En matemáticas , una prueba por descendencia infinita , también conocida como método de descendencia de Fermat, es un tipo particular de prueba por contradicción [1] que se utiliza para mostrar que un enunciado no puede ser válido para ningún número, al mostrar que si el enunciado fuera válido para un número, entonces lo mismo sería cierto para un número más pequeño, lo que llevaría a un descenso infinito y, en última instancia, a una contradicción. [2] Es un método que se basa en el principio de buen ordenamiento y se utiliza a menudo para mostrar que una ecuación dada, como una ecuación diofántica , no tiene soluciones. [3] [4]
Normalmente, se muestra que si existiera una solución a un problema, que en algún sentido estuviera relacionada con uno o más números naturales , necesariamente implicaría que existía una segunda solución, que estuviera relacionada con uno o más números naturales "más pequeños". Esto, a su vez, implicaría una tercera solución relacionada con números naturales más pequeños, lo que implicaría una cuarta solución, por lo tanto una quinta solución, y así sucesivamente. Sin embargo, no puede haber una infinidad de números naturales cada vez más pequeños y, por lo tanto, por inducción matemática , la premisa original (que existe cualquier solución) es incorrecta: su corrección produce una contradicción .
Una forma alternativa de expresar esto es asumir que existen una o más soluciones o ejemplos, de los cuales se puede inferir una solución o ejemplo más pequeño (un contraejemplo mínimo ). Una vez allí, se intentaría demostrar que si existe una solución más pequeña, entonces debe implicar la existencia de una solución más pequeña (en algún sentido), lo que demuestra nuevamente que la existencia de cualquier solución llevaría a una contradicción.
Los primeros usos del método del descenso infinito aparecen en los Elementos de Euclides . [3] Un ejemplo típico es la Proposición 31 del Libro 7, en la que Euclides demuestra que todo número entero compuesto se divide (en la terminología de Euclides, "se mide") por algún número primo. [2]
El método fue desarrollado mucho más tarde por Fermat , quien acuñó el término y lo utilizó a menudo para ecuaciones diofánticas . [4] [5] Dos ejemplos típicos muestran la no solubilidad de la ecuación diofántica y demuestran el teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados , que establece que un primo impar p se puede expresar como una suma de dos cuadrados cuando (ver Aritmética modular y prueba por descenso infinito ). De esta manera Fermat pudo demostrar la inexistencia de soluciones en muchos casos de ecuaciones diofánticas de interés clásico (por ejemplo, el problema de los cuatro cuadrados perfectos en progresión aritmética ).
En algunos casos, para el ojo moderno, su "método de descenso infinito" es una explotación de la inversión de la función de duplicación para puntos racionales en una curva elíptica E. El contexto es de un punto racional hipotético no trivial en E . Duplicar un punto en E aproximadamente duplica la longitud de los números necesarios para escribirlo (como número de dígitos), de modo que "reducir a la mitad" un punto da un racional con términos más pequeños. Como los términos son positivos, no pueden disminuir para siempre.
En la teoría de números del siglo XX, el método del descenso infinito fue retomado y llevado hasta un punto en el que se conectó con el impulso principal de la teoría algebraica de números y el estudio de las funciones L. El resultado estructural de Mordell , que los puntos racionales en una curva elíptica E forman un grupo abeliano generado finitamente , utilizó un argumento de descenso infinito basado en E /2 E en el estilo de Fermat.
Para extender esto al caso de una variedad abeliana A , André Weil tuvo que hacer más explícita la forma de cuantificar el tamaño de una solución, mediante una función de altura , concepto que se convirtió en fundacional. Para demostrar que A ( Q )/2 A ( Q ) es finito, lo que ciertamente es una condición necesaria para la generación finita del grupo A ( Q ) de puntos racionales de A , hay que hacer cálculos en lo que más tarde se reconoció como Galois. cohomología . De esta manera, los grupos de cohomología definidos de manera abstracta en la teoría se identifican con descendientes en la tradición de Fermat. El teorema de Mordell-Weil fue el comienzo de lo que más tarde se convirtió en una teoría muy extensa.
La prueba de que la raíz cuadrada de 2 ( √ 2 ) es irracional (es decir, no puede expresarse como una fracción de dos números enteros) fue descubierta por los antiguos griegos y es quizás el ejemplo más antiguo conocido de una prueba por descendencia infinita. Los pitagóricos descubrieron que la diagonal de un cuadrado es inconmensurable con su lado, o en lenguaje moderno, que la raíz cuadrada de dos es irracional . Poco se sabe con certeza sobre el momento o las circunstancias de este descubrimiento, pero el nombre de Hippasus de Metapontum se menciona a menudo. Durante un tiempo, los pitagóricos trataron como un secreto oficial el descubrimiento de que la raíz cuadrada de dos es irracional y, según la leyenda, Hipaso fue asesinado por divulgarlo. [6] [7] [8] La raíz cuadrada de dos se denomina ocasionalmente "número de Pitágoras" o "constante de Pitágoras", por ejemplo, Conway y Guy (1996). [9]
Los antiguos griegos , al no tener álgebra , elaboraron una prueba geométrica por descendencia infinita ( John Horton Conway presentó otra prueba geométrica por descendencia infinita que puede ser más accesible [10] ). La siguiente es una prueba algebraica similar:
Supongamos que √ 2 fuera racional . Entonces podría escribirse como
para dos números naturales, p y q . Entonces elevar al cuadrado daría
entonces 2 debe dividir p 2 . Debido a que 2 es un número primo , también debe dividir p por el lema de Euclides . Entonces p = 2 r , para algún número entero r .
