serie eisenstein

Serie que representa formas modulares.

Las series de Eisenstein , que llevan el nombre del matemático alemán Gotthold Eisenstein , ^{[1] son} ​​formas modulares particulares con expansiones de series infinitas que se pueden escribir directamente. Definidas originalmente para el grupo modular , las series de Eisenstein pueden generalizarse en la teoría de las formas automorfas .

Serie Eisenstein para el grupo modular.

La parte real de G ₆ en función de q en el disco unitario . Los números negativos son negros.

La parte imaginaria de G ₆ en función de q en el disco unitario.

Sea τ un número complejo con parte imaginaria estrictamente positiva . Defina la serie holomorfa de Eisenstein G _{2 k} ( τ ) de peso 2 k , donde k ≥ 2 es un número entero, mediante la siguiente serie: ^[2]

${\displaystyle G_{2k}(\tau )=\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {1}{(m+n\tau )^{2k}}}.}$

Esta serie converge absolutamente a una función holomorfa de τ en el semiplano superior y su expansión de Fourier que se muestra a continuación muestra que se extiende a una función holomorfa en τ = i ∞ . Es un hecho notable que la serie Eisenstein tenga una forma modular . De hecho, la propiedad clave es su covarianza SL(2, ) ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ . Explícitamente si a , b , c , d ∈ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ y ad − bc = 1 entonces

${\displaystyle G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=(c\tau +d)^{2k}G_{2k}(\tau )}$

(Prueba)

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)&=\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {1}{\left(m+n{\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)^{2k}}}\\&=\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {(c\tau +d)^{2k}}{(md+nb+(mc+na)\tau )^{2k}}}\\&=\sum _{\left(m',n'\right)=(m,n){\begin{pmatrix}d\ \ c\\b\ \ a\end{pmatrix}} \atop (m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {(c\tau +d)^{2k}}{\left(m'+n'\tau \right)^{2k}}}\end{aligned}}}$

Si ad − bc = 1 entonces

${\displaystyle {\begin{pmatrix}d&c\\b&a\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}\ a&-c\\-b&\ d\end{pmatrix}}}$

de modo que

${\displaystyle (m,n)\mapsto (m,n){\begin{pmatrix}d&c\\b&a\end{pmatrix}}}$

es una biyección ² → ² , es decir: ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \sum _{\left(m',n'\right)=(m,n){\begin{pmatrix}d\ \ c\\b\ \ a\end{pmatrix}} \atop (m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {1}{\left(m'+n'\tau \right)^{2k}}}=\sum _{\left(m',n'\right)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {1}{(m'+n'\tau )^{2k}}}=G_{2k}(\tau )}$

En general, si ad − bc = 1 entonces

${\displaystyle G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=(c\tau +d)^{2k}G_{2k}(\tau )}$

y G _{2 k} es, por tanto, una forma modular del peso 2 k . Tenga en cuenta que es importante suponer que k ≥ 2 ; de lo contrario, sería ilegítimo cambiar el orden de la suma y la invariancia SL(2, ) ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ no se cumpliría. De hecho, no existen formas modulares no triviales de peso 2. Sin embargo, se puede definir un análogo de la serie holomorfa de Eisenstein incluso para k = 1 , aunque solo sería una forma cuasimodular .

Tenga en cuenta que k ≥ 2 es necesario para que la serie converja absolutamente, mientras que k debe ser par, de lo contrario la suma desaparece porque los términos (- m , - n ) y ( m , n ) se cancelan. Para k = 2 la serie converge pero no es una forma modular.

Relación con invariantes modulares

Los invariantes modulares g ₂ y g ₃ de una curva elíptica vienen dados por las dos primeras series de Eisenstein: ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{2}&=60G_{4}\\g_{3}&=140G_{6}.\end{aligned}}}$

El artículo sobre invariantes modulares proporciona expresiones para estas dos funciones en términos de funciones theta .

