Serie Ramanujan-Sato

Series related to Ramanujan's pi formulas

En matemáticas , una serie de Ramanujan-Sato ^{[1] [2]} generaliza las fórmulas pi de Ramanujan como,

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{99^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!}{k!^{4}}}{\frac {26390k+1103}{396^{4k}}}}$

A la forma

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=\sum _{k=0}^{\infty }s(k){\frac {Ak+B}{C^{k}}}}$

mediante el uso de otras secuencias bien definidas de números enteros que obedecen a una determinada relación de recurrencia , secuencias que pueden expresarse en términos de coeficientes binomiales , y empleando formas modulares de niveles superiores. ${\displaystyle s(k)}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ ${\displaystyle A,B,C}$

Ramanujan hizo la enigmática observación de que había "teorías correspondientes", pero recién en 2012 HH Chan y S. Cooper encontraron un enfoque general que utilizaba el subgrupo de congruencia modular subyacente , ^[3] mientras que G. Almkvist encontró experimentalmente numerosos otros ejemplos también con un método general utilizando operadores diferenciales . ^[4] ${\displaystyle \Gamma _{0}(n)}$

Los niveles 1–4A fueron dados por Ramanujan (1914), ^[5] el nivel 5 por HH Chan y S. Cooper (2012), ^[3] el 6A por Chan, Tanigawa, Yang y Zudilin, ^[6] el 6B por Sato (2002), ^[7] el 6C por H. Chan, S. Chan y Z. Liu (2004), ^[1] el 6D por H. Chan y H. Verrill (2009), ^[8] el nivel 7 por S. Cooper (2012), ^[9] parte del nivel 8 por Almkvist y Guillera (2012), ^[2] parte del nivel 10 por Y. Yang, y el resto por HH Chan y S. Cooper.

La notación j _n ( τ ) se deriva de Zagier ^[10] y T _n se refiere a la serie McKay-Thompson relevante.

Nivel 1

Ramanujan dio ejemplos para los niveles 1 a 4 en su artículo de 1917. Se dan como en el resto de este artículo. Sea, ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}j(\tau )&=\left({\frac {E_{4}(\tau )}{\eta ^{8}(\tau )}}\right)^{3}={\frac {1}{q}}+744+196884q+21493760q^{2}+\cdots \\j^{*}(\tau )&=432\,{\frac {{\sqrt {j(\tau )}}+{\sqrt {j(\tau )-1728}}}{{\sqrt {j(\tau )}}-{\sqrt {j(\tau )-1728}}}}={\frac {1}{q}}-120+10260q-901120q^{2}+\cdots \end{aligned}}}$

con la función j j ( τ ), la serie de Eisenstein E ₄ y la función eta de Dedekind η ( τ ). La primera expansión es la serie de McKay–Thompson de clase 1A ( OEIS : A007240 ) con a(0) = 744. Nótese que, como notó por primera vez J. McKay , el coeficiente del término lineal de j ( τ ) es casi igual a 196883, que es el grado de la representación irreducible no trivial más pequeña del grupo monstruo , una relación llamada luz de luna monstruosa . Se observarán fenómenos similares en los otros niveles. Definir

${\displaystyle s_{1A}(k)={\binom {2k}{k}}{\binom {3k}{k}}{\binom {6k}{3k}}=1,120,83160,81681600,\ldots }$( OEIS : A001421 )

${\displaystyle s_{1B}(k)=\sum _{j=0}^{k}{\binom {2j}{j}}{\binom {3j}{j}}{\binom {6j}{3j}}{\binom {k+j}{k-j}}(-432)^{k-j}=1,-312,114264,-44196288,\ldots }$

Entonces las dos funciones y secuencias modulares están relacionadas por

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }s_{1A}(k)\,{\frac {1}{(j(\tau ))^{k+{\frac {1}{2}}}}}=\pm \sum _{k=0}^{\infty }s_{1B}(k)\,{\frac {1}{(j^{*}(\tau ))^{k+{\frac {1}{2}}}}}}$

Si la serie converge y el signo se elige adecuadamente, aunque elevando al cuadrado ambos lados se elimina fácilmente la ambigüedad. Existen relaciones análogas para los niveles superiores.

