Hipótesis de Riemann generalizada

Conjetura matemática sobre ceros de funciones L

La hipótesis de Riemann es una de las conjeturas más importantes de las matemáticas . Es una afirmación sobre los ceros de la función zeta de Riemann . Se pueden describir varios objetos geométricos y aritméticos mediante las llamadas funciones L globales , que son formalmente similares a la función zeta de Riemann. Entonces se puede hacer la misma pregunta sobre los ceros de estas L -funciones, lo que produce varias generalizaciones de la hipótesis de Riemann. Muchos matemáticos creen que estas generalizaciones de la hipótesis de Riemann son ciertas. Los únicos casos de estas conjeturas que han sido probados ocurren en el caso del campo de funciones algebraicas (no en el caso del campo numérico).

Las funciones L globales se pueden asociar a curvas elípticas , campos numéricos (en cuyo caso se denominan funciones zeta de Dedekind ), formas de Maass y caracteres de Dirichlet (en cuyo caso se denominan funciones L de Dirichlet ). Cuando la hipótesis de Riemann se formula para funciones zeta de Dedekind, se conoce como hipótesis de Riemann extendida (ERH) y cuando se formula para funciones L de Dirichlet , se conoce como hipótesis de Riemann generalizada o hipótesis de Riemann generalizada (GRH). Estas dos declaraciones se analizarán con más detalle a continuación. (Muchos matemáticos usan la etiqueta hipótesis de Riemann generalizada para cubrir la extensión de la hipótesis de Riemann a todas las funciones L globales , no solo al caso especial de las funciones L de Dirichlet ).

Hipótesis de Riemann generalizada (GRH)

La hipótesis generalizada de Riemann (para las funciones L de Dirichlet ) probablemente fue formulada por primera vez por Adolf Piltz en 1884. ^[1] Al igual que la hipótesis de Riemann original, tiene consecuencias de gran alcance sobre la distribución de números primos .

A continuación se presenta el enunciado formal de la hipótesis. Un carácter de Dirichlet es una función aritmética completamente multiplicativa χ tal que existe un entero positivo k con χ ( n + k ) = χ ( n ) para todo n y χ ( n ) = 0 siempre que mcd ( n , k ) > 1 . Si se da tal carácter, definimos la función L de Dirichlet correspondiente por

${\displaystyle L(\chi ,s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}}$

para cada número complejo s tal que Re s > 1 . Por continuación analítica , esta función se puede extender a una función meromórfica (sólo cuando es primitiva) definida en todo el plano complejo. La hipótesis generalizada de Riemann afirma que, para cada carácter de Dirichlet χ y cada número complejo s con L ( χ , s ) = 0 , si s no es un número real negativo, entonces la parte real de s es 1/2. ${\displaystyle \chi }$

El caso χ ( n ) = 1 para todo n produce la hipótesis ordinaria de Riemann.

Consecuencias del GRH

El teorema de Dirichlet establece que si a y d son números naturales coprimos , entonces la progresión aritmética a , a + d , a + 2 d , a + 3 d ,... contiene infinitos números primos. Sea π( x , a , d ) el número de números primos en esta progresión que son menores o iguales que x . Si la hipótesis generalizada de Riemann es cierta, entonces para cada coprimo a y d y para cada ε > 0 ,

${\displaystyle \pi (x,a,d)={\frac {1}{\varphi (d)}}\int _{2}^{x}{\frac {1}{\ln t}}\,dt+O(x^{1/2+\varepsilon })\quad {\mbox{ as }}\ x\to \infty ,}$

donde es la función totiente de Euler y es la notación O grande . Este es un fortalecimiento considerable del teorema de los números primos . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle O}$

Si GRH es verdadera, entonces cada subgrupo propio del grupo multiplicativo omite un número menor que 2(ln n ) ² , así como un número coprimo con n menor que 3(ln n ) ² . ^[2] En otras palabras, es generado por un conjunto de números menores que 2(ln n ) ² . Esto se usa a menudo en pruebas y tiene muchas consecuencias, por ejemplo (asumiendo GRH): ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$

• Se garantiza que la prueba de primalidad de Miller-Rabin se ejecutará en tiempo polinomial. ( En 2002 se publicó una prueba de primalidad de tiempo polinómico que no requiere GRH, la prueba de primalidad AKS .)
• Se garantiza que el algoritmo Shanks-Tonelli se ejecutará en tiempo polinómico.
• Se garantiza que el algoritmo determinista de Ivanyos-Karpinski-Saxena ^[3] para factorizar polinomios sobre campos finitos con grados primos constantes y suaves se ejecuta en tiempo polinomial.

