Serie de Eisenstein

Series que representan formas modulares

Las series de Eisenstein , llamadas así por el matemático alemán Gotthold Eisenstein , ^{[1] son} ​​formas modulares particulares con expansiones en serie infinitas que pueden escribirse directamente. Originalmente definidas para el grupo modular , las series de Eisenstein pueden generalizarse en la teoría de formas automórficas .

Serie de Eisenstein para el grupo modular

La parte real de G ₆ en función de q en el disco unitario . Los números negativos están en negro.

La parte imaginaria de G ₆ en función de q en el disco unitario.

Sea τ un número complejo con parte imaginaria estrictamente positiva . Defina la serie de Eisenstein holomorfa G _{2 k} ( τ ) de peso 2 k , donde k ≥ 2 es un entero, mediante la siguiente serie: ^[2]

${\displaystyle G_{2k}(\tau )=\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {1}{(m+n\tau )^{2k}}}.}$

Esta serie converge absolutamente a una función holomorfa de τ en el semiplano superior y su expansión de Fourier dada a continuación muestra que se extiende a una función holomorfa en τ = i ∞ . Es un hecho notable que la serie de Eisenstein es una forma modular . De hecho, la propiedad clave es su SL(2, ) ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -covarianza. Explícitamente si a , b , c , d ∈ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ y ad − bc = 1 entonces

${\displaystyle G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=(c\tau +d)^{2k}G_{2k}(\tau )}$

(Prueba)

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)&=\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {1}{\left(m+n{\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)^{2k}}}\\&=\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {(c\tau +d)^{2k}}{(md+nb+(mc+na)\tau )^{2k}}}\\&=\sum _{\left(m',n'\right)=(m,n){\begin{pmatrix}d\ \ c\\b\ \ a\end{pmatrix}} \atop (m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {(c\tau +d)^{2k}}{\left(m'+n'\tau \right)^{2k}}}\end{aligned}}}$

Si ad − bc = 1 entonces

${\displaystyle {\begin{pmatrix}d&c\\b&a\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}\ a&-c\\-b&\ d\end{pmatrix}}}$

de modo que

${\displaystyle (m,n)\mapsto (m,n){\begin{pmatrix}d&c\\b&a\end{pmatrix}}}$

es una biyección ² → ² , es decir: ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \sum _{\left(m',n'\right)=(m,n){\begin{pmatrix}d\ \ c\\b\ \ a\end{pmatrix}} \atop (m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {1}{\left(m'+n'\tau \right)^{2k}}}=\sum _{\left(m',n'\right)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {1}{(m'+n'\tau )^{2k}}}=G_{2k}(\tau )}$

En general, si ad − bc = 1 entonces

${\displaystyle G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=(c\tau +d)^{2k}G_{2k}(\tau )}$

y G _{2 k} es por lo tanto una forma modular del peso 2 k . Nótese que es importante suponer que k ≥ 2 , de lo contrario sería ilegítimo cambiar el orden de suma, y ​​la invariancia SL(2, ) ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ no se mantendría. De hecho, no hay formas modulares no triviales del peso 2. No obstante, se puede definir un análogo de la serie de Eisenstein holomorfa incluso para k = 1 , aunque solo sería una forma cuasimodular .

Nótese que k ≥ 2 es necesario para que la serie converja absolutamente, mientras que k debe ser par, de lo contrario la suma se anula porque los términos (- m , - n ) y ( m , n ) se cancelan. Para k = 2 la serie converge pero no es una forma modular.

Relación con invariantes modulares

Los invariantes modulares g ₂ y g ₃ de una curva elíptica están dados por las dos primeras series de Eisenstein: ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{2}&=60G_{4}\\g_{3}&=140G_{6}.\end{aligned}}}$

El artículo sobre invariantes modulares proporciona expresiones para estas dos funciones en términos de funciones theta .

