En álgebra abstracta , si I y J son ideales de un anillo conmutativo R , su cociente ideal ( I : J ) es el conjunto
Entonces ( I : J ) es en sí mismo un ideal en R. El cociente ideal se considera un cociente porque si y sólo si . El cociente ideal es útil para calcular descomposiciones primarias . También surge en la descripción de la diferencia establecida en geometría algebraica (ver más abajo).
( I : J ) a veces se denomina ideal de dos puntos debido a la notación. En el contexto de los ideales fraccionarios , existe una noción relacionada de lo inverso de un ideal fraccionario.
Propiedades
El cociente ideal satisface las siguientes propiedades:
- as - module , donde denota el aniquilador de as -module.
- (En particular, )
- (siempre que R sea un dominio integral )
Calculando el cociente
Las propiedades anteriores se pueden utilizar para calcular el cociente de ideales en un anillo polinómico dados sus generadores. Por ejemplo, si I = ( f 1 , f 2 , f 3 ) y J = ( g 1 , g 2 ) son ideales en k [ x 1 , ..., x n ], entonces
Entonces la teoría de la eliminación se puede utilizar para calcular la intersección de I con ( g 1 ) y ( g 2 ):
Calcular una base de Gröbner con respecto al orden lexicográfico. Entonces se generan las funciones básicas que no tienen t .
Interpretación geométrica
El cociente ideal corresponde a la diferencia establecida en geometría algebraica . [1] Más precisamente,
- Si W es una variedad afín (no necesariamente irreducible) y V es un subconjunto del espacio afín (no necesariamente una variedad), entonces
- donde denota la toma del ideal asociado a un subconjunto.
- donde denota la clausura de Zariski , y denota la toma de la variedad definida por un ideal. Si I no es radical, entonces se cumple la misma propiedad si saturamos el ideal J :
- dónde .
Ejemplos
- En ,
- En teoría algebraica de números , el cociente ideal es útil al estudiar ideales fraccionarios . Esto se debe a que la inversa de cualquier ideal fraccionario invertible de un dominio integral viene dada por el cociente ideal .
- Una aplicación geométrica del cociente ideal es eliminar un componente irreducible de un esquema afín. Por ejemplo, sean los ideales correspondientes a la unión de los planos x, y y z y los planos x e y en . Entonces, el cociente ideal es el ideal del plano z en . Esto muestra cómo se puede utilizar el cociente ideal para "eliminar" subesquemas irreducibles.
- Un ejemplo útil de teoría de esquemas es tomar el cociente ideal de un ideal reducible. Por ejemplo, el cociente ideal , que muestra que el cociente ideal de un subesquema de algún esquema no reducido, donde ambos tienen el mismo subesquema reducido, elimina parte de la estructura no reducida.
- Podemos utilizar el ejemplo anterior para encontrar la saturación de un ideal correspondiente a un esquema proyectivo. Dado un ideal homogéneo, la saturación de se define como el cociente ideal donde . Es un teorema que el conjunto de ideales saturados de contenidos en está en biyección con el conjunto de subesquemas proyectivos en . [2] Esto nos muestra que define la misma curva proyectiva que en .
Referencias
- ^ David Cox; Juan pequeño; Donal O'Shea (1997). Ideales, variedades y algoritmos: una introducción a la geometría algebraica computacional y al álgebra conmutativa . Saltador. ISBN 0-387-94680-2., p.195
- ^ Greuel, Gert-Martin; Pfister, Gerhard (2008). Una introducción singular al álgebra conmutativa (2ª ed.). Springer-Verlag. pag. 485.ISBN 9783642442544.
- MFAtiyah, IGMacDonald: 'Introducción al álgebra conmutativa', Addison-Wesley 1969.