Forma cuadrática

En matemáticas , una forma cuadrática es un polinomio con términos todos de grado dos (" forma " es otro nombre para un polinomio homogéneo ). Por ejemplo,

4x^{2}+2xy-3y^{2}

es una forma cuadrática en las variables $x$ e $y$ . Los coeficientes suelen pertenecer a un cuerpo fijo $K$ , como los números reales o complejos , y se habla de forma cuadrática sobre $K$ . Si $K = R$ , y la forma cuadrática es igual a cero sólo cuando todas las variables son simultáneamente cero, entonces es una forma cuadrática definida ; de lo contrario es una forma cuadrática isotrópica .

Las formas cuadráticas ocupan un lugar central en varias ramas de las matemáticas, incluida la teoría de números , el álgebra lineal , la teoría de grupos ( grupos ortogonales ), la geometría diferencial (la métrica de Riemann , la segunda forma fundamental ), la topología diferencial ( formas de intersección de variedades , especialmente de cuatro variedades ), teoría de la mentira (la forma Killing ) y estadística (donde el exponente de una distribución normal multivariada de media cero tiene la forma cuadrática ) $-\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\mathbf {x}$

Las formas cuadráticas no deben confundirse con una ecuación cuadrática , que tiene una sola variable e incluye términos de grado dos o menos. Una forma cuadrática es un caso del concepto más general de polinomios homogéneos .

Introducción

Las formas cuadráticas son polinomios cuadráticos homogéneos en $n$ variables. En los casos de una, dos y tres variables se denominan unaria , binaria y ternaria y tienen la siguiente forma explícita:

{\begin{alineado}q(x)&=ax^{2}&&{\textrm {(unario)}}\\q(x,y)&=ax^{2}+bxy+cy^ {2}&&{\textrm {(binario)}}\\q(x,y,z)&=ax^{2}+bxy+cy^{2}+dyz+ez^{2}+fxz&&{\ textrm {(ternario)}}\end{aligned}}

donde $a$ , ..., $f$ son los coeficientes . ^[1]

La teoría de las formas cuadráticas y los métodos utilizados en su estudio dependen en gran medida de la naturaleza de los coeficientes, que pueden ser números reales o complejos , números racionales o enteros . En álgebra lineal , geometría analítica y en la mayoría de aplicaciones de formas cuadráticas, los coeficientes son números reales o complejos. En la teoría algebraica de formas cuadráticas, los coeficientes son elementos de un determinado campo . En la teoría aritmética de formas cuadráticas, los coeficientes pertenecen a un anillo conmutativo fijo , frecuentemente los números enteros $Z$ o los enteros p $-ádicos Z p$ . ^[2] Las formas cuadráticas binarias han sido ampliamente estudiadas en teoría de números , en particular, en la teoría de campos cuadráticos , fracciones continuas y formas modulares . La teoría de formas cuadráticas integrales en $n$ variables tiene importantes aplicaciones en la topología algebraica .

Usando coordenadas homogéneas , una forma cuadrática distinta de cero en $n$ variables define una cuádrica $(n - 2)$ dimensional en el espacio proyectivo $($ $n$ $- 1)$ dimensional . Esta es una construcción básica en geometría proyectiva . De esta manera se pueden visualizar formas cuadráticas reales tridimensionales como secciones cónicas . Un ejemplo lo dan el espacio euclidiano tridimensional y el cuadrado de la norma euclidiana que expresa la distancia entre un punto con coordenadas $($ $x$ $,$ $y$ $,$ $z$ $)$ y el origen:

q(x,y,z)=d((x,y,z),(0,0,0))^{2}=\left\|(x,y,z)\right\| ^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}.

Una noción estrechamente relacionada con matices geométricos es la de espacio cuadrático , que es un par $(V, q)$ , siendo $V$ un espacio vectorial sobre un campo $K$ , y $q : V \to K$ una forma cuadrática en V. Consulte las § Definiciones a continuación para conocer la definición de una forma cuadrática en un espacio vectorial.

