Función doblemente periódica

En matemáticas , una función doblemente periódica es una función definida en el plano complejo y que tiene dos "períodos", que son números complejos u y v que son linealmente independientes como vectores sobre el campo de los números reales . Que u y v son períodos de una función ƒ significa que

${\displaystyle f(z+u)=f(z+v)=f(z)\,}$

para todos los valores del número complejo  z . ^{[1] [2]}

La función doblemente periódica es, por tanto, una extensión bidimensional de la función monoperiódico más simple , que se repite en una única dimensión. Ejemplos familiares de funciones con un solo período en la recta numérica real incluyen funciones trigonométricas como coseno y seno . En el plano complejo, la función exponencial e ^z es una función periódica única, con período 2 πi .

Ejemplos

Como mapeo arbitrario de pares de reales (o números complejos) a reales, se puede construir una función doblemente periódica con poco esfuerzo. Por ejemplo, supongamos que los períodos son 1 e  i , de modo que la red que se repite es el conjunto de cuadrados unitarios con vértices en los enteros gaussianos . Los valores en el cuadrado prototipo (es decir, x  +  iy donde 0 ≤  x  < 1 y 0 ≤  y  < 1) pueden asignarse de forma bastante arbitraria y luego "copiarse" a los cuadrados adyacentes. Esta función será entonces necesariamente doblemente periódica.

Si los vectores 1 e i en este ejemplo se reemplazan por vectores linealmente independientes u y v , el cuadrado prototipo se convierte en un paralelogramo prototipo que aún recubre el plano . El "origen" de la red de paralelogramos no tiene por qué ser el punto 0: la red puede comenzar desde cualquier punto. En otras palabras, podemos pensar que el plano y sus valores funcionales asociados permanecen fijos y traducir mentalmente la red para comprender mejor las características de la función.

Uso de análisis complejos.

Si una función doblemente periódica es también una función compleja que satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann y proporciona una función analítica alejada de algún conjunto de polos aislados (en otras palabras, una función meromórfica ), entonces se puede obtener mucha información sobre dicha función. aplicando algunos teoremas básicos del análisis complejo.

• Una función doblemente periódica meromorfa no constante no puede estar acotada en el paralelogramo prototipo. Porque si así fuera, estaría acotado en todas partes y, por tanto, constante según el teorema de Liouville .
• Como la función es meromorfa, no tiene singularidades esenciales y sus polos están aislados. Por tanto se puede construir una red trasladada que no pase por ningún polo. La integral de contorno alrededor de cualquier paralelogramo en la red debe desaparecer, porque los valores asumidos por la función doblemente periódica a lo largo de los dos pares de lados paralelos son idénticos, y los dos pares de lados se atraviesan en direcciones opuestas a medida que nos movemos alrededor del contorno. Por lo tanto, según el teorema del residuo , la función no puede tener un solo polo simple dentro de cada paralelogramo; debe tener al menos dos polos simples dentro de cada paralelogramo (caso Jacobiano), o debe tener al menos un polo de orden mayor que uno (caso Weierstrassiano). caso).
• Se puede aplicar un argumento similar a la función g = 1/ ƒ donde ƒ es meromórfica y doblemente periódica. Bajo esta inversión los ceros de ƒ se convierten en los polos de g , y viceversa . Entonces, la función doblemente periódica meromorfa ƒ no puede tener un cero simple dentro de cada paralelogramo en la red; debe tener al menos dos ceros simples, o debe tener al menos un cero de multiplicidad mayor que uno. De ello se deduce que ƒ no puede alcanzar ningún valor solo una vez, ya que ƒ menos ese valor sería en sí misma una función meromórfica doblemente periódica con un solo cero.

Ver también

• Función elíptica
  • Funciones elípticas de Abel
  • Funciones elípticas de Jacobi
  • Funciones elípticas de Weierstrass
  • Funciones elípticas de lemniscata
  • Funciones elípticas de Dixon
• Par de periodos fundamentales
• Mapeo de períodos

Literatura

• Jacobi, CGJ (1835). "De functionibus duarum variabilium quadrupliciter periodis, quibus theoria trascendentium Abelianarum innititur". Journal für die reine und angewandte Mathematik (en latín). 13 . AL Crelle. Reimer, Berlín: 55–56 . Consultado el 3 de octubre de 2022 .Reimpreso en Gesammelte Werke, vol. 2, 2ª ed. Providence, Rhode Island: Sociedad Matemática Estadounidense, págs. 25 y 26, 1969.
• Whittaker, ET y Watson, GN: Un curso de análisis moderno , 4ª ed. reimpreso Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press, 1963, págs. 429-535. Capítulos XX - XXII sobre funciones elípticas, teoremas generales y funciones elípticas de Weierstrass, funciones theta y funciones elípticas jacobianas.

Referencias

1. "Función de doble periodicidad", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994], adaptado de un artículo original de ED Solomentsev.
2. Weisstein, Eric W. "Función doblemente periódica". mathworld.wolfram.com . Wolfram MathWorld . Consultado el 3 de octubre de 2022 .