j-invariante

Función modular en matemáticas

Invariante j de Klein en el plano complejo

En matemáticas , la j -invariante de Felix Klein o función j , considerada como una función de una variable compleja τ , es una función modular de peso cero para el grupo lineal especial SL(2, Z ) definido en el semiplano superior de los números complejos . Es la única función de este tipo que es holomorfa lejos de un polo simple en la cúspide tal que 

${\displaystyle j\left(e^{2\pi i/3}\right)=0,\quad j(i)=1728=12^{3}.}$

Las funciones racionales de j son modulares y, de hecho, dan todas las funciones modulares de peso 0. Clásicamente, el j -invariante se estudió como una parametrización de curvas elípticas sobre , pero también tiene conexiones sorprendentes con las simetrías del grupo Monster (esta conexión se conoce como monstruosa luz de luna ). ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Definición

Parte real del j -invariante en función del cuadrado del nomo en el disco unitario

Fase del j -invariante en función del cuadrado del nomo en el disco unitario

El j -invariante se puede definir como una función en el semiplano superior H = { τ ∈ C , Im ( τ ) > 0},

${\displaystyle j(\tau )=1728{\frac {g_{2}(\tau )^{3}}{\Delta (\tau )}}=1728{\frac {g_{2}(\tau )^{3}}{g_{2}(\tau )^{3}-27g_{3}(\tau )^{2}}}=1728{\frac {g_{2}(\tau )^{3}}{(2\pi )^{12}\,\eta ^{24}(\tau )}}}$

con la tercera definición implicando que puede expresarse como un cubo , también desde 1728 . ${\displaystyle j(\tau )}$ ${\displaystyle {}=12^{3}}$

Las funciones dadas son el discriminante modular , la función eta de Dedekind y los invariantes modulares, ${\displaystyle \Delta (\tau )=g_{2}(\tau )^{3}-27g_{3}(\tau )^{2}=(2\pi )^{12}\,\eta ^{24}(\tau )}$ ${\displaystyle \eta (\tau )}$

${\displaystyle g_{2}(\tau )=60G_{4}(\tau )=60\sum _{(m,n)\neq (0,0)}\left(m+n\tau \right)^{-4}}$

${\displaystyle g_{3}(\tau )=140G_{6}(\tau )=140\sum _{(m,n)\neq (0,0)}\left(m+n\tau \right)^{-6}}$

donde , son series de Fourier , ${\displaystyle G_{4}(\tau )}$ ${\displaystyle G_{6}(\tau )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{4}(\tau )&={\frac {\pi ^{4}}{45}}\,E_{4}(\tau )\\[4pt]G_{6}(\tau )&={\frac {2\pi ^{6}}{945}}\,E_{6}(\tau )\end{aligned}}}$

y , son series de Eisenstein , ${\displaystyle E_{4}(\tau )}$ ${\displaystyle E_{6}(\tau )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{4}(\tau )&=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}\\[4pt]E_{6}(\tau )&=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}}\end{aligned}}}$

y (el cuadrado del nomo ). El j -invariante puede entonces expresarse directamente en términos de la serie de Eisenstein como, ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$

${\displaystyle j(\tau )=1728{\frac {E_{4}(\tau )^{3}}{E_{4}(\tau )^{3}-E_{6}(\tau )^{2}}}}$

sin otro factor numérico que 1728. Esto implica una tercera forma de definir el discriminante modular, ^[1]

${\displaystyle \Delta (\tau )=(2\pi )^{12}\,{\frac {E_{4}(\tau )^{3}-E_{6}(\tau )^{2}}{1728}}}$

Por ejemplo, utilizando las definiciones anteriores y , entonces la función eta de Dedekind tiene el valor exacto , ${\displaystyle \tau =2i}$ ${\displaystyle \eta (2i)}$