Historia

El estudio de las formas cuadráticas, en particular la cuestión de si un número entero dado puede ser el valor de una forma cuadrática sobre los números enteros, se remonta a muchos siglos. Uno de esos casos es el teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados , que determina cuándo un número entero puede expresarse en la forma $x 2 + y 2$ , donde $x$ , $y$ son números enteros. Este problema está relacionado con el problema de encontrar ternas pitagóricas , que apareció en el segundo milenio a.C. ^[3]

En 628, el matemático indio Brahmagupta escribió Brāhmasphuṭasiddhānta , que incluye, entre muchas otras cosas, un estudio de ecuaciones de la forma $x 2 - ny 2 = c$ . Consideró lo que ahora se llama ecuación de Pell , $x 2 - ny 2 = 1$ , y encontró un método para su solución. ^[4] En Europa este problema fue estudiado por Brouncker , Euler y Lagrange .

En 1801 Gauss publicó Disquisitiones Arithmeticae , una parte importante de la cual estaba dedicada a una teoría completa de las formas cuadráticas binarias sobre los números enteros . Desde entonces, el concepto se ha generalizado y se han aclarado aún más las conexiones con los cuerpos numéricos cuadráticos , el grupo modular y otras áreas de las matemáticas.

Matriz simétrica asociada

Cualquier matriz $A de$ $n \times n$ determina una forma cuadrática $q$ $A$ en $n$ variables por

q_{A}(x_{1},\ldots,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij} {x_{i}}{x_{j}}=\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {x} ,

A = (a ij)

Ejemplo

Considere el caso de formas cuadráticas en tres variables $x, y, z$ . La matriz $A$ tiene la forma

A={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&k\end{bmatrix}}.

La fórmula anterior da

q_{A}(x,y,z)=ax^{2}+ey^{2}+kz^{2}+(b+d)xy+(c+g)xz+(f+h) yz.

Entonces, dos matrices diferentes definen la misma forma cuadrática si y solo si tienen los mismos elementos en la diagonal y los mismos valores para las sumas $b + d$ , $c + g$ y $f + h$ . En particular, la forma cuadrática $q A$ está definida por una matriz simétrica única

A={\begin{bmatrix}a&{\frac {b+d}{2}}&{\frac {c+g}{2}}\\{\frac {b+d}{2}}&e&{\frac {f+h}{2}}\\{\frac {c+g}{2}}&{\frac {f+h}{2}}&k\end{bmatrix}}.

Esto se generaliza a cualquier número de variables de la siguiente manera.

Caso general

Dada una forma cuadrática $q A$ , definida por la matriz $A = (a ij)$ , la matriz

B=\left({\frac {a_{ij}+a_{ji}}{2}}\right)

simétrica

A

q A.

Así, sobre los números reales (y, más generalmente, sobre un campo de característica diferente de dos), existe una correspondencia uno a uno entre las formas cuadráticas y las matrices simétricas que las determinan.

Formas cuadráticas reales

Un problema fundamental es la clasificación de formas cuadráticas reales bajo un cambio lineal de variables .

Jacobi demostró que, para toda forma cuadrática real, existe una diagonalización ortogonal ; es decir, un cambio ortogonal de variables que pone la forma cuadrática en una " forma diagonal "

\lambda _{1}{\tilde {x}}_{1}^{2}+\lambda _{2}{\tilde {x}}_{2}^{2}+\cdots +\lambda _{n}{\tilde {x}}_{n}^{2},

diagonal

λ 1, λ 2, ..., λ n

hasta permutación^[5]

Si el cambio de variables viene dado por una matriz invertible que no es necesariamente ortogonal, se puede suponer que todos los coeficientes $λ i$ son 0, 1 o −1. La ley de inercia de Sylvester establece que los números de cada 0, 1 y −1 son invariantes de la forma cuadrática, en el sentido de que cualquier otra diagonalización contendrá el mismo número de cada uno. La firma de la forma cuadrática es la tripleta $(n 0, n +, n -)$ , donde estos componentes cuentan el número de ceros, el número de unos y el número de −1, respectivamente. La ley de inercia de Sylvester muestra que se trata de una cantidad bien definida adjunta a la forma cuadrática.