Si GRH es verdadero, entonces para cada primo p existe una raíz primitiva mod p (un generador del grupo multiplicativo de números enteros módulo p ) que es menor que ^[4] ${\displaystyle O((\ln p)^{6}).}$

La conjetura débil de Goldbach también se deriva de la hipótesis generalizada de Riemann. La prueba aún por verificar de Harald Helfgott de esta conjetura verifica el GRH para varios miles de caracteres pequeños hasta una cierta parte imaginaria para obtener límites suficientes que prueben la conjetura para todos los números enteros por encima de 10 ²⁹ , los números enteros por debajo de los cuales ya han sido verificados mediante cálculo. . ^[5]

Suponiendo la verdad del GRH, la estimación de la suma de caracteres en la desigualdad de Pólya-Vinogradov se puede mejorar a , siendo q el módulo del carácter. ${\displaystyle O\left({\sqrt {q}}\log \log q\right)}$

Hipótesis de Riemann extendida (ERH)

Supongamos que K es un cuerpo numérico (una extensión de campo de dimensión finita de los racionales Q ) con un anillo de números enteros O _K (este anillo es la clausura integral de los números enteros Z en K ). Si a es un ideal de OK _distinto del ideal cero, denotamos su norma por Na . La función zeta de Dedekind de K se define entonces por

${\displaystyle \zeta _{K}(s)=\sum _{a}{\frac {1}{(Na)^{s}}}}$

para cada número complejo s con parte real > 1. La suma se extiende a todos los ideales distintos de cero a de O _K .

La función zeta de Dedekind satisface una ecuación funcional y puede extenderse mediante continuación analítica a todo el plano complejo. La función resultante codifica información importante sobre el campo numérico K. La hipótesis de Riemann extendida afirma que para cada campo numérico K y cada número complejo s con ζ _K ( s ) = 0: si la parte real de s está entre 0 y 1, entonces en realidad es 1/2.

La hipótesis ordinaria de Riemann se deriva de la extendida si se toma el campo numérico como Q , con anillo de números enteros Z.

La ERH implica una versión efectiva ^[6] del teorema de densidad de Chebotarev : si L / K es una extensión finita de Galois con grupo de Galois G , y C una unión de clases de conjugación de G , el número de primos no ramificados de K de norma por debajo de x con la clase de conjugación de Frobenius en C es

${\displaystyle {\frac {|C|}{|G|}}{\Bigl (}\operatorname {li} (x)+O{\bigl (}{\sqrt {x}}(n\log x+\log |\Delta |){\bigr )}{\Bigr )},}$

donde la constante implícita en la notación O grande es absoluta, n es el grado de L sobre Q y Δ su discriminante.

Ver también

• La conjetura de Artin.
• Función L de Dirichlet
• clase selberg
• Hipótesis del gran Riemann

Referencias

1. Davenport, Harold (2000). Teoría de números multiplicativos. Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 74. Revisado y con prefacio de Hugh L. Montgomery (Tercera ed.). Nueva York: Springer-Verlag. pag. 124.ISBN​ 0-387-95097-4.
2. Bach, Eric (1990). "Límites explícitos para pruebas de primalidad y problemas relacionados". Matemáticas de la Computación . 55 (191): 355–380. doi : 10.2307/2008811 . JSTOR  2008811.
3. Ivanyos, Gabor; Karpinski, Marek; Saxena, Nitin (2009). "Esquemas de factorización polinómica determinista". Actas del simposio internacional de 2009 sobre computación simbólica y algebraica (ISAAC) . págs. 191-198. arXiv : 0804.1974 . doi :10.1145/1576702.1576730. ISBN 9781605586090. S2CID  15895636.
4. Shop, Víctor (1992). "Búsqueda de raíces primitivas en campos finitos". Matemáticas de la Computación . 58 (197): 369–380. doi : 10.2307/2153041 . JSTOR  2153041.
5. p5. Helfgott, Harald (2013). "Arcos principales del teorema de Goldbach". arXiv : 1305.2897 [matemáticas.NT].
6. Lagarias, JC; Odlyzko, AM (1977). "Versiones efectivas del teorema de Chebotarev". Campos de números algebraicos : 409–464.

Otras lecturas

• "Hipótesis de Riemann, generalizada", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]