Conjetura de Vojta

Sobre alturas de puntos en variedades algebraicas sobre cuerpos de números

En matemáticas , la conjetura de Vojta es una conjetura introducida por Paul Vojta  (1987) sobre las alturas de los puntos en variedades algebraicas sobre cuerpos de números . La conjetura fue motivada por una analogía entre la aproximación diofántica y la teoría de Nevanlinna (teoría de la distribución de valores) en el análisis complejo . Implica muchas otras conjeturas en la aproximación diofántica , las ecuaciones diofánticas , la geometría aritmética y la lógica matemática .

Enunciado de la conjetura

Sea un cuerpo de números, sea una variedad algebraica no singular, sea un divisor efectivo en con cruces normales en el peor de los casos, sea un divisor amplio en , y sea un divisor canónico en . Elija funciones de altura de Weil y y, para cada valor absoluto en , una función de altura local . Fije un conjunto finito de valores absolutos de , y sea . Entonces hay una constante y un conjunto abierto de Zariski no vacío , dependiendo de todas las opciones anteriores, tales que ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X/F}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle h_{H}}$ ${\displaystyle h_{K_{X}}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \lambda _{D,v}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$

${\displaystyle \sum _{v\in S}\lambda _{D,v}(P)+h_{K_{X}}(P)\leq \epsilon h_{H}(P)+C\quad {\hbox{for all }}P\in U(F).}$

Ejemplos :

1. Sea . Entonces , por lo que la conjetura de Vojta se lee para todos . ${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{N}}$ ${\displaystyle K_{X}\sim -(N+1)H}$ ${\displaystyle \sum _{v\in S}\lambda _{D,v}(P)\leq (N+1+\epsilon )h_{H}(P)+C}$ ${\displaystyle P\in U(F)}$
2. Sea una variedad con fibrado canónico trivial, por ejemplo, una variedad abeliana , una superficie K3 o una variedad de Calabi-Yau . La conjetura de Vojta predice que si es un divisor efectivo de cruces normales amplios, entonces los puntos -integrales en la variedad afín no son densos de Zariski. Para las variedades abelianas, esto fue conjeturado por Lang y demostrado por Faltings (1991). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X\setminus D}$
3. Sea una variedad de tipo general , es decir, es amplia en algún subconjunto abierto de Zariski no vacío de . Entonces, tomando , la conjetura de Vojta predice que no es denso de Zariski en . Esta última afirmación para variedades de tipo general es la conjetura de Bombieri–Lang . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S=\emptyset }$ ${\displaystyle X(F)}$ ${\displaystyle X}$

Generalizaciones

Hay generalizaciones en las que se permite variar sobre , y hay un término adicional en el límite superior que depende del discriminante de la extensión del campo . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X({\overline {F}})}$ ${\displaystyle F(P)/F}$

Existen generalizaciones en las que las alturas locales no arquimedianas se sustituyen por alturas locales truncadas, que son alturas locales en las que se ignoran las multiplicidades. Estas versiones de la conjetura de Vojta proporcionan análogos naturales de dimensiones superiores de la conjetura ABC . ${\displaystyle \lambda _{D,v}}$

Referencias

• Vojta, Paul (1987). Aproximaciones diofánticas y teoría de la distribución de valores . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1239. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . doi :10.1007/BFb0072989. ISBN . 978-3-540-17551-3. Sr.  0883451. Zbl  0609.14011.
• Faltings, Gerd (1991). "Aproximación diofántica sobre variedades abelianas". Anales de Matemáticas . 123 (3): 549–576. doi :10.2307/2944319. MR  1109353.