El caso en el que todos $los λ i$ tienen el mismo signo es especialmente importante: en este caso la forma cuadrática se llama definida positiva (todos 1) o definida negativa (todos −1). Si ninguno de los términos es 0, entonces la forma se llamano degenerado ; esto incluye la forma cuadrática positiva definida, negativa definida yisotrópica(una mezcla de 1 y −1); de manera equivalente, una forma cuadrática no degenerada es aquella cuya forma simétrica asociada es unaforma bilineal no degenerada. Un espacio vectorial real con una forma cuadrática indefinida no degenerada de índice $(p, q)$ (que denota $p$ 1s y $q$ −1s) a menudo se denota como $R p, q$ particularmente en la teoría física delespacio-tiempo.

El discriminante de una forma cuadrática , concretamente la clase del determinante de una matriz representativa en $K / (K \times) 2$ (hasta cuadrados distintos de cero), también se puede definir, y para una forma cuadrática real es un invariante más crudo que la firma. , tomando valores de sólo "positivo, cero o negativo". Cero corresponde a degenerada, mientras que para una forma no degenerada es la paridad del número de coeficientes negativos, $(-1) n -$ .

Estos resultados se reformulan de manera diferente a continuación.

Sea $q$ una forma cuadrática definida en un espacio vectorial real de $n$ dimensiones . Sea $A$ la matriz de la forma cuadrática $q$ en una base dada. Esto significa que $A$ es una matriz simétrica $n$ $\times$ $n$ tal que

q(v)=x^{\mathsf {T}}Ax,

v

x

matriz invertible

S de

n \times n

A

B

A\to B=S^{\mathsf {T}}AS.

Cualquier matriz simétrica $A$ se puede transformar en una matriz diagonal.

B={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &0\\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{pmatrix}}

S

B

S

B

n 0

n +

n -

A

la

n +

n-

índices de inercia positivosnegativos

A

q

La forma cuadrática $q$ es definida positiva si $q (v) > 0$ (de manera similar, definida negativa si $q (v) < 0$ ) para cada vector $v$ distinto de cero . ^[6] Cuando $q (v)$ asume valores tanto positivos como negativos, $q$ es una forma cuadrática isotrópica . Los teoremas de Jacobi y Sylvester muestran que cualquier forma cuadrática definida positiva en $n$ variables puede llevarse a la suma de $n$ cuadrados mediante una transformación lineal invertible adecuada: geométricamente, sólo hay una forma cuadrática real definida positiva de cada dimensión. Su grupo de isometría es un grupo ortogonal compacto $O (n)$ . Esto contrasta con el caso de las formas isotrópicas, cuando el grupo correspondiente, el grupo ortogonal indefinido $O (p, q)$ , no es compacto. Además, los grupos de isometría de $Q$ y $- Q$ son los mismos ( $O(p, q) \approx O(q, p))$ , pero las álgebras de Clifford asociadas (y por tanto los grupos de pines ) son diferentes.

Definiciones

Una forma cuadrática sobre un campo $K$ es una aplicación $q : V \to K$ desde un espacio vectorial $K$ de dimensión finita a $K$ tal que $q (av) = a 2 q (v)$ para todo $a \in K$ , $v \in V$ y el la función $q (u + v) - q (u) - q (v)$ es bilineal.

Más concretamente, una forma cuadrática $n$ -aria sobre un campo $K$ es un polinomio homogéneo de grado 2 en $n$ variables con coeficientes en $K$ :

q(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{x_{i}}{x_{j}},\quad a_{ij}\in K.

Esta fórmula se puede reescribir usando matrices: sea $x$ el vector columna con componentes $x 1$ , ..., $x n$ y $A = (a ij)$ sea la matriz $n \times n sobre$ $K$ cuyas entradas son los coeficientes de $q$ . Entonces

q(x)=x^{\mathsf {T}}Ax.