${\displaystyle \eta (2i)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{11/8}\pi ^{3/4}}}}$

implicando los números trascendentales ,

${\displaystyle g_{2}(2i)={\frac {11\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{8}}{2^{8}\pi ^{2}}},\qquad g_{3}(2i)={\frac {7\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{12}}{2^{12}\pi ^{3}}}}$

pero dando como resultado el número algebraico (de hecho, un entero ),

${\displaystyle j(2i)=1728{\frac {g_{2}(2i)^{3}}{g_{2}(2i)^{3}-27g_{3}(2i)^{2}}}=66^{3}.}$

En general, esto puede motivarse al considerar cada τ como representante de una clase de isomorfismo de curvas elípticas. Cada curva elíptica E sobre C es un toro complejo y, por lo tanto, puede identificarse con una red de rango 2; ​​es decir, una red bidimensional de C . Esta red se puede rotar y escalar (operaciones que preservan la clase de isomorfismo), de modo que se genere mediante 1 y τ ∈ H . Esta red corresponde a la curva elíptica (ver Funciones elípticas de Weierstrass ). ${\displaystyle y^{2}=4x^{3}-g_{2}(\tau )x-g_{3}(\tau )}$

Obsérvese que j se define en todas partes en H, ya que el discriminante modular no es cero. Esto se debe a que el polinomio cúbico correspondiente tiene raíces distintas.

La región fundamental

La elección habitual de un dominio fundamental (gris) para el grupo modular que actúa en el semiplano superior.

Se puede demostrar que Δ es una forma modular de peso doce, y g ₂ una de peso cuatro, de modo que su tercera potencia también es de peso doce. Por lo tanto, su cociente, y por lo tanto j , es una función modular de peso cero, en particular una función holomorfa H → C invariante bajo la acción de SL(2, Z ) . Al cocientear por su centro { ±I } se obtiene el grupo modular , que podemos identificar con el grupo lineal especial proyectivo PSL(2, Z ) .

Mediante una adecuada elección de la transformación perteneciente a este grupo,

${\displaystyle \tau \mapsto {\frac {a\tau +b}{c\tau +d}},\qquad ad-bc=1,}$

podemos reducir τ a un valor que dé el mismo valor para j , y que se encuentre en la región fundamental para j , que consiste en valores para τ que satisfacen las condiciones

${\displaystyle {\begin{aligned}|\tau |&\geq 1\\[5pt]-{\tfrac {1}{2}}&<{\mathfrak {R}}(\tau )\leq {\tfrac {1}{2}}\\[5pt]-{\tfrac {1}{2}}&<{\mathfrak {R}}(\tau )<0\Rightarrow |\tau |>1\end{aligned}}}$

La función j ( τ ) cuando se restringe a esta región aún toma cada valor en los números complejos C exactamente una vez. En otras palabras, para cada c en C , hay un τ único en la región fundamental tal que c = j ( τ ) . Por lo tanto, j tiene la propiedad de mapear la región fundamental a todo el plano complejo.

Además, dos valores τ,τ' ∈ H producen la misma curva elíptica si y solo si τ = T(τ') para algún T ∈ PSL(2, Z ) . Esto significa que j proporciona una biyección del conjunto de curvas elípticas sobre C al plano complejo. ^[2]

Como superficie de Riemann , la región fundamental tiene género 0 y toda función modular ( de nivel uno ) es una función racional en j ; y, a la inversa, toda función racional en j es una función modular. En otras palabras, el campo de funciones modulares es C ( j ) .

Teoría de campos de clases yyo

El j -invariante tiene muchas propiedades notables:

• Si τ es cualquier punto del semiplano superior cuya curva elíptica correspondiente tiene multiplicación compleja (es decir, si τ es cualquier elemento de un campo cuadrático imaginario con parte imaginaria positiva, de modo que j está definido), entonces j ( τ ) es un entero algebraico . ^[3] Estos valores especiales se denominan módulos singulares .
• La extensión de campo Q [ j ( τ ), τ ]/ Q ( τ ) es abeliana, es decir, tiene un grupo de Galois abeliano .
• Sea Λ la red en C generada por {1, τ }. Es fácil ver que todos los elementos de Q ( τ ) que fijan Λ bajo multiplicación forman un anillo con unidades, llamado orden . Las otras redes con generadores {1, τ ′ }, asociadas de manera similar al mismo orden, definen los conjugados algebraicos j ( τ ′ ) de j ( τ ) sobre Q ( τ ) . Ordenado por inclusión, el único orden máximo en Q ( τ ) es el anillo de enteros algebraicos de Q ( τ ) , y los valores de τ que lo tienen como su orden asociado conducen a extensiones no ramificadas de Q ( τ ) .