Relación de recurrencia

Cualquier forma modular holomorfa para el grupo modular ^[4] se puede escribir como un polinomio en G ₄ y G ₆ . Específicamente, el orden superior G _{2 k} se puede escribir en términos de G ₄ y G ₆ mediante una relación de recurrencia . Sea d _k = (2 k + 3) k ! G _{2 k + 4} , entonces, por ejemplo, d ₀ = 3 G ₄ y d ₁ = 5 G ₆ . Entonces los d _k satisfacen la relación

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}d_{k}d_{n-k}={\frac {2n+9}{3n+6}}d_{n+2}}$

para todo norte ≥ 0 . Aquí, (^nk
_​) es elcoeficiente binomial.

Los d _k ocurren en la expansión en serie de las funciones elípticas de Weierstrass :

${\displaystyle {\begin{aligned}\wp (z)&={\frac {1}{z^{2}}}+z^{2}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {d_{k}z^{2k}}{k!}}\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }(2k+1)G_{2k+2}z^{2k}.\end{aligned}}}$

series de Fourier

G ₄

G ₆

G8_​

G ₁₀

G ₁₂

G ₁₄

Definir q = mi ^{2π iτ} . (Algunos libros más antiguos definen q como el nombre q = e ^{π iτ} , pero q = e ^{2 π iτ} es ahora estándar en teoría de números). Entonces, la serie de Fourier de la serie de Eisenstein ^[5] es

${\displaystyle G_{2k}(\tau )=2\zeta (2k)\left(1+c_{2k}\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{2k-1}(n)q^{n}\right)}$

donde los coeficientes c _{2 k} están dados por

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{2k}&={\frac {(2\pi i)^{2k}}{(2k-1)!\zeta (2k)}}\\[4pt]&={\frac {-4k}{B_{2k}}}={\frac {2}{\zeta (1-2k)}}.\end{aligned}}}$

Aquí, Bn son los números de Bernoulli , ζ ( z ) es la función zeta de Riemann y σp ( n ) es la _función de suma del divisor , la suma de las _p - ésimas potencias de los divisores de n . En particular, uno tiene

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{4}(\tau )&={\frac {\pi ^{4}}{45}}\left(1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{n}\right)\\[4pt]G_{6}(\tau )&={\frac {2\pi ^{6}}{945}}\left(1-504\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{5}(n)q^{n}\right).\end{aligned}}}$

La suma sobre q puede resumirse como una serie de Lambert ; es decir, uno tiene

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{a}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}}$

para complejo arbitrario | q | < 1 y un . Cuando se trabaja con la q -expansión de la serie de Eisenstein, con frecuencia se introduce esta notación alternativa:

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{2k}(\tau )&={\frac {G_{2k}(\tau )}{2\zeta (2k)}}\\&=1+{\frac {2}{\zeta (1-2k)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2k-1}q^{n}}{1-q^{n}}}\\&=1-{\frac {4k}{B_{2k}}}\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{2k-1}(n)q^{n}\\&=1-{\frac {4k}{B_{2k}}}\sum _{d,n\geq 1}n^{2k-1}q^{nd}.\end{aligned}}}$

Identidades que involucran la serie Eisenstein

Como funciona theta

Fuente: ^[6]

Dado q = e ^{2 π iτ} , sea

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{4}(\tau )&=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}\\E_{6}(\tau )&=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}}\\E_{8}(\tau )&=1+480\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{7}q^{n}}{1-q^{n}}}\end{aligned}}}$

y defina las funciones theta de Jacobi que normalmente usan el nombre e ^{π iτ} ,

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=\theta _{2}\left(0;e^{\pi i\tau }\right)=\vartheta _{10}(0;\tau )\\b&=\theta _{3}\left(0;e^{\pi i\tau }\right)=\vartheta _{00}(0;\tau )\\c&=\theta _{4}\left(0;e^{\pi i\tau }\right)=\vartheta _{01}(0;\tau )\end{aligned}}}$

donde θ _m y ϑ _ij son notaciones alternativas. Entonces tenemos las relaciones simétricas,