Un vector $v = (x 1, ..., x n)$ es un vector nulo si $q (v) = 0$ .

Dos formas cuadráticas $n -arias$ $φ$ y $ψ$ sobre $K$ son equivalentes si existe una transformación lineal no singular $C \in GL (n, K)$ tal que

\psi (x)=\varphi (Cx).

Sea la característica de $K$ diferente de 2. ^[7] La matriz de coeficientes $A$ de $q$ puede ser reemplazada por la matriz simétrica $(A + A T)/2$ con la misma forma cuadrática, por lo que se puede suponer desde el principio que $A$ es simétrico. Además, una matriz simétrica $A$ está determinada únicamente por la forma cuadrática correspondiente. Bajo una equivalencia $C$ , la matriz simétrica $A$ de $φ$ y la matriz simétrica $B$ de $ψ$ se relacionan de la siguiente manera:

B=C^{\mathsf {T}}AC.

La forma bilineal asociada de una forma cuadrática $q$ está definida por

b_{q}(x,y)={\tfrac {1}{2}}(q(x+y)-q(x)-q(y))=x^{\mathsf {T}}Ay=y^{\mathsf {T}}Ax.

Por tanto, $b q$ es una forma bilineal simétrica sobre $K$ con matriz $A.$ Por el contrario, cualquier forma bilineal simétrica $b$ define una forma cuadrática

q(x)=b(x,x),

n

Espacio cuadrático

Dado un espacio vectorial de $n$ dimensiones $V$ sobre un campo $K$ , una forma cuadrática en $V$ es una función $Q$ $:$ $V$ $\to$ $K$ que tiene la siguiente propiedad: para alguna base, la función $q$ que asigna las coordenadas de $v$ $\in$ $V$ a $Q$ $($ $v$ $)$ es una forma cuadrática. En particular, si $V$ $=$ $K$ $n$ con su base estándar , se tiene

q(v_{1},\ldots ,v_{n})=Q([v_{1},\ldots ,v_{n}])\quad {\text{for}}\quad [v_{1},\ldots ,v_{n}]\in K^{n}.

Las fórmulas de cambio de base muestran que la propiedad de ser una forma cuadrática no depende de la elección de una base específica en $V$ , aunque la forma cuadrática $q$ depende de la elección de la base.

Un espacio vectorial de dimensión finita con forma cuadrática se llama espacio cuadrático .

La aplicación $Q$ es una función homogénea de grado 2, lo que significa que tiene la propiedad de que, para todo $a$ en $K$ y $v$ en $V$ :

Q(av)=a^{2}Q(v).

Cuando la característica de $K$ no es 2, se define el mapa bilineal $B : V \times V \to K$ sobre $K :$

B(v,w)={\tfrac {1}{2}}(Q(v+w)-Q(v)-Q(w)).

B

B (x, y) = B (y, x)

x

y

V

Q

Q (x) = B (x, x)

x

V

Cuando la característica de $K$ es 2, de modo que 2 no es una unidad , todavía es posible utilizar una forma cuadrática para definir una forma bilineal simétrica $B'(x, y) = Q (x + y) - Q (x) - Q (y)$ . Sin embargo, $Q (x)$ ya no se puede recuperar de este $B'$ de la misma manera, ya que $B'(x, x) = 0$ para todo $x$ (y por lo tanto es alternante). ^[8] Alternativamente, siempre existe una forma bilineal $B ″$ (en general no es única ni simétrica) tal que $B ″(x, x) = Q (x)$ .

El par $(V, Q)$ que consta de un espacio vectorial de dimensión finita $V$ sobre $K$ y un mapa cuadrático $Q$ de $V$ a $K$ se llama espacio cuadrático , y $B,$ como se define aquí, es la forma bilineal simétrica asociada de $Q.$ La noción de espacio cuadrático es una versión sin coordenadas de la noción de forma cuadrática. A veces, $a Q$ también se le llama forma cuadrática.

