Dominio (teoría de anillos)

Anillo unitario sin divisores de cero distintos de 0; generalización no conmutativa de dominios integrales

En álgebra , un dominio es un anillo distinto de cero en el que ab = 0 implica a = 0 o b = 0. ^[1] (A veces se dice que un anillo de este tipo "tiene la propiedad de producto cero "). De manera equivalente, un dominio es un anillo en el que 0 es el único divisor de cero por la izquierda ( o equivalentemente, el único divisor de cero por la derecha). Un dominio conmutativo se denomina dominio integral . ^{[1] [2]} La literatura matemática contiene múltiples variantes de la definición de "dominio". ^[3]

Ejemplos y no ejemplos

• El anillo no es un dominio, porque las imágenes de 2 y 3 en este anillo son elementos distintos de cero con producto 0. De manera más general, para un entero positivo , el anillo es un dominio si y solo si es primo. ${\displaystyle \mathbb {Z} /6\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$
• Un dominio finito es automáticamente un campo finito , según el pequeño teorema de Wedderburn .
• Los cuaterniones forman un dominio no conmutativo. En términos más generales, cualquier anillo de división es un dominio, ya que todo elemento distinto de cero es invertible .
• El conjunto de todos los cuaterniones de Lipschitz , es decir, los cuaterniones de la forma donde a , b , c , d son números enteros, es un subanillo no conmutativo de los cuaterniones, por lo tanto, un dominio no conmutativo. ${\displaystyle a+bi+cj+dk}$
• De manera similar, el conjunto de todos los cuaterniones de Hurwitz , es decir, los cuaterniones de la forma donde a , b , c , d son todos números enteros o todos semienteros , es un dominio no conmutativo. ${\displaystyle a+bi+cj+dk}$
• Un anillo matricial M _n ( R ) para n ≥ 2 nunca es un dominio: si R es distinto de cero, dicho anillo matricial tiene divisores de cero distintos de cero e incluso elementos nilpotentes distintos de 0. Por ejemplo, el cuadrado de la matriz unidad E ₁₂ es 0.
• El álgebra tensorial de un espacio vectorial o, equivalentemente, el álgebra de polinomios en variables no conmutativas sobre un cuerpo, es un dominio. Esto se puede demostrar mediante un ordenamiento de los monomios no conmutativos. ${\displaystyle \mathbb {K} \langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle ,}$
• Si R es un dominio y S es una extensión de R, entonces S es un dominio.
• El álgebra de Weyl es un dominio no conmutativo.
• El álgebra envolvente universal de cualquier álgebra de Lie sobre un cuerpo es un dominio. La prueba utiliza la filtración estándar sobre el álgebra envolvente universal y el teorema de Poincaré–Birkhoff–Witt .

Anillos de grupo y el problema del divisor de cero

Supongamos que G es un grupo y K es un campo . ¿El anillo de grupo R = K [ G ] es un dominio? La identidad

${\displaystyle (1-g)(1+g+\cdots +g^{n-1})=1-g^{n},}$

muestra que un elemento g de orden finito n > 1 induce un divisor de cero 1 − g en R . El problema del divisor de cero pregunta si esta es la única obstrucción; en otras palabras,

Dado un campo K y un grupo libre de torsión G , ¿es cierto que K [ G ] no contiene divisores de cero?

No se conocen contraejemplos, pero el problema sigue abierto en general (a fecha de 2017).

Para muchas clases especiales de grupos, la respuesta es afirmativa. Farkas y Snider demostraron en 1976 que si G es un grupo policíclico-por-finito libre de torsión y char K = 0 entonces el anillo de grupo K [ G ] es un dominio. Más tarde (1980) Cliff eliminó la restricción sobre la característica del cuerpo. En 1988, Kropholler, Linnell y Moody generalizaron estos resultados al caso de grupos resolubles y resolubles-por-finitos libres de torsión. Un trabajo anterior (1965) de Michel Lazard , cuya importancia no fue apreciada por los especialistas en el campo durante unos 20 años, había tratado el caso donde K es el anillo de números enteros p-ádicos y G es el p ésimo subgrupo de congruencia de GL( n , Z ) .

Espectro de un dominio integral

Los divisores de cero tienen una interpretación topológica, al menos en el caso de anillos conmutativos: un anillo R es un dominio integral si y solo si es reducido y su espectro Spec R es un espacio topológico irreducible . A menudo se considera que la primera propiedad codifica cierta información infinitesimal, mientras que la segunda es más geométrica.

Un ejemplo: el anillo k [ x , y ]/( xy ) , donde k es un cuerpo, no es un dominio, ya que las imágenes de x e y en este anillo son divisores de cero. Geométricamente, esto corresponde al hecho de que el espectro de este anillo, que es la unión de las rectas x = 0 e y = 0 , no es irreducible. De hecho, estas dos rectas son sus componentes irreducibles.

Véase también

• Divisor de cero
• Propiedad de producto cero
• Divisor (teoría de anillos)
• Dominio integral

Notas

1. Lam (2001), pág. 3
2. Rowen (1994), pág. 99.
3. Algunos autores también consideran que el anillo cero es un dominio: véase Polcino M. y Sehgal (2002), p. 65. Algunos autores aplican el término "dominio" también a los anillos de números aleatorios con la propiedad de producto cero; dichos autores consideran que n Z es un dominio para cada entero positivo n : véase Lanski (2005), p. 343. Pero siempre se requiere que los dominios integrales sean distintos de cero y tengan un 1.

Referencias

• Lam, Tsit-Yuen (2001). Un primer curso sobre anillos no conmutativos (2.ª ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-95325-0.Señor 1838439  .
• Charles Lanski (2005). Conceptos en álgebra abstracta . Librería AMS. ISBN 0-534-42323-X.
• César Polcino Milies; Sudarshan K. Sehgal (2002). Introducción a los anillos de grupo. Springer. ISBN 1-4020-0238-6.
• Nathan Jacobson (2009). Álgebra básica I. Dover. ISBN 978-0-486-47189-1.
• Louis Halle Rowen (1994). Álgebra: grupos, anillos y cuerpos . AK Peters . ISBN 1-56881-028-8.