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{4}(\tau )&={\tfrac {1}{2}}\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)\\[4pt]E_{6}(\tau )&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)^{3}-54(abc)^{8}}{2}}}\\[4pt]E_{8}(\tau )&={\tfrac {1}{2}}\left(a^{16}+b^{16}+c^{16}\right)=a^{8}b^{8}+a^{8}c^{8}+b^{8}c^{8}\end{aligned}}}$

El álgebra básica implica inmediatamente

${\displaystyle E_{4}^{3}-E_{6}^{2}={\tfrac {27}{4}}(abc)^{8}}$

una expresión relacionada con el discriminante modular ,

${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}=(2\pi )^{12}\left({\tfrac {1}{2}}abc\right)^{8}}$

La tercera relación simétrica, por otro lado, es consecuencia de E ₈ = E²
₄y un ⁴ - segundo ⁴ + c ⁴ = 0 .

Productos de la serie Eisenstein.

Las series de Eisenstein forman los ejemplos más explícitos de formas modulares para el grupo modular completo SL(2, ) ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ . Dado que el espacio de formas modulares de peso 2 k tiene dimensión 1 para 2 k = 4, 6, 8, 10, 14 , diferentes productos de la serie de Eisenstein que tienen esos pesos deben ser iguales hasta un múltiplo escalar. De hecho, obtenemos las identidades: ^[7]

${\displaystyle E_{4}^{2}=E_{8},\quad E_{4}E_{6}=E_{10},\quad E_{4}E_{10}=E_{14},\quad E_{6}E_{8}=E_{14}.}$

Utilizando las q -expansiones de la serie de Eisenstein dadas anteriormente, se pueden reformular como identidades que involucran sumas de potencias de divisores:

${\displaystyle \left(1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{n}\right)^{2}=1+480\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{7}(n)q^{n},}$

por eso

${\displaystyle \sigma _{7}(n)=\sigma _{3}(n)+120\sum _{m=1}^{n-1}\sigma _{3}(m)\sigma _{3}(n-m),}$

y lo mismo para los demás. La función theta de una red unimodular par de ocho dimensiones Γ es una forma modular de peso 4 para el grupo modular completo, que da las siguientes identidades:

${\displaystyle \theta _{\Gamma }(\tau )=1+\sum _{n=1}^{\infty }r_{\Gamma }(2n)q^{n}=E_{4}(\tau ),\qquad r_{\Gamma }(n)=240\sigma _{3}(n)}$

para el número r _Γ ( n ) de vectores de longitud al cuadrado 2 n en la red de raíces del tipo E ₈ .

Técnicas similares que involucran series holomorfas de Eisenstein retorcidas por un carácter de Dirichlet producen fórmulas para el número de representaciones de un entero positivo n ' como una suma de dos, cuatro u ocho cuadrados en términos de los divisores de n .

Usando la relación de recurrencia anterior, todos los E _{2 k} superiores se pueden expresar como polinomios en E ₄ y E ₆ . Por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{8}&=E_{4}^{2}\\E_{10}&=E_{4}\cdot E_{6}\\691\cdot E_{12}&=441\cdot E_{4}^{3}+250\cdot E_{6}^{2}\\E_{14}&=E_{4}^{2}\cdot E_{6}\\3617\cdot E_{16}&=1617\cdot E_{4}^{4}+2000\cdot E_{4}\cdot E_{6}^{2}\\43867\cdot E_{18}&=38367\cdot E_{4}^{3}\cdot E_{6}+5500\cdot E_{6}^{3}\\174611\cdot E_{20}&=53361\cdot E_{4}^{5}+121250\cdot E_{4}^{2}\cdot E_{6}^{2}\\77683\cdot E_{22}&=57183\cdot E_{4}^{4}\cdot E_{6}+20500\cdot E_{4}\cdot E_{6}^{3}\\236364091\cdot E_{24}&=49679091\cdot E_{4}^{6}[phone]\cdot E_{4}^{3}\cdot E_{6}^{2}[phone]\cdot E_{6}^{4}\end{aligned}}}$

Muchas relaciones entre productos de la serie de Eisenstein se pueden escribir de forma elegante utilizando los determinantes de Hankel , por ejemplo, la identidad de Garvan.

