El destino de Minkowski

Limita los ideales que se deben verificar para determinar el número de clase de un campo numérico

En teoría algebraica de números , el límite de Minkowski da un límite superior de la norma de ideales que se debe verificar para determinar el número de clase de un campo numérico K. Lleva el nombre del matemático Hermann Minkowski .

Definición

Sea D el discriminante del campo, n el grado de K sobre y el número de incrustaciones complejas donde es el número de incrustaciones reales . Entonces cada clase en el grupo de clases ideal de K contiene un ideal integral de norma que no excede el límite de Minkowski. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle 2r_{2}=n-r_{1}}$ ${\displaystyle r_{1}}$

${\displaystyle M_{K}={\sqrt {|D|}}\left({\frac {4}{\pi }}\right)^{r_{2}}{\frac {n!}{n^{n}}}\ .}$

La constante de Minkowski para el campo K es esta _cota MK . ^[1]

Propiedades

Dado que el número de ideales integrales de una norma dada es finito, la finitud del número de clase es una consecuencia inmediata, ^[1] y además, el grupo de clases ideal es generado por los ideales primos de la norma como máximo M _K .

El límite de Minkowski se puede utilizar para derivar un límite inferior para el discriminante de un campo K dado n , r ₁ y r ₂ . Como un ideal integral tiene norma al menos una, tenemos 1 ≤ M _K , de modo que

${\displaystyle {\sqrt {|D|}}\geq \left({\frac {\pi }{4}}\right)^{r_{2}}{\frac {n^{n}}{n!}}\geq \left({\frac {\pi }{4}}\right)^{n/2}{\frac {n^{n}}{n!}}\ .}$

Para n al menos 2, es fácil demostrar que el límite inferior es mayor que 1, por lo que obtenemos el teorema de Minkowski , que el discriminante de todo campo numérico, distinto de Q , no es trivial. Esto implica que el campo de los números racionales no tiene una extensión no ramificada .

Prueba

El resultado es consecuencia del teorema de Minkowski .

Referencias

1. Pohst y Zassenhaus (1989) p.384

• Koch, Helmut (1997). Teoría algebraica de números . Encíclica. Matemáticas. Ciencia. vol. 62 (segunda impresión de la 1ª ed.). Springer-Verlag . ISBN 3-540-63003-1. Zbl  0819.11044.
• Lang, Serge (1994). Teoría algebraica de números . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 110 (segunda ed.). Nueva York: Springer. ISBN 0-387-94225-4. Zbl  0811.11001.
• Pohst, M.; Zassenhaus, H. (1989). Teoría algorítmica de números algebraicos . Enciclopedia de Matemáticas y sus Aplicaciones. vol. 30. Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-33060-2. Zbl  0685.12001.

enlaces externos

• "Usando la constante de Minkowski para encontrar un número de clase". PlanetMath .
• Stevenhagen, Peter. Anillos numéricos.
• The Minkowski Bound en el seminario secreto de blogs