Ejemplos:

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=12\,{\boldsymbol {i}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{1A}(k)\,{\frac {163\cdot 3344418k+13591409}{\left(-640320^{3}\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}},\quad j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)=-640320^{3}=-262537412640768000}$

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=24\,{\boldsymbol {i}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{1B}(k)\,{\frac {-3669+320{\sqrt {645}}\,\left(k+{\frac {1}{2}}\right)}{\left({-432}\,U_{645}^{3}\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}},\quad j^{*}\left({\frac {1+{\sqrt {-43}}}{2}}\right)=-432\,U_{645}^{3}=-432\left({\frac {127+5{\sqrt {645}}}{2}}\right)^{3}}$

donde y es una unidad fundamental . La primera pertenece a una familia de fórmulas que fueron rigurosamente probadas por los hermanos Chudnovsky en 1989 ^[11] y luego utilizadas para calcular 10 billones de dígitos de π en 2011. ^[12] La segunda fórmula, y las de niveles superiores, fue establecida por HH Chan y S. Cooper en 2012. ^[3] ${\displaystyle 645=43\times 15,}$ ${\displaystyle U_{n}}$

Nivel 2

Utilizando la notación de Zagier ^[10] para la función modular de nivel 2,

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{2A}(\tau )&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{12}+2^{6}\left({\frac {\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{12}\right)^{2}={\frac {1}{q}}+104+4372q+96256q^{2}+1240002q^{3}+\cdots \\j_{2B}(\tau )&=\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{24}={\frac {1}{q}}-24+276q-2048q^{2}+11202q^{3}-\cdots \end{aligned}}}$

Nótese que el coeficiente del término lineal de j _2A ( τ ) es uno más que 4371, que es el grado más pequeño mayor que 1 de las representaciones irreducibles del grupo Baby Monster . Defina,

${\displaystyle s_{2A}(k)={\binom {2k}{k}}{\binom {2k}{k}}{\binom {4k}{2k}}=1,24,2520,369600,63063000,\ldots }$( OEIS : A008977 )

${\displaystyle s_{2B}(k)=\sum _{j=0}^{k}{\binom {2j}{j}}{\binom {2j}{j}}{\binom {4j}{2j}}{\binom {k+j}{k-j}}(-64)^{k-j}=1,-40,2008,-109120,6173656,\ldots }$

Entonces,

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }s_{2A}(k)\,{\frac {1}{(j_{2A}(\tau ))^{k+{\frac {1}{2}}}}}=\pm \sum _{k=0}^{\infty }s_{2B}(k)\,{\frac {1}{(j_{2B}(\tau ))^{k+{\frac {1}{2}}}}}}$

si la serie converge y el signo elegido adecuadamente.

Ejemplos:

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=32{\sqrt {2}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{2A}(k)\,{\frac {58\cdot 455k+1103}{\left(396^{4}\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}},\quad j_{2A}\left({\frac {\sqrt {-58}}{2}}\right)=396^{4}=24591257856}$

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=16{\sqrt {2}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{2B}(k)\,{\frac {-24184+9801{\sqrt {29}}\,\left(k+{\frac {1}{2}}\right)}{\left(64\,U_{29}^{12}\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}},\quad j_{2B}\left({\frac {\sqrt {-58}}{2}}\right)=64\left({\frac {5+{\sqrt {29}}}{2}}\right)^{12}=64\,U_{29}^{12}}$

La primera fórmula, encontrada por Ramanujan y mencionada al comienzo del artículo, pertenece a una familia probada por D. Bailey y los hermanos Borwein en un artículo de 1989. ^[13]

Nivel 3

Definir,

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{3A}(\tau )&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (3\tau )}}\right)^{6}+3^{3}\left({\frac {\eta (3\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{6}\right)^{2}={\frac {1}{q}}+42+783q+8672q^{2}+65367q^{3}+\cdots \\j_{3B}(\tau )&=\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (3\tau )}}\right)^{12}={\frac {1}{q}}-12+54q-76q^{2}-243q^{3}+1188q^{4}+\cdots \\\end{aligned}}}$

donde 782 es el grado más pequeño mayor que 1 de las representaciones irreducibles del grupo de Fischer Fi ₂₃ y,

${\displaystyle s_{3A}(k)={\binom {2k}{k}}{\binom {2k}{k}}{\binom {3k}{k}}=1,12,540,33600,2425500,\ldots }$( OEIS : A184423 )

${\displaystyle s_{3B}(k)=\sum _{j=0}^{k}{\binom {2j}{j}}{\binom {2j}{j}}{\binom {3j}{j}}{\binom {k+j}{k-j}}(-27)^{k-j}=1,-15,297,-6495,149481,\ldots }$