${\displaystyle \left({\frac {\Delta }{(2\pi )^{12}}}\right)^{2}=-{\frac {691}{1728^{2}\cdot 250}}\det {\begin{vmatrix}E_{4}&E_{6}&E_{8}\\E_{6}&E_{8}&E_{10}\\E_{8}&E_{10}&E_{12}\end{vmatrix}}}$

dónde

${\displaystyle \Delta =(2\pi )^{12}{\frac {E_{4}^{3}-E_{6}^{2}}{1728}}}$

es el discriminante modular . ^[8]

Identidades ramanujanas

Srinivasa Ramanujan dio varias identidades interesantes entre las primeras series de Eisenstein que implican diferenciación. ^[9] Deja que

${\displaystyle {\begin{aligned}L(q)&=1-24\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nq^{n}}{1-q^{n}}}&&=E_{2}(\tau )\\M(q)&=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}&&=E_{4}(\tau )\\N(q)&=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}}&&=E_{6}(\tau ),\end{aligned}}}$

entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}q{\frac {dL}{dq}}&={\frac {L^{2}-M}{12}}\\q{\frac {dM}{dq}}&={\frac {LM-N}{3}}\\q{\frac {dN}{dq}}&={\frac {LN-M^{2}}{2}}.\end{aligned}}}$

Estas identidades, al igual que las identidades entre las series, producen identidades de convolución aritméticas que involucran la función de suma de divisor . Siguiendo a Ramanujan, para poner estas identidades en la forma más simple es necesario extender el dominio de σ _p ( n ) para incluir cero, estableciendo

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{p}(0)={\tfrac {1}{2}}\zeta (-p)\quad \Longrightarrow \quad \sigma (0)&=-{\tfrac {1}{24}}\\\sigma _{3}(0)&={\tfrac {1}{240}}\\\sigma _{5}(0)&=-{\tfrac {1}{504}}.\end{aligned}}}$

Entonces, por ejemplo

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\sigma (k)\sigma (n-k)={\tfrac {5}{12}}\sigma _{3}(n)-{\tfrac {1}{2}}n\sigma (n).}$

Ramanujan y Giuseppe Melfi han demostrado otras identidades de este tipo, pero no directamente relacionadas con las relaciones anteriores entre funciones L , M y N , ^{[10] [11]} como por ejemplo

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}\sigma _{3}(k)\sigma _{3}(n-k)&={\tfrac {1}{120}}\sigma _{7}(n)\\\sum _{k=0}^{n}\sigma (2k+1)\sigma _{3}(n-k)&={\tfrac {1}{240}}\sigma _{5}(2n+1)\\\sum _{k=0}^{n}\sigma (3k+1)\sigma (3n-3k+1)&={\tfrac {1}{9}}\sigma _{3}(3n+2).\end{aligned}}}$

Generalizaciones

Las formas automórficas generalizan la idea de formas modulares para grupos generales de Lie ; y las series de Eisenstein se generalizan de manera similar.

Al definir OK como el anillo de números enteros de un campo numérico algebraico totalmente real K , _se define el grupo modular de Hilbert-Blumenthal como PSL(2, OK ₎ . Entonces se puede asociar una serie de Eisenstein a cada cúspide del grupo modular de Hilbert-Blumenthal.