Relación de recurrencia

Cualquier forma modular holomorfa para el grupo modular ^[4] puede escribirse como un polinomio en G ₄ y G ₆ . Específicamente, el orden superior G _{2 k} puede escribirse en términos de G ₄ y G ₆ a través de una relación de recurrencia . Sea d _k = (2 k + 3) k ! G _{2 k + 4} , por lo que, por ejemplo, d ₀ = 3 G ₄ y d ₁ = 5 G ₆ . Entonces, los d _k satisfacen la relación

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}d_{k}d_{n-k}={\frac {2n+9}{3n+6}}d_{n+2}}$

para todo n ≥ 0. Aquí, es el coeficiente binomial . ${\displaystyle n \choose k}$

Las d _k aparecen en la expansión en serie de las funciones elípticas de Weierstrass :

${\displaystyle {\begin{aligned}\wp (z)&={\frac {1}{z^{2}}}+z^{2}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {d_{k}z^{2k}}{k!}}\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }(2k+1)G_{2k+2}z^{2k}.\end{aligned}}}$

Serie de Fourier

G ₄

G ₆

G ₈

G10_​

G ₁₂

G ₁₄

Defina q = e ^{2π iτ} . (Algunos libros antiguos definen q como el nombre q = e ^{π iτ} , pero q = e ^{2 π iτ} es ahora estándar en la teoría de números). Entonces la serie de Fourier de la serie de Eisenstein ^[5] es

${\displaystyle G_{2k}(\tau )=2\zeta (2k)\left(1+c_{2k}\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{2k-1}(n)q^{n}\right)}$

donde los coeficientes c _{2 k} están dados por

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{2k}&={\frac {(2\pi i)^{2k}}{(2k-1)!\zeta (2k)}}\\[4pt]&={\frac {-4k}{B_{2k}}}={\frac {2}{\zeta (1-2k)}}.\end{aligned}}}$

Aquí, B _n son los números de Bernoulli , ζ ( z ) es la función zeta de Riemann y σ _p ( n ) es la función suma de los divisores , la suma de las potencias p de los divisores de n . En particular, se tiene

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{4}(\tau )&={\frac {\pi ^{4}}{45}}\left(1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{n}\right)\\[4pt]G_{6}(\tau )&={\frac {2\pi ^{6}}{945}}\left(1-504\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{5}(n)q^{n}\right).\end{aligned}}}$

La suma sobre q se puede resumir como una serie de Lambert ; es decir, se tiene

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{a}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}}$

Para complejos arbitrarios | q | < 1 y a . Cuando se trabaja con la expansión q de la serie de Eisenstein, se introduce con frecuencia esta notación alternativa:

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{2k}(\tau )&={\frac {G_{2k}(\tau )}{2\zeta (2k)}}\\&=1+{\frac {2}{\zeta (1-2k)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2k-1}q^{n}}{1-q^{n}}}\\&=1-{\frac {4k}{B_{2k}}}\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{2k-1}(n)q^{n}\\&=1-{\frac {4k}{B_{2k}}}\sum _{d,n\geq 1}n^{2k-1}q^{nd}.\end{aligned}}}$

Identidades que involucran la serie Eisenstein

Como funciones theta

Fuente: ^[6]

Dado q = e ^{2 π iτ} , sea

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{4}(\tau )&=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}\\E_{6}(\tau )&=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}}\\E_{8}(\tau )&=1+480\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{7}q^{n}}{1-q^{n}}}\end{aligned}}}$

y definir las funciones theta de Jacobi que normalmente utilizan el nombre e ^{π iτ} ,

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=\theta _{2}\left(0;e^{\pi i\tau }\right)=\vartheta _{10}(0;\tau )\\b&=\theta _{3}\left(0;e^{\pi i\tau }\right)=\vartheta _{00}(0;\tau )\\c&=\theta _{4}\left(0;e^{\pi i\tau }\right)=\vartheta _{01}(0;\tau )\end{aligned}}}$

donde θ _m y ϑ _ij son notaciones alternativas. Entonces tenemos las relaciones simétricas,