Ejemplos:

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=2\,{\boldsymbol {i}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{3A}(k)\,{\frac {267\cdot 53k+827}{\left(-300^{3}\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}},\quad j_{3A}\left({\frac {3+{\sqrt {-267}}}{6}}\right)=-300^{3}=-27000000}$

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\boldsymbol {i}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{3B}(k)\,{\frac {12497-3000{\sqrt {89}}\,\left(k+{\frac {1}{2}}\right)}{\left(-27\,U_{89}^{2}\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}},\quad j_{3B}\left({\frac {3+{\sqrt {-267}}}{6}}\right)=-27\,\left(500+53{\sqrt {89}}\right)^{2}=-27\,U_{89}^{2}}$

Nivel 4

Definir,

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{4A}(\tau )&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (4\tau )}}\right)^{4}+4^{2}\left({\frac {\eta (4\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{4}\right)^{2}=\left({\frac {\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (4\tau )}}\right)^{24}=-\left({\frac {\eta \left({\frac {2\tau +3}{2}}\right)}{\eta (2\tau +3)}}\right)^{24}={\frac {1}{q}}+24+276q+2048q^{2}+11202q^{3}+\cdots \\j_{4C}(\tau )&=\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (4\tau )}}\right)^{8}={\frac {1}{q}}-8+20q-62q^{3}+216q^{5}-641q^{7}+\ldots \\\end{aligned}}}$

donde la primera es la potencia 24 de la función modular de Weber . Y, ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(2\tau )}$

${\displaystyle s_{4A}(k)={\binom {2k}{k}}^{3}=1,8,216,8000,343000,\ldots }$( OEIS : A002897 )

${\displaystyle s_{4C}(k)=\sum _{j=0}^{k}{\binom {2j}{j}}^{3}{\binom {k+j}{k-j}}(-16)^{k-j}=(-1)^{k}\sum _{j=0}^{k}{\binom {2j}{j}}^{2}{\binom {2k-2j}{k-j}}^{2}=1,-8,88,-1088,14296,\ldots }$( OEIS : A036917 )

Ejemplos:

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=8\,{\boldsymbol {i}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{4A}(k)\,{\frac {6k+1}{\left(-2^{9}\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}},\quad j_{4A}\left({\frac {1+{\sqrt {-4}}}{2}}\right)=-2^{9}=-512}$

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=16\,{\boldsymbol {i}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{4C}(k)\,{\frac {1-2{\sqrt {2}}\,\left(k+{\frac {1}{2}}\right)}{\left(-16\,U_{2}^{4}\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}},\quad j_{4C}\left({\frac {1+{\sqrt {-4}}}{2}}\right)=-16\,\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{4}=-16\,U_{2}^{4}}$

Nivel 5

Definir,

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{5A}(\tau )&=\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}}\right)^{6}+5^{3}\left({\frac {\eta (5\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{6}+22={\frac {1}{q}}+16+134q+760q^{2}+3345q^{3}+\cdots \\j_{5B}(\tau )&=\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}}\right)^{6}={\frac {1}{q}}-6+9q+10q^{2}-30q^{3}+6q^{4}+\cdots \end{aligned}}}$

y,

${\displaystyle s_{5A}(k)={\binom {2k}{k}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{2}{\binom {k+j}{j}}=1,6,114,2940,87570,\ldots }$

${\displaystyle s_{5B}(k)=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j+k}{\binom {k}{j}}^{3}{\binom {4k-5j}{3k}}=1,-5,35,-275,2275,-19255,\ldots }$( OEIS : A229111 )

donde el primero es el producto de los coeficientes binomiales centrales y los números de Apéry ( OEIS : A005258 ) ^[9]

Ejemplos:

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {5}{9}}\,{\boldsymbol {i}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{5A}(k)\,{\frac {682k+71}{(-15228)^{k+{\frac {1}{2}}}}},\quad j_{5A}\left({\frac {5+{\sqrt {-5(47)}}}{10}}\right)=-15228=-(18{\sqrt {47}})^{2}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {6}{\sqrt {5}}}\,{\boldsymbol {i}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{5B}(k)\,{\frac {25{\sqrt {5}}-141\left(k+{\frac {1}{2}}\right)}{\left(-5{\sqrt {5}}\,U_{5}^{15}\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}},\quad j_{5B}\left({\frac {5+{\sqrt {-5(47)}}}{10}}\right)=-5{\sqrt {5}}\,\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{15}=-5{\sqrt {5}}\,U_{5}^{15}}$