Dos espacios cuadráticos de $n$ $dimensiones (V, Q)$ y $(V', Q' )$ son isométricos si existe una transformación lineal invertible $T : V \to V'$ ( isometría ) tal que

Q(v)=Q'(Tv){\text{ for all }}v\in V.

Las clases de isometría de $n$ -espacios cuadráticos dimensionales sobre $K$ corresponden a las clases de equivalencia de $n$ -formas cuadráticas arias sobre $K$ .

Generalización

Sea $R$ un anillo conmutativo , M $un$ módulo R $y$ b $:$ $M$ $\times$ $M$ $\to$ $R$ $una$ forma $R$ -bilineal. ^[9] Una aplicación $q$ $:$ $M$ $\to$ $R$ $:$ $v$ $\mapsto$ $b$ $($ $v$ $,$ $v$ $)$ es la forma cuadrática asociada de $b$ , y $B$ $:$ $M$ $\times$ $M$ $\to$ $R$ $: ($ $u$ $,$ $v$ $) \mapsto$ $q$ $($ $u$ $+$ $v$ $) -$ $q$ $($ $u$ $) -$ $q$ $($ $v$ $)$ es la forma polar de $q$ .

Una forma cuadrática $q : M \to R$ se puede caracterizar de las siguientes formas equivalentes:

Existe una forma $R$ -bilineal $b : M \times M \to R$ tal que $q (v)$ es la forma cuadrática asociada.
$q (av) = a 2 q (v)$ para todo $a \in R$ y $v \in M$ , y la forma polar de $q$ es $R$ -bilineal.

Conceptos relacionados

Dos elementos $v$ y $w$ de $V$ se llaman ortogonales si $B (v, w) = 0$ . El núcleo de una forma bilineal $B$ consta de los elementos que son ortogonales a cada elemento de $V.$ $Q$ no es singular si el núcleo de su forma bilineal asociada es ${0}$ . Si existe una $v$ distinta de cero en $V$ tal que $Q (v) = 0$ , la forma cuadrática $Q$ es isotrópica ; de lo contrario, es definida . Esta terminología también se aplica a vectores y subespacios de un espacio cuadrático. Si la restricción de $Q$ a un subespacio $U$ de $V$ es idénticamente cero, entonces $U$ es totalmente singular .

El grupo ortogonal de una forma cuadrática no singular $Q$ es el grupo de automorfismos lineales de $V$ que preservan $Q$ : es decir, el grupo de isometrías de $(V, Q)$ en sí mismo.

Si un espacio cuadrático $(A, Q)$ tiene un producto tal que $A$ es un álgebra sobre un campo y satisface

\forall x,y\in A\quad Q(xy)=Q(x)Q(y),

álgebra de composición

Equivalencia de formas

Toda forma cuadrática $q$ en $n$ variables sobre un campo de característica no igual a 2 es equivalente a una forma diagonal

q(x)=a_{1}x_{1}^{2}+a_{2}x_{2}^{2}+\cdots +a_{n}x_{n}^{2}.

Esta forma diagonal a menudo se denota por $⟨ a 1, ... , an ⟩$ . Por tanto, la clasificación de todas las formas cuadráticas hasta la equivalencia puede reducirse al caso de las formas diagonales.

Significado geométrico

Usando coordenadas cartesianas en tres dimensiones, sea $x = (x, y, z) T$ y sea $A$ una matriz simétrica de 3 por 3. Entonces la naturaleza geométrica del conjunto solución de la ecuación $x T A x + b T x = 1$ depende de los valores propios de la matriz $A.$

Si todos los valores propios de $A$ son distintos de cero, entonces el conjunto solución es un elipsoide o un hiperboloide . ^{[ cita necesaria ]} Si todos los valores propios son positivos, entonces es un elipsoide; si todos los valores propios son negativos, entonces es un elipsoide imaginario (obtenemos la ecuación de un elipsoide pero con radios imaginarios); si algunos valores propios son positivos y otros negativos, entonces es un hiperboloide.