Pero entonces,
lo que muestra que 2 debe dividir a q también. Entonces q = 2 s para algún número entero s .
Esto da
Por lo tanto, si √ 2 pudiera escribirse como un número racional, entonces siempre podría escribirse como un número racional con partes más pequeñas, que a su vez podría escribirse con partes aún más pequeñas, ad infinitum . Pero esto es imposible en el conjunto de los números naturales . Dado que √ 2 es un número real , que puede ser racional o irracional, la única opción que queda es que √ 2 sea irracional. [11]
(Alternativamente, esto prueba que si √ 2 fuera racional, no podría existir ninguna representación "más pequeña" como fracción, ya que cualquier intento de encontrar una representación "más pequeña" p / q implicaría que existiera una más pequeña, lo cual es una contradicción similar. )
Para un entero positivo k , supongamos que √ k no es un número entero, pero es racional y se puede expresar comometro/nortepara números naturales m y n , y sea q el entero más grande menor que √ k (es decir, q es el piso de √ k ). Entonces
El numerador y el denominador se multiplicaron por la expresión ( √ k − q ), que es positiva pero menor que 1, y luego se simplificaron de forma independiente. Entonces, los productos resultantes, digamos m′ y n′ , son en sí mismos números enteros y son menores que myn respectivamente . Por lo tanto, no importa qué números naturales m y n se usen para expresar √ k , existen números naturales más pequeños m′ < my n ′ < n que tienen la misma proporción. Pero el descenso infinito de los números naturales es imposible, por lo que esto refuta la suposición original de que √ k podría expresarse como una razón de números naturales. [12]
La no solubilidad de los números enteros es suficiente para demostrar la no solubilidad de los números enteros, que es un caso especial del último teorema de Fermat , y las pruebas históricas de este último procedieron demostrando más ampliamente el primero utilizando descendencia infinita. La siguiente prueba más reciente demuestra ambas imposibilidades al demostrar aún más ampliamente que un triángulo pitagórico no puede tener dos de sus lados, cada uno de ellos un cuadrado o dos veces un cuadrado, ya que no existe tal triángulo más pequeño: [13]
Supongamos que existe tal triángulo pitagórico. Luego se puede reducir para obtener un triángulo pitagórico primitivo (es decir, sin factores comunes distintos de 1) con la misma propiedad. Los lados de los triángulos pitagóricos primitivos se pueden escribir como , con a y b relativamente primos y con a+b impar y, por lo tanto, y y z son ambos impares. La propiedad de que y y z son impares significa que ni y ni z pueden ser dos veces un cuadrado. Además, si x es un cuadrado o dos veces un cuadrado, entonces cada uno de a y b es un cuadrado o dos veces un cuadrado. Hay tres casos, dependiendo de qué dos lados se postulan para ser cada uno un cuadrado o dos veces un cuadrado:
En cualquiera de estos casos, un triángulo pitagórico con dos lados cada uno de los cuales es un cuadrado o dos veces un cuadrado ha dado lugar a uno más pequeño, que a su vez daría lugar a uno más pequeño, etc.; dado que tal secuencia no puede continuar infinitamente, la premisa original de que tal triángulo existe debe ser errónea.
Esto implica que las ecuaciones
no puede tener soluciones no triviales, ya que las soluciones no triviales darían triángulos pitagóricos con dos lados cuadrados.
Para otras demostraciones similares por descenso infinito para el caso n = 4 del teorema de Fermat, véanse los artículos de Grant y Perella [14] y Barbara. [15]
un caso especial de prueba por contradicción llamado método de descenso infinito
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {k}}&={\frac {m}{n}}\\[6pt]&={\frac {m\left({\sqrt {k}} -q\right)}{n\left({\sqrt {k}}-q\right)}}\\[6pt]&={\frac {m{\sqrt {k}}-mq}{n{ \sqrt {k}}-nq}}\\[6pt]&={\frac {\left(n{\sqrt {k}}\right){\sqrt {k}}-mq}{n\left( {\frac {m}{n}}\right)-nq}}\\[6pt]&={\frac {nk-mq}{m-nq}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54d3c9a8cf5d66a50ce241b98508948a97207d17)
