Función elíptica de Weierstrass

Clase de funciones matemáticas

En matemáticas , las funciones elípticas de Weierstrass son funciones elípticas que adoptan una forma particularmente simple. Reciben su nombre de Karl Weierstrass . Esta clase de funciones también se conoce como funciones ℘ y generalmente se denotan con el símbolo ℘, una escritura única y elegante p . Desempeñan un papel importante en la teoría de funciones elípticas, es decir, funciones meromórficas que son doblemente periódicas . Una función ℘ junto con su derivada se puede utilizar para parametrizar curvas elípticas y generan el campo de funciones elípticas con respecto a una red de períodos dada.

Símbolo de la función Weierstrass ${\displaystyle \wp }$

Modelo de la función de Weierstrass ${\displaystyle \wp }$

Motivación

Un cúbico de la forma , donde son números complejos con , no se puede parametrizar racionalmente . ^[1] Sin embargo, todavía se desea encontrar una forma de parametrizarlo. ${\displaystyle C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}\}}$ ${\displaystyle g_{2},g_{3}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}\neq 0}$

Para la cuadrática , el círculo unitario , existe una parametrización (no racional) que utiliza la función seno y su derivada, la función coseno: Debido a que se elige la periodicidad del seno y el coseno como dominio, la función es biyectiva. ${\displaystyle K=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=1\right\}}$ $${\displaystyle \psi :\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} \to K,\quad t\mapsto (\sin t,\cos t).}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$

De manera similar, se puede obtener una parametrización de mediante la función doblemente periódica (ver en la sección "Relación con curvas elípticas"). Esta parametrización tiene el dominio , que es topológicamente equivalente a un toro . ^[2] ${\displaystyle C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \wp }$ ${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$

Existe otra analogía con las funciones trigonométricas. Consideremos la función integral. Se puede simplificar sustituyendo y : Eso significa . Por lo tanto, la función seno es una función inversa de una función integral. ^[3] $${\displaystyle a(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dy}{\sqrt {1-y^{2}}}}.}$$ ${\displaystyle y=\sin t}$ ${\displaystyle s=\arcsin x}$ $${\displaystyle a(x)=\int _{0}^{s}dt=s=\arcsin x.}$$ ${\displaystyle a^{-1}(x)=\sin x}$

Las funciones elípticas son las funciones inversas de las integrales elípticas . En particular, sea: Entonces la extensión de al plano complejo es igual a la función -. ^[4] Esta invertibilidad se utiliza en el análisis complejo para proporcionar una solución a ciertas ecuaciones diferenciales no lineales que satisfacen la propiedad de Painlevé , es decir, aquellas ecuaciones que admiten polos como sus únicas singularidades móviles . ^[5] $${\displaystyle u(z)=\int _{z}^{\infty }{\frac {ds}{\sqrt {4s^{3}-g_{2}s-g_{3}}}}.}$$ ${\displaystyle u^{-1}}$ ${\displaystyle \wp }$

Definición

Visualización de la función con invariantes y en la que el blanco corresponde a un polo, el negro a un cero. ${\displaystyle \wp }$ ${\displaystyle g_{2}=1+i}$ ${\displaystyle g_{3}=2-3i}$

Sean dos números complejos que sean linealmente independientes y sea la red de períodos generada por esos números. Entonces la función se define de la siguiente manera: ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \Lambda :=\mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}:=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}:m,n\in \mathbb {Z} \}}$ ${\displaystyle \wp }$

${\displaystyle \wp (z,\omega _{1},\omega _{2}):=\wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right).}$

Esta serie converge localmente de manera uniforme y absoluta en el toro complejo . ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \Lambda }$

Es común utilizar y en el semiplano superior como generadores de la red . Dividir por mapea la red isomorfamente sobre la red con . Como se puede sustituir por , sin pérdida de generalidad podemos suponer , y luego definir . ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \mathbb {H} :=\{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} (z)>0\}}$ ${\textstyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} +\mathbb {Z} \tau }$ ${\textstyle \tau ={\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}}$ ${\displaystyle -\tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \wp (z,\tau ):=\wp (z,1,\tau )}$

Propiedades

• ${\displaystyle \wp }$es una función meromórfica con un polo de orden 2 en cada período en . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Lambda }$
• ${\displaystyle \wp }$es una función par. Esto significa que para todo , lo que se puede ver de la siguiente manera: ${\displaystyle \wp (z)=\wp (-z)}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \Lambda }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\wp (-z)&={\frac {1}{(-z)^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(-z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z+\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)=\wp (z).\end{aligned}}}$

La segunda última igualdad se cumple porque . Como la suma converge de manera absoluta, este reordenamiento no modifica el límite. ${\displaystyle \{-\lambda :\lambda \in \Lambda \}=\Lambda }$