Si existen uno o más valores propios $λ i = 0$ , entonces la forma depende del $b i$ correspondiente . Si el correspondiente $b i \neq 0$ , entonces el conjunto solución es un paraboloide (ya sea elíptico o hiperbólico); si el correspondiente $b i = 0$ , entonces la dimensión $i$ degenera y no entra en juego, y el significado geométrico estará determinado por otros valores propios y otros componentes de $b$ . Cuando el conjunto solución es un paraboloide, si es elíptico o hiperbólico está determinado por si todos los demás valores propios distintos de cero son del mismo signo: si lo son, entonces es elíptico; de lo contrario, es hiperbólico.

Formas cuadráticas integrales

Las formas cuadráticas sobre el anillo de números enteros se llaman formas cuadráticas integrales , mientras que los módulos correspondientes son redes cuadráticas (a veces, simplemente redes ). Desempeñan un papel importante en la teoría de números y la topología .

Una forma cuadrática integral tiene coeficientes enteros, como $x 2 + xy + y 2$ ; de manera equivalente, dada una red $Λ$ en un espacio vectorial $V$ (sobre un campo con característica 0, como $Q$ o $R$ ), una forma cuadrática $Q$ es integral con respecto a $Λ$ si y solo si tiene un valor entero en $Λ$ , es decir, $Q (x, y) \in Z$ si $x, y \in Λ$ .

Este es el uso actual del término; en el pasado a veces se usaba de manera diferente, como se detalla a continuación.

Uso histórico

Históricamente ha habido cierta confusión y controversia sobre si la noción de forma cuadrática integral debería significar:

dos en: la forma cuadrática asociada a una matriz simétrica con coeficientes enteros
dos fuera: un polinomio con coeficientes enteros (por lo que la matriz simétrica asociada puede tener coeficientes semienteros fuera de la diagonal)

Este debate se debió a la confusión de formas cuadráticas (representadas por polinomios) y formas bilineales simétricas (representadas por matrices), y "dos fuera" es ahora la convención aceptada; "dos dentro" es, en cambio, la teoría de las formas bilineales simétricas integrales (matrices simétricas integrales).

En "dos dentro", las formas cuadráticas binarias tienen la forma $ax 2 + 2 bxy + cy 2$ , representadas por la matriz simétrica

{\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}}

GaussDisquisitiones Arithmeticae

En "dos fuera", las formas cuadráticas binarias tienen la forma $ax 2 + bxy + cy 2$ , representadas por la matriz simétrica

{\begin{pmatrix}a&b/2\\b/2&c\end{pmatrix}}.

Varios puntos de vista significan que se ha adoptado dos fuera como convención estándar. Estos incluyen:

mejor comprensión de la teoría biádica de las formas cuadráticas, la fuente "local" de la dificultad;
el punto de vista reticular , que fue adoptado generalmente por los expertos en aritmética de formas cuadráticas durante la década de 1950;
las necesidades reales de una teoría integral de la forma cuadrática en topología para la teoría de intersecciones ;
los aspectos del grupo de Lie y del grupo algebraico .

Formas cuadráticas universales

Una forma cuadrática integral cuya imagen consta de todos los números enteros positivos a veces se llama universal . El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange muestra que $w 2 + x 2 + y 2 + z 2$ es universal. Ramanujan generalizó este $aw 2 + bx 2 + cy 2 + dz 2$ y encontró 54 multiconjuntos ${a, b, c, d}$ que pueden generar todos los números enteros positivos, es decir,

${1, 1, 1, d}, 1 \leq d \leq 7$
${1, 1, 2, d}, 2 \leq d \leq 14$
${1, 1, 3, d}, 3 \leq d \leq 6$
${1, 2, 2, d}, 2 \leq d \leq 7$
${1, 2, 3, d}, 3 \leq d \leq 10$
${1, 2, 4, d}, 4 \leq d \leq 14$
${1, 2, 5, d}, 6 \leq d \leq 10$