Nivel 6

Funciones modulares

En 2002, Takeshi Sato ^[7] estableció los primeros resultados para niveles superiores a 4. Se trataba de números de Apéry que se utilizaron por primera vez para establecer la irracionalidad de . En primer lugar, defina, ${\displaystyle \zeta (3)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{6A}(\tau )&=\left({\sqrt {j_{6B}(\tau )}}-{\frac {1}{\sqrt {j_{6B}(\tau )}}}\right)^{2}=\left({\sqrt {j_{6C}(\tau )}}+{\frac {8}{\sqrt {j_{6C}(\tau )}}}\right)^{2}=\left({\sqrt {j_{6D}(\tau )}}+{\frac {9}{\sqrt {j_{6D}(\tau )}}}\right)^{2}-4={\frac {1}{q}}+10+79q+352q^{2}+\cdots \end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{6B}(\tau )&=\left({\frac {\eta (2\tau )\eta (3\tau )}{\eta (\tau )\eta (6\tau )}}\right)^{12}={\frac {1}{q}}+12+78q+364q^{2}+1365q^{3}+\cdots \end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{6C}(\tau )&=\left({\frac {\eta (\tau )\eta (3\tau )}{\eta (2\tau )\eta (6\tau )}}\right)^{6}={\frac {1}{q}}-6+15q-32q^{2}+87q^{3}-192q^{4}+\cdots \end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{6D}(\tau )&=\left({\frac {\eta (\tau )\eta (2\tau )}{\eta (3\tau )\eta (6\tau )}}\right)^{4}={\frac {1}{q}}-4-2q+28q^{2}-27q^{3}-52q^{4}+\cdots \end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{6E}(\tau )&=\left({\frac {\eta (2\tau )\eta ^{3}(3\tau )}{\eta (\tau )\eta ^{3}(6\tau )}}\right)^{3}={\frac {1}{q}}+3+6q+4q^{2}-3q^{3}-12q^{4}+\cdots \end{aligned}}}$

El fenómeno de ser cuadrados o casi cuadrados de las otras funciones también se manifestará por . Otra similitud entre los niveles 6 y 10 es que J. Conway y S. Norton demostraron que existen relaciones lineales entre la serie McKay-Thompson T _n , ^[14] una de las cuales era, ${\displaystyle j_{6A}}$ ${\displaystyle j_{10A}}$

${\displaystyle T_{6A}-T_{6B}-T_{6C}-T_{6D}+2T_{6E}=0}$

o utilizando los cocientes eta anteriores j _n ,

${\displaystyle j_{6A}-j_{6B}-j_{6C}-j_{6D}+2j_{6E}=22}$

Una relación similar existe para el nivel 10.

Secuencias α

Para la función modular j _6A , se puede asociar con tres secuencias diferentes. (Una situación similar ocurre para la función de nivel 10 j _10A .) Sea,

${\displaystyle \alpha _{1}(k)={\binom {2k}{k}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{3}=1,4,60,1120,24220,\ldots }$( OEIS : A181418 , etiquetado como s ₆ en el artículo de Cooper)

${\displaystyle \alpha _{2}(k)={\binom {2k}{k}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}\sum _{m=0}^{j}{\binom {j}{m}}^{3}={\binom {2k}{k}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{2}{\binom {2j}{j}}=1,6,90,1860,44730,\ldots }$( OEIS : A002896 )

${\displaystyle \alpha _{3}(k)={\binom {2k}{k}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}(-8)^{k-j}\sum _{m=0}^{j}{\binom {j}{m}}^{3}=1,-12,252,-6240,167580,-4726512,\ldots }$

Las tres secuencias implican el producto de los coeficientes binomiales centrales con: primero, los números de Franel ; segundo, OEIS : A002893 , y tercero, OEIS : A093388 . Nótese que la segunda secuencia, α ₂ ( k ) es también el número de 2 polígonos de n pasos en una red cúbica . Sus complementos, ${\displaystyle c(k)={\tbinom {2k}{k}}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{j=0}^{k}{\tbinom {k}{j}}^{3}}$ ${\displaystyle (-1)^{k}}$