• La derivada de está dada por: ^[6] ${\displaystyle \wp }$ $${\displaystyle \wp '(z)=-2\sum _{\lambda \in \Lambda }{\frac {1}{(z-\lambda )^{3}}}.}$$
• ${\displaystyle \wp }$y son doblemente periódicos con los períodos y . ^[6] Esto significa: Se deduce que y para todo . ${\displaystyle \wp '}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\wp (z+\omega _{1})&=\wp (z)=\wp (z+\omega _{2}),\ {\textrm {and}}\\[3mu]\wp '(z+\omega _{1})&=\wp '(z)=\wp '(z+\omega _{2}).\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \wp (z+\lambda )=\wp (z)}$ ${\displaystyle \wp '(z+\lambda )=\wp '(z)}$ ${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$

Expansión de Laurent

Sea . Entonces, para la función - tiene la siguiente expansión de Laurent donde para son las llamadas series de Eisenstein . ^[6] ${\displaystyle r:=\min\{{|\lambda }|:0\neq \lambda \in \Lambda \}}$ ${\displaystyle 0<|z|<r}$ ${\displaystyle \wp }$ $${\displaystyle \wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)G_{2n+2}z^{2n}}$$ $${\displaystyle G_{n}=\sum _{0\neq \lambda \in \Lambda }\lambda ^{-n}}$$ ${\displaystyle n\geq 3}$

Ecuación diferencial

Establezca y . Entonces la función satisface la ecuación diferencial ^[6] Esta relación se puede verificar formando una combinación lineal de potencias de y para eliminar el polo en . Esto produce una función elíptica completa que tiene que ser constante según el teorema de Liouville . ^[6] ${\displaystyle g_{2}=60G_{4}}$ ${\displaystyle g_{3}=140G_{6}}$ ${\displaystyle \wp }$ $${\displaystyle \wp '^{2}(z)=4\wp ^{3}(z)-g_{2}\wp (z)-g_{3}.}$$ ${\displaystyle \wp }$ ${\displaystyle \wp '}$ ${\displaystyle z=0}$

Invariantes

La parte real del invariante g ₃ en función del cuadrado del nombre q en el disco unitario.

La parte imaginaria del invariante g ₃ en función del cuadrado del nombre q en el disco unitario.

Los coeficientes de la ecuación diferencial anterior g ₂ y g ₃ se conocen como invariantes . Como dependen de la red, se pueden considerar como funciones en y . ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$

La expansión de la serie sugiere que g ₂ y g ₃ son funciones homogéneas de grado −4 y −6. Es decir ^[7] para . $${\displaystyle g_{2}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})}$$ $${\displaystyle g_{3}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})}$$ ${\displaystyle \lambda \neq 0}$

Si y se eligen de tal manera que , g ₂ y g ₃ pueden interpretarse como funciones en el semiplano superior . ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left({\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}\right)>0}$ ${\displaystyle \mathbb {H} :=\{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} (z)>0\}}$

Sea . Se tiene: ^[8] Eso significa que g ₂ y g ₃ solo se escalan haciendo esto. Conjunto y Como funciones de son las llamadas formas modulares. ${\displaystyle \tau ={\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}}$ $${\displaystyle g_{2}(1,\tau )=\omega _{1}^{4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2}),}$$ $${\displaystyle g_{3}(1,\tau )=\omega _{1}^{6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2}).}$$ $${\displaystyle g_{2}(\tau ):=g_{2}(1,\tau )}$$ $${\displaystyle g_{3}(\tau ):=g_{3}(1,\tau ).}$$ ${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }$ ${\displaystyle g_{2},g_{3}}$

Las series de Fourier para y se dan como sigue: ^[9] donde es la función divisor y es el nombre . ${\displaystyle g_{2}}$ ${\displaystyle g_{3}}$ $${\displaystyle g_{2}(\tau )={\frac {4}{3}}\pi ^{4}\left[1+240\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _{3}(k)q^{2k}\right]}$$ $${\displaystyle g_{3}(\tau )={\frac {8}{27}}\pi ^{6}\left[1-504\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _{5}(k)q^{2k}\right]}$$ $${\displaystyle \sigma _{a}(k):=\sum _{d\mid {k}}d^{\alpha }}$$ ${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$

Discriminante modular

La parte real del discriminante en función del cuadrado del nombre q en el disco unitario.