Referencias

1. "Gotthold Eisenstein - Biografía". Historia de las Matemáticas . Consultado el 5 de septiembre de 2023 .
2. Gekeler, Ernst-Ulrich (2011). "SERIE PARA-EISENSTEIN PARA EL GRUPO MODULAR GL(2, 𝔽q[T])". Revista Taiwanesa de Matemáticas . 15 (4): 1463-1475. doi : 10.11650/twjm/1500406358 . ISSN  1027-5487. S2CID  119499748.
3. Obers, NA; Pioline, B. (7 de marzo de 2000). "Serie Eisenstein en teoría de cuerdas". Gravedad clásica y cuántica . 17 (5): 1215-1224. arXiv : hep-th/9910115 . doi :10.1088/0264-9381/17/5/330. ISSN  0264-9381. S2CID  250864942.
4. Mertens, Michael H.; Rolen, Larry (2015). "Recurrencias lagunares de la serie de Eisenstein". Investigación en Teoría de Números . 1 . arXiv : 1504.00356 . doi : 10.1007/s40993-015-0010-x . ISSN  2363-9555.
5. Karel, Martín L. (1974). "Coeficientes de Fourier de determinadas series de Eisenstein". Anales de Matemáticas . 99 (1): 176–202. doi :10.2307/1971017. ISSN  0003-486X. JSTOR  1971017.
6. "¿Cómo probar la identidad de esta serie que involucra la serie de Eisenstein?". Intercambio de pilas de matemáticas . Consultado el 5 de septiembre de 2023 .
7. Dickson, Martín; Neururer, Michael (2018). "Productos de la serie Eisenstein y ampliaciones de Fourier de formas modulares en cúspides". Revista de teoría de números . 188 : 137–164. arXiv : 1603.00774 . doi :10.1016/j.jnt.2017.12.013. S2CID  119614418.
8. Milne, Steven C. (2000). "Serie Determinantes de Hankel de Eisenstein". arXiv : matemáticas/0009130v3 .El artículo utiliza una definición no equivalente de , pero esto se ha tenido en cuenta en este artículo. ${\displaystyle \Delta }$
9. Bhuvan, EN; Vasuki, KR (24 de junio de 2019). "Sobre la identidad de nivel quince de la serie Eisenstein de Ramanujan". Actas - Ciencias Matemáticas . 129 (4): 57. doi :10.1007/s12044-019-0498-4. ISSN  0973-7685. S2CID  255485301.
10. Ramanujan, Srinivasa (1962). "Sobre determinadas funciones aritméticas". Papeles recopilados . Nueva York, Nueva York: Chelsea. págs. 136-162.
11. Melfi, Giuseppe (1998). "Sobre algunas identidades modulares". Teoría de números, aspectos diofánticos, computacionales y algebraicos: actas de la conferencia internacional celebrada en Eger, Hungría . Walter de Grutyer & Co. págs. 371–382.

Otras lecturas

• Akhiezer, Naum Ilich (1970). Elementos de la Teoría de Funciones Elípticas (en ruso). Moscú.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)Traducido al inglés como Elementos de la teoría de funciones elípticas . Traducciones AMS de monografías matemáticas 79 . Providence, RI: Sociedad Estadounidense de Matemáticas . 1990.ISBN​ 0-8218-4532-2.
• Apóstol, Tom M. (1990). Funciones modulares y series de Dirichlet en teoría de números (2ª ed.). Nueva York, Nueva York: Springer . ISBN 0-387-97127-0.
• Chan, Heng Huat; Ong, Yau Lin (1999). "Sobre la serie Eisenstein" (PDF) . Proc. América. Matemáticas. Soc . 127 (6): 1735-1744. doi : 10.1090/S0002-9939-99-04832-7 .
• Iwaniec, Henryk (2002). Métodos espectrales de formas automórficas . Estudios de Posgrado en Matemáticas 53 (2ª ed.). Providence, RI: Sociedad Estadounidense de Matemáticas . cap. 3.ISBN​ 0-8218-3160-7.
• Serre, Jean-Pierre (1973). Un curso de aritmética . Textos de Posgrado en Matemáticas 7 (trad. ed.). Nueva York y Heidelberg: Springer-Verlag . ISBN 9780387900407.