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{4}(\tau )&={\tfrac {1}{2}}\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)\\[4pt]E_{6}(\tau )&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)^{3}-54(abc)^{8}}{2}}}\\[4pt]E_{8}(\tau )&={\tfrac {1}{2}}\left(a^{16}+b^{16}+c^{16}\right)=a^{8}b^{8}+a^{8}c^{8}+b^{8}c^{8}\end{aligned}}}$

El álgebra básica implica inmediatamente

${\displaystyle E_{4}^{3}-E_{6}^{2}={\tfrac {27}{4}}(abc)^{8}}$

una expresión relacionada con el discriminante modular ,

${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}=(2\pi )^{12}\left({\tfrac {1}{2}}abc\right)^{8}}$

La tercera relación simétrica, por otra parte, es una consecuencia de E ₈ = E²
₄y a ⁴ − b ⁴ + c ⁴ = 0 .

Productos de la serie Eisenstein

Las series de Eisenstein constituyen los ejemplos más explícitos de formas modulares para el grupo modular completo SL(2, ) ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ . Puesto que el espacio de formas modulares de peso 2 k tiene dimensión 1 para 2 k = 4, 6, 8, 10, 14 , los diferentes productos de las series de Eisenstein que tengan esos pesos tienen que ser iguales hasta un múltiplo escalar. De hecho, obtenemos las identidades: ^[7]

${\displaystyle E_{4}^{2}=E_{8},\quad E_{4}E_{6}=E_{10},\quad E_{4}E_{10}=E_{14},\quad E_{6}E_{8}=E_{14}.}$

Usando las q -expansiones de la serie de Eisenstein dadas arriba, pueden reformularse como identidades que involucran las sumas de potencias de divisores:

${\displaystyle \left(1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{n}\right)^{2}=1+480\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{7}(n)q^{n},}$

por eso

${\displaystyle \sigma _{7}(n)=\sigma _{3}(n)+120\sum _{m=1}^{n-1}\sigma _{3}(m)\sigma _{3}(n-m),}$

y lo mismo para los demás. La función theta de una red unimodular de ocho dimensiones Γ es una forma modular de peso 4 para el grupo modular completo, lo que da las siguientes identidades:

${\displaystyle \theta _{\Gamma }(\tau )=1+\sum _{n=1}^{\infty }r_{\Gamma }(2n)q^{n}=E_{4}(\tau ),\qquad r_{\Gamma }(n)=240\sigma _{3}(n)}$

para el número r _Γ ( n ) de vectores de longitud al cuadrado 2 n en la red raíz del tipo E ₈ .

Técnicas similares que involucran series de Eisenstein holomórficas torcidas por un carácter de Dirichlet producen fórmulas para el número de representaciones de un entero positivo n ' como una suma de dos, cuatro u ocho cuadrados en términos de los divisores de n .

Utilizando la relación de recurrencia anterior, todos los E _{2 k} superiores se pueden expresar como polinomios en E ₄ y E ₆ . Por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{8}&=E_{4}^{2}\\E_{10}&=E_{4}\cdot E_{6}\\691\cdot E_{12}&=441\cdot E_{4}^{3}+250\cdot E_{6}^{2}\\E_{14}&=E_{4}^{2}\cdot E_{6}\\3617\cdot E_{16}&=1617\cdot E_{4}^{4}+2000\cdot E_{4}\cdot E_{6}^{2}\\43867\cdot E_{18}&=38367\cdot E_{4}^{3}\cdot E_{6}+5500\cdot E_{6}^{3}\\174611\cdot E_{20}&=53361\cdot E_{4}^{5}+121250\cdot E_{4}^{2}\cdot E_{6}^{2}\\77683\cdot E_{22}&=57183\cdot E_{4}^{4}\cdot E_{6}+20500\cdot E_{4}\cdot E_{6}^{3}\\236364091\cdot E_{24}&=49679091\cdot E_{4}^{6}[phone]\cdot E_{4}^{3}\cdot E_{6}^{2}[phone]\cdot E_{6}^{4}\end{aligned}}}$

Muchas relaciones entre productos de series de Eisenstein se pueden escribir de manera elegante utilizando determinantes de Hankel , por ejemplo, la identidad de Garvan.

