostrar que al menos una de esas particiones existe si es congruente con 1 módulo 4. ^[15] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{i}(i=1,2)}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle n}$

Véase también

• Teorema de los tres cuadrados de Legendre
• Teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange
• Constante de Landau-Ramanujan
• Lema de Thue
• Teorema de Friedlander-Iwaniec

Referencias

• DA Cox (1989). Primos de la forma x2 ⁺  ny2 ^. Wiley-Interscience. ISBN 0-471-50654-0.*Richard Dedekind, La teoría de los números enteros algebraicos .
• LE Dickson . Historia de la teoría de los números, vol. 2. Chelsea Publishing Co., Nueva York, 1920
• Harold M. Edwards , El último teorema de Fermat. Una introducción genética a la teoría algebraica de números . Textos de posgrado en matemáticas n.º 50, Springer-Verlag, Nueva York, 1977.
• CF Gauss, Disquisitiones Arithmeticae (edición inglesa). Traducción de Arthur A. Clarke. Springer-Verlag, 1986.
• Goldman, Jay R. (1998), La reina de las matemáticas: una guía motivada históricamente para la teoría de números , AK Peters , ISBN 1-56881-006-7
• DR Heath-Brown, Teorema de los dos cuadrados de Fermat . Invariant, 11 (1984) págs. 3-5.
• John Stillwell , Introducción a la teoría de los números enteros algebraicos de Richard Dedekind. Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, 1996. ISBN 0-521-56518-9 
• Don Zagier , Una prueba en una sola oración de que todo primo p ≡ 1 mod 4 es una suma de dos cuadrados . Amer. Math. Monthly 97 (1990), n.º 2, 144, doi :10.2307/2323918

Notas

1. Para una demostración del inverso, véase, por ejemplo, 20.1, Teoremas 367 y 368, en: GH Hardy y EM Wright. An introduction to the theory of numbers, Oxford 1938.
2. Simón Stevin . l'Arithmétique de Simon Stevin de Bruges, anotado por Albert Girard, Leyde 1625, p. 622.
3. LE Dickson, Historia de la teoría de los números, vol. II, cap. VI, pág. 227. "A. Girard... ya había hecho una determinación de los números expresables como suma de dos cuadrados enteros: cada cuadrado, cada primo 4n+1, un producto formado por tales números, y el doble de los anteriores"
4. LE Dickson, Historia de la teoría de los números, vol. II, cap. VI, pág. 228.
5. Wagon, Stan (1990), "El rincón del editor: El algoritmo euclidiano ataca de nuevo", American Mathematical Monthly , 97 (2): 125, doi :10.2307/2323912, MR  1041889.
6. De numeris qui sunt aggregata duorum quadratorum. (Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 4 (1752/3), 1758, 3-40)
7. Demonstratio theorematis FERMATIANI omnem numerum primum formae 4n + 1 esse summam duorum quadratorum. (Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 5 (1754/5), 1760, 3-13)
8. Zagier, D. (1990), "Una prueba de una oración de que cada primo p  ≡ 1 (mod 4) es una suma de dos cuadrados", American Mathematical Monthly , 97 (2): 144, doi :10.2307/2323918, MR  1041893.
9. A. David Christopher. "Una prueba basada en la teoría de particiones del teorema de los dos cuadrados de Fermat", Discrete Mathematics 339 :4:1410–1411 (6 de abril de 2016) doi :10.1016/j.disc.2015.12.002
10. Euler à Goldbach, letra CXXV
11. De numeris qui sunt aggregata duorum quadratorum. (Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 4 (1752/3), 1758, 3-40) [1]
12. Demonstratio theorematis FERMATIANI omnem numerum primum formae 4n + 1 esse summam duorum quadratorum. (Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 5 (1754/5), 1760, 3-13) [2]
13. El resumen se basa en el libro de Edwards, páginas 45-48.
14. Nuevo. Mém. Acad. Berlín, año 1771, 125; ibídem. año 1773, 275; ibid año 1775, 351.
15. A. David Christopher, Una prueba de teoría de particiones del teorema de los dos cuadrados de Fermat", Matemáticas discretas, 339 (2016) 1410–1411.

Enlaces externos

• Dos pruebas más en PlanetMath.org
• "Demostración del teorema en una sola oración". Archivado desde el original el 5 de febrero de 2012.{{cite web}}: CS1 maint: unfit URL (link)
• Teorema de los dos cuadrados de Fermat, DR Heath-Brown, 1984.
• Polster, Burkard (2019) "Teorema de Navidad de Fermat: Visualización del círculo oculto en π/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + ..." (Vídeo). Matólogo .