Teoremas 15 y 290

Sobre cuándo una forma cuadrática definida positiva entera representa todos los números enteros positivos

En matemáticas , el teorema 15 o teorema de Conway-Schneeberger 15 , demostrado por John H. Conway y WA Schneeberger en 1993, establece que si una forma cuadrática definida positiva con matriz entera representa todos los números enteros positivos hasta 15, entonces representa todos los números enteros positivos. ^[1] La prueba fue complicada y nunca se publicó. Manjul Bhargava encontró una prueba mucho más simple que se publicó en 2000. ^[2]

Bhargava aprovechó la ocasión en que recibió el Premio Ramanujan de la SASTRA en 2005 para anunciar que él y Jonathan P. Hanke habían descifrado la conjetura de Conway de que un teorema similar se cumple para las formas cuadráticas integrales , con la constante 15 reemplazada por 290. ^[3] La prueba ha aparecido desde entonces en forma de preimpresión. ^[4]

Detalles

Supongamos que es una matriz simétrica con elementos reales . Para cualquier vector con componentes enteros, defina ${\displaystyle Q_{ij}}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle Q(x)=\sum _{i,j}Q_{ij}x_{i}x_{j}}$

Esta función se denomina forma cuadrática . Decimos que es definida positiva si siempre que . Si siempre es un número entero, llamamos a la función forma cuadrática integral . ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q(x)>0}$ ${\displaystyle x\neq 0}$ ${\displaystyle Q(x)}$ ${\displaystyle Q}$

Obtenemos una forma cuadrática integral siempre que las entradas de la matriz sean números enteros; entonces se dice que tiene matriz entera . Sin embargo, seguirá siendo una forma cuadrática integral si las entradas fuera de la diagonal son números enteros divididos por 2, mientras que las entradas diagonales son números enteros. Por ejemplo, x ² + xy + y ² es integral pero no tiene matriz integral. ${\displaystyle Q_{ij}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q_{ij}}$

Una forma cuadrática positiva integral que toma todos los números enteros positivos como valores se llama universal . El teorema 15 dice que una forma cuadrática con matriz entera es universal si toma los números del 1 al 15 como valores. Una versión más precisa dice que, si una forma cuadrática definida positiva con matriz integral toma los valores 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15 (secuencia A030050 en la OEIS ), entonces toma todos los números enteros positivos como valores. Además, para cada uno de estos 9 números, existe una forma cuadrática que toma todos los otros 8 números enteros positivos excepto este número como valores.

Por ejemplo, la forma cuadrática

${\displaystyle w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

es universal, porque todo entero positivo puede escribirse como suma de 4 cuadrados, por el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange . Por el teorema 15, para verificar esto, es suficiente comprobar que todo entero positivo hasta 15 es una suma de 4 cuadrados. (Esto no da una prueba alternativa del teorema de Lagrange, porque el teorema de Lagrange se utiliza en la prueba del teorema 15.)

Por otro lado,

${\displaystyle w^{2}+2x^{2}+5y^{2}+5z^{2},}$

es una forma cuadrática definida positiva con matriz integral que toma como valores todos los números enteros positivos distintos de 15.

El teorema 290 dice que una forma cuadrática integral definida positiva es universal si toma como valores los números del 1 al 290. Una versión más precisa establece que, si una forma cuadrática integral con valor entero representa todos los números 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 34, 35, 37, 42, 58, 93, 110, 145, 203, 290 (secuencia A030051 en la OEIS ), entonces representa todos los números enteros positivos, y para cada uno de estos 29 números, existe una forma cuadrática que representa todos los demás 28 números enteros positivos con la excepción de este número.

Bhargava ha encontrado criterios análogos para una forma cuadrática con matriz integral para representar todos los primos (el conjunto {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 67, 73} (secuencia A154363 en la OEIS )) y para una forma cuadrática de este tipo para representar todos los números enteros impares positivos (el conjunto {1, 3, 5, 7, 11, 15, 33} (secuencia A116582 en la OEIS )).

^{Hahn [5]} y Moon (que aporta pruebas) han escrito relatos expositivos de estos resultados . ^[6]

Referencias

1. Conway, JH (2000). "Formas cuadráticas universales y el teorema de los quince". Formas cuadráticas y sus aplicaciones (Dublín, 1999) (PDF) . Contemp. Math. Vol. 272. Providence, RI: Amer. Math. Soc. págs. 23–26. ISBN 0-8218-2779-0.Zbl 0987.11026  .
2. Bhargava, Manjul (2000). "Sobre el teorema de los quince de Conway-Schneeberger". Formas cuadráticas y sus aplicaciones (Dublín, 1999) (PDF) . Contemp. Math. Vol. 272. Providence, RI: Amer. Math. Soc. págs. 27–37. ISBN 0-8218-2779-0.MR  1803359.Zbl 0987.11027  .​
3. Alladi, Krishnaswami. "El legado de Ramanujan: el trabajo de los ganadores del premio SASTRA". Philosophical Transactions of the Royal Society A. The Royal Society Publishing . Consultado el 4 de febrero de 2020 .
4. Bhargava, M., y Hanke, J., Formas cuadráticas universales y el teorema 290.
5. Alexander J. Hahn, Formas cuadráticas sobre Z {\displaystyle \mathbb {Z} } desde Diofanto hasta el teorema 290, Advances in Applied Clifford Algebras, 2008, Volumen 18, Números 3-4, 665-676
6. Yong Suk Moon, Formas cuadráticas universales y el teorema 15 y el teorema 290