También hay formas cuya imagen consta de todos los números enteros positivos menos uno. Por ejemplo, ${1, 2, 5, 5}$ tiene 15 como excepción. Recientemente, los teoremas 15 y 290 han caracterizado completamente las formas cuadráticas integrales universales: si todos los coeficientes son números enteros, entonces representa todos los números enteros positivos si y sólo si representa todos los números enteros hasta 290; si tiene una matriz integral, representa todos los números enteros positivos si y sólo si representa todos los números enteros hasta 15.

Ver también

Notas

↑ Una tradición que se remonta a Gauss dicta el uso de coeficientes manifiestamente pares para los productos de variables distintas, es decir, $2 b$ en lugar de $b$ en formas binarias y $2 b$ , $2 d$ , $2 f$ en lugar de $b$ , $d$ , $f.$ en formas ternarias. Ambas convenciones ocurren en la literatura.
^ lejos de 2 , es decir, si 2 es invertible en el anillo, las formas cuadráticas son equivalentes a formas bilineales simétricas (por las identidades de polarización ), pero en 2 son conceptos diferentes; esta distinción es particularmente importante para formas cuadráticas sobre números enteros.
^ Pitágoras babilónico
^ Biografía de Brahmagupta
^ Maxime Bôcher (con EPR DuVal) (1907) Introducción al álgebra superior , § 45 Reducción de una forma cuadrática a una suma de cuadrados a través de HathiTrust
^ Si se cumple una desigualdad no estricta (con ≥ o ≤), entonces la forma cuadrática $q$ se llama semidefinida.
^ La teoría de formas cuadráticas sobre un campo de característica 2 tiene diferencias importantes y muchas definiciones y teoremas deben modificarse.
^ Esta forma alterna asociada con una forma cuadrática en la característica 2 es de interés en relación con el invariante Arf - Irving Kaplansky (1974), Álgebra lineal y geometría , p. 27.
^ La forma bilineal a la que se asocia una forma cuadrática no se limita a ser simétrica, lo cual es importante cuando 2 no es una unidad en $R.$

Referencias

O'Meara, OT (2000), Introducción a las formas cuadráticas , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-66564-9
Conway, John Horton ; Fung, Francis YC (1997), La forma sensual (cuadrática) , Monografías matemáticas de Carus, Asociación Matemática de América, ISBN 978-0-88385-030-5
Shafarevich, IR ; Remizov, AO (2012). Álgebra lineal y geometría. Saltador . ISBN 978-3-642-30993-9.

Otras lecturas

Cassels, JWS (1978). Formas cuadráticas racionales . Monografías de la Sociedad Matemática de Londres. vol. 13. Prensa Académica . ISBN 0-12-163260-1. Zbl 0395.10029.
Kitaoka, Yoshiyuki (1993). Aritmética de formas cuadráticas . Tratados de Cambridge en Matemáticas. vol. 106. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-40475-4. Zbl 0785.11021.
Lam, Tsit-Yuen (2005). Introducción a las formas cuadráticas sobre campos . Estudios de Posgrado en Matemáticas . vol. 67. Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 0-8218-1095-2. SEÑOR 2104929. Zbl 1068.11023.
Milnor, J .; Husemoller, D. (1973). Formas bilineales simétricas . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . vol. 73. Springer-Verlag . ISBN 3-540-06009-X. Zbl 0292.10016.
O'Meara, OT (1973). Introducción a las formas cuadráticas . Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 117. Springer-Verlag . ISBN 3-540-66564-1. Zbl 0259.10018.
Pfister, Albrecht (1995). Formas cuadráticas con aplicaciones a la topología y geometría algebraica . Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society. vol. 217. Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-46755-1. Zbl 0847.11014.

enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con las formas cuadráticas .

AVMalyshev (2001) [1994], "Forma cuadrática", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
AVMalyshev (2001) [1994], "Forma cuadrática binaria", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press