Estos resultados clásicos son el punto de partida de la teoría de la multiplicación compleja.

Propiedades de trascendencia

En 1937, Theodor Schneider demostró el resultado antes mencionado de que si τ es un número irracional cuadrático en el semiplano superior, entonces j ( τ ) es un entero algebraico. Además, demostró que si τ es un número algebraico pero no cuadrático imaginario, entonces j ( τ ) es trascendental.

La función j tiene muchas otras propiedades trascendentales. Kurt Mahler conjeturó un resultado de trascendencia particular que a menudo se conoce como la conjetura de Mahler, aunque fue demostrada como corolario de resultados por Yu. V. Nesterenko y Patrice Phillipon en la década de 1990. La conjetura de Mahler (ahora demostrada) es que, si τ está en el semiplano superior, entonces e ^{2π iτ} y j ( τ ) nunca son ambos simultáneamente algebraicos. Ahora se conocen resultados más sólidos, por ejemplo, si e ^{2π iτ} es algebraico, entonces los siguientes tres números son algebraicamente independientes y, por lo tanto, al menos dos de ellos son trascendentales:

${\displaystyle j(\tau ),{\frac {j^{\prime }(\tau )}{\pi }},{\frac {j^{\prime \prime }(\tau )}{\pi ^{2}}}}$

Elq-expansión y luz de luna

Varias propiedades notables de j tienen que ver con su expansión q ( expansión de la serie de Fourier ), escrita como una serie de Laurent en términos de q = e ^{2π iτ} , que comienza:

${\displaystyle j(\tau )=q^{-1}+744+196884q+21493760q^{2}[phone]q^{3}[phone]q^{4}+\cdots }$

Nótese que j tiene un polo simple en la cúspide, por lo que su expansión q no tiene términos por debajo de q ⁻¹ .

Todos los coeficientes de Fourier son números enteros, lo que da como resultado varios casi enteros , en particular la constante de Ramanujan :

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx 640320^{3}+744}$.

La fórmula asintótica para el coeficiente de q ⁿ está dada por

${\displaystyle {\frac {e^{4\pi {\sqrt {n}}}}{{\sqrt {2}}\,n^{3/4}}}}$,

como se puede demostrar mediante el método del círculo de Hardy-Littlewood . ^{[4] [5]}

Luz de la luna

Más notable aún es que los coeficientes de Fourier para los exponentes positivos de q son las dimensiones de la parte graduada de una representación de álgebra graduada de dimensión infinita del grupo monstruo llamado módulo de luz de luna – específicamente, el coeficiente de q ⁿ es la dimensión de la parte de grado n del módulo de luz de luna, siendo el primer ejemplo el álgebra de Griess , que tiene dimensión 196.884, correspondiente al término 196884 q . Esta sorprendente observación, hecha por primera vez por John McKay , fue el punto de partida de la teoría de la luz de luna .