El discriminante modular Δ se define como el discriminante del polinomio característico de la ecuación diferencial de la siguiente manera: El discriminante es una forma modular de peso 12. Es decir, bajo la acción del grupo modular , se transforma en donde con ad  −  bc = 1. ^[10] $${\displaystyle \wp '^{2}(z)=4\wp ^{3}(z)-g_{2}\wp (z)-g_{3}}$$ $${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}.}$$ $${\displaystyle \Delta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\left(c\tau +d\right)^{12}\Delta (\tau )}$$ ${\displaystyle a,b,d,c\in \mathbb {Z} }$

Nótese que donde es la función eta de Dedekind . ^[11] ${\displaystyle \Delta =(2\pi )^{12}\eta ^{24}}$ ${\displaystyle \eta }$

Para los coeficientes de Fourier de , véase la función tau de Ramanujan . ${\displaystyle \Delta }$

Las constantesmi1,mi2ymi3

${\displaystyle e_{1}}$, y se utilizan generalmente para indicar los valores de la función en los semiperíodos. Son pares distintos y sólo dependen de la red y no de sus generadores. ^[12] ${\displaystyle e_{2}}$ ${\displaystyle e_{3}}$ ${\displaystyle \wp }$ $${\displaystyle e_{1}\equiv \wp \left({\frac {\omega _{1}}{2}}\right)}$$ $${\displaystyle e_{2}\equiv \wp \left({\frac {\omega _{2}}{2}}\right)}$$ $${\displaystyle e_{3}\equiv \wp \left({\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}\right)}$$ ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle e_{1}}$, y son las raíces del polinomio cúbico y están relacionadas por la ecuación: Debido a que esas raíces son distintas, el discriminante no se desvanece en el semiplano superior. ^[13] Ahora podemos reescribir la ecuación diferencial: Eso significa que los semiperíodos son ceros de . ${\displaystyle e_{2}}$ ${\displaystyle e_{3}}$ ${\displaystyle 4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}}$ $${\displaystyle e_{1}+e_{2}+e_{3}=0.}$$ ${\displaystyle \Delta }$ $${\displaystyle \wp '^{2}(z)=4(\wp (z)-e_{1})(\wp (z)-e_{2})(\wp (z)-e_{3}).}$$ ${\displaystyle \wp '}$

Los invariantes y se pueden expresar en términos de estas constantes de la siguiente manera: ^[14] , y están relacionados con la función lambda modular : ${\displaystyle g_{2}}$ ${\displaystyle g_{3}}$ $${\displaystyle g_{2}=-4(e_{1}e_{2}+e_{1}e_{3}+e_{2}e_{3})}$$ $${\displaystyle g_{3}=4e_{1}e_{2}e_{3}}$$ ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle e_{2}}$ ${\displaystyle e_{3}}$ $${\displaystyle \lambda (\tau )={\frac {e_{3}-e_{2}}{e_{1}-e_{2}}},\quad \tau ={\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}.}$$

Relación con las funciones elípticas de Jacobi

Para el trabajo numérico, a menudo es conveniente calcular la función elíptica de Weierstrass en términos de las funciones elípticas de Jacobi .

Las relaciones básicas son: ^[15] donde y son las tres raíces descritas anteriormente y donde el módulo k de las funciones de Jacobi es igual a y su argumento w es igual a $${\displaystyle \wp (z)=e_{3}+{\frac {e_{1}-e_{3}}{\operatorname {sn} ^{2}w}}=e_{2}+(e_{1}-e_{3}){\frac {\operatorname {dn} ^{2}w}{\operatorname {sn} ^{2}w}}=e_{1}+(e_{1}-e_{3}){\frac {\operatorname {cn} ^{2}w}{\operatorname {sn} ^{2}w}}}$$ ${\displaystyle e_{1},e_{2}}$ ${\displaystyle e_{3}}$ $${\displaystyle k={\sqrt {\frac {e_{2}-e_{3}}{e_{1}-e_{3}}}}}$$ $${\displaystyle w=z{\sqrt {e_{1}-e_{3}}}.}$$

Relación con las funciones theta de Jacobi

La función se puede representar mediante las funciones theta de Jacobi : donde es el nombre y es la relación del período . ^[16] Esto también proporciona un algoritmo muy rápido para calcular . ${\displaystyle \wp (z,\tau )=\wp (z,1,\omega _{2}/\omega _{1})}$ $${\displaystyle \wp (z,\tau )=\left(\pi \theta _{2}(0,q)\theta _{3}(0,q){\frac {\theta _{4}(\pi z,q)}{\theta _{1}(\pi z,q)}}\right)^{2}-{\frac {\pi ^{2}}{3}}\left(\theta _{2}^{4}(0,q)+\theta _{3}^{4}(0,q)\right)}$$ ${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle (\tau \in \mathbb {H} )}$ ${\displaystyle \wp (z,\tau )}$

Relación con las curvas elípticas

Consideremos la incrustación de la curva cúbica en el plano proyectivo complejo.