${\displaystyle \left({\frac {\Delta }{(2\pi )^{12}}}\right)^{2}=-{\frac {691}{1728^{2}\cdot 250}}\det {\begin{vmatrix}E_{4}&E_{6}&E_{8}\\E_{6}&E_{8}&E_{10}\\E_{8}&E_{10}&E_{12}\end{vmatrix}}}$

dónde

${\displaystyle \Delta =(2\pi )^{12}{\frac {E_{4}^{3}-E_{6}^{2}}{1728}}}$

es el discriminante modular . ^[8]

Identidades de Ramanujan

Srinivasa Ramanujan dio varias identidades interesantes entre las primeras series de Eisenstein que involucraban diferenciación. ^[9] Sea

${\displaystyle {\begin{aligned}L(q)&=1-24\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nq^{n}}{1-q^{n}}}&&=E_{2}(\tau )\\M(q)&=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}&&=E_{4}(\tau )\\N(q)&=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}}&&=E_{6}(\tau ),\end{aligned}}}$

entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}q{\frac {dL}{dq}}&={\frac {L^{2}-M}{12}}\\q{\frac {dM}{dq}}&={\frac {LM-N}{3}}\\q{\frac {dN}{dq}}&={\frac {LN-M^{2}}{2}}.\end{aligned}}}$

Estas identidades, al igual que las identidades entre las series, producen identidades de convolución aritmética que involucran la función suma del divisor . Siguiendo a Ramanujan, para poner estas identidades en la forma más simple es necesario extender el dominio de σ _p ( n ) para incluir cero, estableciendo

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{p}(0)={\tfrac {1}{2}}\zeta (-p)\quad \Longrightarrow \quad \sigma (0)&=-{\tfrac {1}{24}}\\\sigma _{3}(0)&={\tfrac {1}{240}}\\\sigma _{5}(0)&=-{\tfrac {1}{504}}.\end{aligned}}}$

Entonces, por ejemplo

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\sigma (k)\sigma (n-k)={\tfrac {5}{12}}\sigma _{3}(n)-{\tfrac {1}{2}}n\sigma (n).}$

Otras identidades de este tipo, pero no relacionadas directamente con las relaciones precedentes entre las funciones L , M y N , han sido probadas por Ramanujan y Giuseppe Melfi , ^{[10] [11]} como por ejemplo

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}\sigma _{3}(k)\sigma _{3}(n-k)&={\tfrac {1}{120}}\sigma _{7}(n)\\\sum _{k=0}^{n}\sigma (2k+1)\sigma _{3}(n-k)&={\tfrac {1}{240}}\sigma _{5}(2n+1)\\\sum _{k=0}^{n}\sigma (3k+1)\sigma (3n-3k+1)&={\tfrac {1}{9}}\sigma _{3}(3n+2).\end{aligned}}}$

Generalizaciones

Las formas automórficas generalizan la idea de formas modulares para grupos de Lie generales ; y las series de Eisenstein se generalizan de manera similar.

Si se define O _K como el anillo de números enteros de un cuerpo de números algebraicos totalmente real K , se define el grupo modular de Hilbert-Blumenthal como PSL(2, O _K ) . A continuación, se puede asociar una serie de Eisenstein a cada cúspide del grupo modular de Hilbert-Blumenthal.

