El noveno problema de Hilbert , de la lista de 23 problemas de Hilbert (1900), pedía encontrar la ley de reciprocidad más general para los residuos normativos de orden k -ésimo en un campo numérico algebraico general , donde k es una potencia de un primo .
El problema fue resuelto parcialmente por Emil Artin al establecer la ley de reciprocidad de Artin que se ocupa de las extensiones abelianas de campos numéricos algebraicos . [1] [2] [3] Junto con el trabajo de Teiji Takagi y Helmut Hasse (quienes establecieron la ley de reciprocidad de Hasse más general), esto condujo al desarrollo de la teoría del campo de clases , realizando el programa de Hilbert de manera abstracta. Posteriormente, Igor Shafarevich (1948; 1949; 1950) encontró ciertas fórmulas explícitas para los residuos de normas .
La generalización no abeliana , también relacionada con el duodécimo problema de Hilbert , es uno de los desafíos de larga data en la teoría de números y está lejos de estar completa.