El estudio de la conjetura de Moonshine llevó a John Horton Conway y Simon P. Norton a estudiar las funciones modulares de género cero. Si se normalizan para que tengan la forma

${\displaystyle q^{-1}+{O}(q)}$

Luego, John G. Thompson demostró que sólo hay un número finito de tales funciones (de algún nivel finito), y Chris J. Cummins demostró más tarde que hay exactamente 6486 de ellas, 616 de las cuales tienen coeficientes integrales. ^[6]

Expresiones alternativas

Tenemos

${\displaystyle j(\tau )={\frac {256\left(1-x\right)^{3}}{x^{2}}}}$

donde x = λ (1 − λ ) y λ es la función lambda modular

${\displaystyle \lambda (\tau )={\frac {\theta _{2}^{4}(e^{\pi i\tau })}{\theta _{3}^{4}(e^{\pi i\tau })}}=k^{2}(\tau )}$

una relación de funciones theta de Jacobi θ _m , y es el cuadrado del módulo elíptico k ( τ ) . ^[7] El valor de j no cambia cuando λ se reemplaza por cualquiera de los seis valores de la relación cruzada : ^[8]

${\displaystyle \left\lbrace {\lambda ,{\frac {1}{1-\lambda }},{\frac {\lambda -1}{\lambda }},{\frac {1}{\lambda }},{\frac {\lambda }{\lambda -1}},1-\lambda }\right\rbrace }$

Los puntos de ramificación de j están en {0, 1, ∞} , por lo que j es una función de Belyi . ^[9]

Expresiones en términos de funciones theta

Defina el nombre q = e ^{π iτ} y la función theta de Jacobi ,

${\displaystyle \vartheta (0;\tau )=\vartheta _{00}(0;\tau )=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\left(e^{\pi i\tau }\right)^{n^{2}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}}$

de donde se pueden derivar las funciones theta auxiliares, definidas aquí . Sea,

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=\theta _{2}(q)=\vartheta _{10}(0;\tau )\\b&=\theta _{3}(q)=\vartheta _{00}(0;\tau )\\c&=\theta _{4}(q)=\vartheta _{01}(0;\tau )\end{aligned}}}$

donde ϑ _ij y θ _n son notaciones alternativas, y a ⁴ − b ⁴ + c ⁴ = 0 . Entonces tenemos para invariantes modulares g ₂ , g ₃ ,

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{2}(\tau )&={\tfrac {2}{3}}\pi ^{4}\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)\\g_{3}(\tau )&={\tfrac {4}{27}}\pi ^{6}{\sqrt {\frac {\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)^{3}-54\left(abc\right)^{8}}{2}}}\\\end{aligned}}}$

y discriminante modular,

${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}=(2\pi )^{12}\left({\tfrac {1}{2}}abc\right)^{8}=(2\pi )^{12}\eta (\tau )^{24}}$

con la función eta de Dedekind η ( τ ) . La j ( τ ) se puede calcular rápidamente,

${\displaystyle j(\tau )=1728{\frac {g_{2}^{3}}{g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}}}=32{\frac {\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)^{3}}{\left(abc\right)^{8}}}}$

Definición algebraica

Hasta ahora hemos considerado j como una función de una variable compleja. Sin embargo, como invariante para clases de isomorfismo de curvas elípticas, se puede definir de forma puramente algebraica. ^[10] Sea

${\displaystyle y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}}$

sea ​​una curva elíptica plana sobre cualquier campo . Luego podemos realizar transformaciones sucesivas para obtener la ecuación anterior en la forma estándar y ² = 4 x ³ − g ₂ x − g ₃ (nótese que esta transformación solo se puede realizar cuando la característica del campo no es igual a 2 o 3). Los coeficientes resultantes son:

${\displaystyle {\begin{aligned}b_{2}&=a_{1}^{2}+4a_{2},\quad &b_{4}&=a_{1}a_{3}+2a_{4},\\b_{6}&=a_{3}^{2}+4a_{6},\quad &b_{8}&=a_{1}^{2}a_{6}-a_{1}a_{3}a_{4}+a_{2}a_{3}^{2}+4a_{2}a_{6}-a_{4}^{2},\\c_{4}&=b_{2}^{2}-24b_{4},\quad &c_{6}&=-b_{2}^{3}+36b_{2}b_{4}-216b_{6},\end{aligned}}}$

donde g ₂ = c ₄ y g ₃ = c ₆ . También tenemos el discriminante

${\displaystyle \Delta =-b_{2}^{2}b_{8}+9b_{2}b_{4}b_{6}-8b_{4}^{3}-27b_{6}^{2}.}$