Referencias

1. "Gotthold Eisenstein - Biografía". Historia de las matemáticas . Consultado el 5 de septiembre de 2023 .
2. Gekeler, Ernst-Ulrich (2011). "SERIES PARA-EISENSTEIN PARA EL GRUPO MODULAR GL(2, 𝔽q[T])". Revista taiwanesa de matemáticas . 15 (4): 1463–1475. doi : 10.11650/twjm/1500406358 . ISSN  1027-5487. S2CID  119499748.
3. Obers, NA; Pioline, B. (7 de marzo de 2000). "Series de Eisenstein en la teoría de cuerdas". Gravedad clásica y cuántica . 17 (5): 1215–1224. arXiv : hep-th/9910115 . Código Bibliográfico :2000CQGra..17.1215O. doi :10.1088/0264-9381/17/5/330. ISSN  0264-9381. S2CID  250864942.
4. Mertens, Michael H.; Rolen, Larry (2015). "Recurrencias lacunares para series de Eisenstein". Investigación en teoría de números . 1 . arXiv : 1504.00356 . doi : 10.1007/s40993-015-0010-x . ISSN  2363-9555.
5. Karel, Martin L. (1974). "Coeficientes de Fourier de ciertas series de Eisenstein". Anales de Matemáticas . 99 (1): 176–202. doi :10.2307/1971017. ISSN  0003-486X. JSTOR  1971017.
6. "¿Cómo demostrar esta identidad de serie que involucra series de Eisenstein?". Mathematics Stack Exchange . Consultado el 5 de septiembre de 2023 .
7. Dickson, Martin; Neururer, Michael (2018). "Productos de series de Eisenstein y expansiones de Fourier de formas modulares en cúspides". Revista de teoría de números . 188 : 137–164. arXiv : 1603.00774 . doi :10.1016/j.jnt.2017.12.013. S2CID  119614418.
8. Milne, Steven C. (2000). "Determinantes de Hankel de la serie de Eisenstein". arXiv : math/0009130v3 .El artículo utiliza una definición no equivalente de , pero esto se ha tenido en cuenta en este artículo. ${\displaystyle \Delta }$
9. Bhuvan, EN; Vasuki, KR (24 de junio de 2019). "Sobre una identidad de la serie de Eisenstein de Ramanujan de nivel quince". Actas - Ciencias Matemáticas . 129 (4): 57. doi :10.1007/s12044-019-0498-4. ISSN  0973-7685. S2CID  255485301.
10. Ramanujan, Srinivasa (1962). "Sobre ciertas funciones aritméticas". Collected Papers . Nueva York, NY: Chelsea. págs. 136–162.
11. Melfi, Giuseppe (1998). "Sobre algunas identidades modulares". Teoría de números, aspectos diofánticos, computacionales y algebraicos: Actas de la Conferencia Internacional celebrada en Eger, Hungría . Walter de Grutyer & Co. págs. 371–382.

Lectura adicional

• Akhiezer, Naum Illyich (1970). Elementos de la teoría de funciones elípticas (en ruso). Moscú.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)Traducido al inglés como Elementos de la teoría de funciones elípticas . Traducciones de monografías matemáticas de la AMS 79. Providence, RI: American Mathematical Society . 1990. ISBN. 0-8218-4532-2.
• Apostol, Tom M. (1990). Funciones modulares y series de Dirichlet en la teoría de números (2.ª ed.). Nueva York, NY: Springer . ISBN 0-387-97127-0.
• Chan, Heng Huat; Ong, Yau Lin (1999). "Sobre la serie de Eisenstein" (PDF) . Proc. Amer. Math. Soc . 127 (6): 1735–1744. doi : 10.1090/S0002-9939-99-04832-7 .
• Iwaniec, Henryk (2002). Métodos espectrales de formas automórficas . Estudios de posgrado en matemáticas 53 (2.ª ed.). Providence, RI: American Mathematical Society . cap. 3. ISBN. 0-8218-3160-7.
• Serre, Jean-Pierre (1973). Un curso de aritmética . Textos de posgrado en matemáticas 7 (ed. traducida). Nueva York y Heidelberg: Springer-Verlag . ISBN. 9780387900407.