En la teoría de números , una rama de las matemáticas , una forma cúspide es un tipo particular de forma modular con un coeficiente constante cero en la expansión de la serie de Fourier .
Una forma de cúspide se distingue en el caso de formas modulares para el grupo modular por la desaparición del coeficiente constante a 0 en la expansión de la serie de Fourier (ver expansión q )
Esta expansión de Fourier existe como consecuencia de la presencia en la acción del grupo modular sobre el semiplano superior a través de la transformación
Para otros grupos, puede haber alguna traslación a través de varias unidades, en cuyo caso la expansión de Fourier se da en términos de un parámetro diferente. En todos los casos, sin embargo, el límite cuando q → 0 es el límite en el semiplano superior como la parte imaginaria de z → ∞. Tomando el cociente por el grupo modular, este límite corresponde a una cúspide de una curva modular (en el sentido de un punto añadido para compactificación ). Por lo tanto, la definición equivale a decir que una forma de cúspide es una forma modular que se desvanece en una cúspide. En el caso de otros grupos, puede haber varias cúspides, y la definición se convierte en una forma modular que se desvanece en todas las cúspides. Esto puede implicar varias expansiones.
Las dimensiones de los espacios de formas cúspide son, en principio, computables mediante el teorema de Riemann-Roch . Por ejemplo, la función tau de Ramanujan τ ( n ) surge como la secuencia de coeficientes de Fourier de la forma cúspide de peso 12 para el grupo modular, con a 1 = 1. El espacio de tales formas tiene dimensión 1, lo que significa que esta definición es posible; y eso explica la acción de los operadores de Hecke sobre el espacio siendo por multiplicación escalar (prueba de Mordell de las identidades de Ramanujan). Explícitamente es el discriminante modular
que representa (hasta una constante normalizadora ) el discriminante de la cúbica en el lado derecho de la ecuación de Weierstrass de una curva elíptica ; y la 24ª potencia de la función eta de Dedekind . Los coeficientes de Fourier aquí se escriben y se denominan ' función tau de Ramanujan ', con la normalización τ (1) = 1.
En el panorama más amplio de las formas automórficas , las formas de cúspide son complementarias a las series de Eisenstein , en una distinción entre espectro discreto / espectro continuo o representación de series discretas / representación inducida típica en diferentes partes de la teoría espectral . Es decir, las series de Eisenstein pueden "diseñarse" para que adopten valores dados en las cúspides. Existe una gran teoría general, que depende, sin embargo, de la teoría bastante intrincada de los subgrupos parabólicos y las representaciones cuspidales correspondientes .
Consideremos un subgrupo parabólico estándar de algún grupo reductivo (sobre , el anillo de Adele ), una forma automórfica en se llama cuspidal si para todos los subgrupos parabólicos tales que tenemos , donde es el subgrupo parabólico mínimo estándar. La notación para se define como .