El j -invariante para la curva elíptica ahora puede definirse como

${\displaystyle j={\frac {c_{4}^{3}}{\Delta }}}$

En el caso de que el campo sobre el cual se define la curva tenga característica distinta de 2 ó 3, ésta es igual a

${\displaystyle j=1728{\frac {c_{4}^{3}}{c_{4}^{3}-c_{6}^{2}}}.}$

Función inversa

La función inversa del j -invariante se puede expresar en términos de la función hipergeométrica ₂ F ₁ (véase también el artículo Ecuación de Picard-Fuchs ). Explícitamente, dado un número N , para resolver la ecuación j ( τ ) = N para τ se puede hacer de al menos cuatro maneras.

Método 1 : Resolver el sextico en λ ,

${\displaystyle j(\tau )={\frac {256{\bigl (}1-\lambda (1-\lambda ){\bigr )}^{3}}{{\bigl (}\lambda (1-\lambda ){\bigr )}^{2}}}={\frac {256\left(1-x\right)^{3}}{x^{2}}}}$

donde x = λ (1 − λ ) , y λ es la función lambda modular , por lo que la sexta puede resolverse como cúbica en x . Entonces,

${\displaystyle \tau =i\ {\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},1;1-\lambda \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},1;\lambda \right)}}=i{\frac {\operatorname {M} (1,{\sqrt {1-\lambda }})}{\operatorname {M} (1,{\sqrt {\lambda }})}}}$

para cualquiera de los seis valores de λ , donde M es la media aritmético-geométrica . ^{[nota 1]}

Método 2 : Resolver el cuártico en γ ,

${\displaystyle j(\tau )={\frac {27\left(1+8\gamma \right)^{3}}{\gamma \left(1-\gamma \right)^{3}}}}$

entonces para cualquiera de las cuatro raíces ,

${\displaystyle \tau ={\frac {i}{\sqrt {3}}}{\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}},1;1-\gamma \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}},1;\gamma \right)}}}$

Método 3 : Resolver la ecuación cúbica en β ,

${\displaystyle j(\tau )={\frac {64\left(1+3\beta \right)^{3}}{\beta \left(1-\beta \right)^{2}}}}$

entonces para cualquiera de las tres raíces,

${\displaystyle \tau ={\frac {i}{\sqrt {2}}}{\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}},1;1-\beta \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}},1;\beta \right)}}}$

Método 4 : Resolver la ecuación cuadrática en α ,

${\displaystyle j(\tau )={\frac {1728}{4\alpha (1-\alpha )}}}$

entonces,

${\displaystyle \tau =i\ {\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{6}},{\tfrac {5}{6}},1;1-\alpha \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{6}},{\tfrac {5}{6}},1;\alpha \right)}}}$

Una raíz da τ y la otra da − ⁠1/τ⁠ , pero como j ( τ ) = j (− ⁠1/τ⁠ ) ​​, no importa qué α se elija. Los últimos tres métodos se pueden encontrar en la teoría de funciones elípticas de Ramanujan para bases alternativas.

La inversión se aplica en cálculos de alta precisión de períodos de funciones elípticas incluso cuando sus proporciones se vuelven ilimitadas. ^{[ cita requerida ]} Un resultado relacionado es la expresibilidad a través de radicales cuadráticos de los valores de j en los puntos del eje imaginario cuyas magnitudes son potencias de 2 (lo que permite construcciones con regla y compás ). El último resultado es apenas evidente ya que la ecuación modular para j de orden 2 es cúbica. ^[11]

Fórmulas de Pi

Los hermanos Chudnovsky fundaron en 1987, ^[12]

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{640320^{3/2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(163\cdot 3344418k+13591409)}{(3k)!\left(k!\right)^{3}\left(-640320\right)^{3k}}}}$

Una prueba de lo cual es el hecho de que

${\displaystyle j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)=-640320^{3}.}$

Para fórmulas similares, consulte la serie Ramanujan-Sato .