${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}\}\cup \{\infty \}\subset \mathbb {C} ^{2}\cup \{\infty \}=\mathbb {P} _{2}(\mathbb {C} ).}$

Para esta cúbica no existe parametrización racional, si . ^[1] En este caso también se denomina curva elíptica. Sin embargo existe una parametrización en coordenadas homogéneas que utiliza la función y su derivada : ^[17] ${\displaystyle \Delta \neq 0}$ ${\displaystyle \wp }$ ${\displaystyle \wp '}$

${\displaystyle \varphi (\wp ,\wp '):\mathbb {C} /\Lambda \to {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} },\quad z\mapsto {\begin{cases}\left[\wp (z):\wp '(z):1\right]&z\notin \Lambda \\\left[0:1:0\right]\quad &z\in \Lambda \end{cases}}}$

Ahora el mapa es biyectivo y parametriza la curva elíptica . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$

${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$es un grupo abeliano y un espacio topológico , dotado de la topología cociente .

Se puede demostrar que toda cúbica de Weierstrass está dada de tal manera. Es decir que para cada par con existe una red , tal que ${\displaystyle g_{2},g_{3}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}\neq 0}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}}$

${\displaystyle g_{2}=g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})}$y . ^[18] ${\displaystyle g_{3}=g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})}$

La afirmación de que las curvas elípticas sobre pueden parametrizarse sobre , se conoce como teorema de modularidad . Este es un teorema importante en la teoría de números . Fue parte de la prueba de Andrew Wiles (1995) del Último teorema de Fermat . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Teoremas de adición

Sea , de modo que . Entonces se tiene: ^[19] ${\displaystyle z,w\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle z,w,z+w,z-w\notin \Lambda }$ $${\displaystyle \wp (z+w)={\frac {1}{4}}\left[{\frac {\wp '(z)-\wp '(w)}{\wp (z)-\wp (w)}}\right]^{2}-\wp (z)-\wp (w).}$$

Además de la fórmula de duplicación: ^[19] $${\displaystyle \wp (2z)={\frac {1}{4}}\left[{\frac {\wp ''(z)}{\wp '(z)}}\right]^{2}-2\wp (z).}$$

Estas fórmulas también tienen una interpretación geométrica, si se observa la curva elíptica junto con el mapeo como en la sección anterior. ${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle {\varphi }:\mathbb {C} /\Lambda \to {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$

La estructura del grupo se traduce en una curva y puede interpretarse geométricamente allí: ${\displaystyle (\mathbb {C} /\Lambda ,+)}$ ${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$

La suma de tres puntos diferentes es cero si y sólo si se encuentran en la misma línea en . ^[20] ${\displaystyle a,b,c\in {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{2}}$

Esto es equivalente a: donde , y . ^[21] $${\displaystyle \det \left({\begin{array}{rrr}1&\wp (u+v)&-\wp '(u+v)\\1&\wp (v)&\wp '(v)\\1&\wp (u)&\wp '(u)\\\end{array}}\right)=0,}$$ ${\displaystyle \wp (u)=a}$ ${\displaystyle \wp (v)=b}$ ${\displaystyle u,v\notin \Lambda }$

Tipografía

La función elíptica de Weierstrass se escribe habitualmente con una letra minúscula bastante especial, ℘, que fue la notación del propio Weierstrass introducida en sus conferencias de 1862-1863. ^{[nota 1]} No debe confundirse con las letras de escritura matemática normales P, 𝒫 y 𝓅.

En informática, la letra ℘ está disponible como \wpen TeX . En Unicode, el punto de código es U+2118 ℘ SCRIPT CAPITAL P ( ℘, ℘ ), con el alias más correcto weierstrass elliptic function . ^{[nota al pie 2]} En HTML , se puede escapar como .℘

Véase también

• Funciones de Weierstrass
• Funciones elípticas de Jacobi
• Funciones elípticas lemniscatas

Notas al pie

1. Este símbolo también se utilizó en la versión de las conferencias de Weierstrass publicada por Schwarz en la década de 1880. La primera edición de Un curso de análisis moderno de ET Whittaker en 1902 también lo utilizó. ^[22]
2. El Consorcio Unicode ha reconocido dos problemas con el nombre de la letra: la letra está en realidad en minúscula y no es una letra de clase "script", como U+1D4C5 𝓅 MATHEMATICAL SCRIPT SMALL P , sino la letra de la función elíptica de Weierstrass. Unicode añadió el alias como corrección. ^{[23] [24]}

Referencias

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Enlaces externos

• "Funciones elípticas de Weierstrass", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Funciones elípticas de Weierstrass en Mathworld.
• Capítulo 23, Funciones elípticas y modulares de Weierstrass en DLMF ( Biblioteca digital de funciones matemáticas ) por WP Reinhardt y PL Walker.
• Función P de Weierstrass y su derivada implementadas en C por David Dumas