No se pueden clasificar las curvas elípticas en otros campos

El invariante α sólo es sensible a clases de isomorfismo de curvas elípticas sobre los números complejos, o más generalmente, un cuerpo algebraicamente cerrado . Sobre otros cuerpos existen ejemplos de curvas elípticas cuyo invariante α es el mismo, pero no son isomorfas. Por ejemplo, sean las curvas elípticas asociadas a los polinomios ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle E_{1},E_{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{1}:&{\text{ }}y^{2}=x^{3}-25x\\E_{2}:&{\text{ }}y^{2}=x^{3}-4x,\end{aligned}}}$

Ambos tienen invariancia . Entonces, los puntos racionales de se pueden calcular como: ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle 1728}$ ${\displaystyle E_{2}}$

${\displaystyle E_{2}(\mathbb {Q} )=\{\infty ,(2,0),(-2,0),(0,0)\}}$

ya que no hay soluciones racionales con . Esto se puede demostrar utilizando la fórmula de Cardano para demostrar que en ese caso las soluciones de son todas irracionales. Por otro lado, en el conjunto de puntos ${\displaystyle x^{3}-4x=x(x^{2}-4)=x(x-2)(x+2).}$ ${\displaystyle y=a\neq 0}$ ${\displaystyle x^{3}-4x-a^{2}}$

${\displaystyle \{n(-4,6):n\in \mathbb {Z} \}}$

La ecuación para se convierte en . Dividiendo por para eliminar la solución, la fórmula cuadrática da las soluciones racionales: ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle 36n^{2}=-64n^{3}+100n}$ ${\displaystyle 4n}$ ${\displaystyle (0,0)}$

${\displaystyle n={\frac {-9\pm {\sqrt {81-4\cdot 16\cdot (-25)}}}{2\cdot 16}}={\frac {-9\pm 41}{32}}.}$

Si se consideran estas curvas sobre , hay un isomorfismo que envía ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {10}})}$ ${\displaystyle E_{1}(\mathbb {Q} ({\sqrt {10}}))\cong E_{2}(\mathbb {Q} ({\sqrt {10}}))}$

${\displaystyle (x,y)\mapsto (\mu ^{2}x,\mu ^{3}y)\ {\text{ where }}\ \mu ={\frac {\sqrt {10}}{2}}.}$

Referencias

Notas

1. La igualdad se cumple si la media aritmético-geométrica de números complejos (tales que ) se define de la siguiente manera: Sea , , , donde los signos se eligen de manera que para todo . Si , el signo se elige de manera que . Entonces . Cuando son reales positivos (con ), esta definición coincide con la definición habitual de la media aritmético-geométrica para números reales positivos. Véase La media aritmético-geométrica de Gauss de David A. Cox . ${\displaystyle \operatorname {M} (a,b)}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle a,b\neq 0;a\neq \pm b}$ ${\displaystyle a_{0}=a}$ ${\displaystyle b_{0}=b}$ ${\displaystyle a_{n+1}=(a_{n}+b_{n})/2}$ ${\displaystyle b_{n+1}=\pm {\sqrt {a_{n}b_{n}}}}$ ${\displaystyle |a_{n}-b_{n}|\leq |a_{n}+b_{n}|}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle |a_{n}-b_{n}|=|a_{n}+b_{n}|}$ ${\displaystyle \Im (b_{n}/a_{n})>0}$ ${\displaystyle \operatorname {M} (a,b)=\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle a\neq b}$

Otro

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2. Gareth A. Jones y David Singerman. (1987) Funciones complejas: un punto de vista algebraico y geométrico. Cambridge UP. [1]
3. Silverman, Joseph H. (1986). La aritmética de las curvas elípticas . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 106. Springer-Verlag . pág. 339. ISBN. 978-0-387-96203-0.Zbl 0585.14026  .
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