${\displaystyle \alpha '_{2}(k)={\binom {2k}{k}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}(-1)^{k-j}\sum _{m=0}^{j}{\binom {j}{m}}^{3}=1,2,42,620,12250,\ldots }$

${\displaystyle \alpha '_{3}(k)={\binom {2k}{k}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}(8)^{k-j}\sum _{m=0}^{j}{\binom {j}{m}}^{3}=1,20,636,23840,991900,\ldots }$

También existen secuencias asociadas, a saber, los números de Apéry,

${\displaystyle s_{6B}(k)=\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{2}{\binom {k+j}{j}}^{2}=1,5,73,1445,33001,\ldots }$( OEIS : A005259 )

los números de Domb (sin signo) o el número de 2 polígonos de n pasos en una red de diamantes ,

${\displaystyle s_{6C}(k)=(-1)^{k}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{2}{\binom {2(k-j)}{k-j}}{\binom {2j}{j}}=1,-4,28,-256,2716,\ldots }$( OEIS : A002895 )

y los números de Almkvist-Zudilin,

${\displaystyle s_{6D}(k)=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}\,3^{k-3j}\,{\frac {(3j)!}{j!^{3}}}{\binom {k}{3j}}{\binom {k+j}{j}}=1,-3,9,-3,-279,2997,\ldots }$( OEIS : A125143 )

dónde

${\displaystyle {\frac {(3j)!}{j!^{3}}}={\binom {2j}{j}}{\binom {3j}{j}}}$

Identidades

Las funciones modulares se pueden relacionar como,

${\displaystyle P=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{1}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{6A}(\tau )\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{2}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{6A}(\tau )+4\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{3}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{6A}(\tau )-32\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}}$

${\displaystyle Q=\sum _{k=0}^{\infty }s_{6B}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{6B}(\tau )\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }s_{6C}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{6C}(\tau )\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }s_{6D}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{6D}(\tau )\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}}$

Si la serie converge y el signo se elige adecuadamente, también se puede observar que,

${\displaystyle P=Q=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha '_{2}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{6A}(\tau )-4\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha '_{3}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{6A}(\tau )+32\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}}$

Lo que implica,

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{2}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{6A}(\tau )+4\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha '_{2}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{6A}(\tau )-4\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}}$

y de manera similar utilizando α ₃ y α' ₃ .

Ejemplos

Se puede utilizar un valor de j _6A de tres maneras. Por ejemplo, comenzando con,

${\displaystyle \Delta =j_{6A}\left({\sqrt {\frac {-17}{6}}}\right)=198^{2}-4=\left(140{\sqrt {2}}\right)^{2}=39200}$

y observando que entonces, ${\displaystyle 3\cdot 17=51}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\pi }}&={\frac {24{\sqrt {3}}}{35}}\,\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{1}(k)\,{\frac {51\cdot 11k+53}{(\Delta )^{k+{\frac {1}{2}}}}}\\{\frac {1}{\pi }}&={\frac {4{\sqrt {3}}}{99}}\,\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{2}(k)\,{\frac {17\cdot 560k+899}{(\Delta +4)^{k+{\frac {1}{2}}}}}\\{\frac {1}{\pi }}&={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{3}(k)\,{\frac {770k+73}{(\Delta -32)^{k+{\frac {1}{2}}}}}\\\end{aligned}}}$

así como también,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\pi }}&={\frac {12{\sqrt {3}}}{9799}}\,\sum _{k=0}^{\infty }\alpha '_{2}(k)\,{\frac {11\cdot 51\cdot 560k+29693}{(\Delta -4)^{k+{\frac {1}{2}}}}}\\{\frac {1}{\pi }}&={\frac {6{\sqrt {3}}}{613}}\,\sum _{k=0}^{\infty }\alpha '_{3}(k)\,{\frac {51\cdot 770k+3697}{(\Delta +32)^{k+{\frac {1}{2}}}}}\\\end{aligned}}}$

Aunque las fórmulas que utilizan los complementos aparentemente no tienen todavía una demostración rigurosa. Para las demás funciones modulares,

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=8{\sqrt {15}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{6B}(k)\,\left({\frac {1}{2}}-{\frac {3{\sqrt {5}}}{20}}+k\right)\left({\frac {1}{\phi ^{12}}}\right)^{k+{\frac {1}{2}}},\quad j_{6B}\left({\sqrt {\frac {-5}{6}}}\right)=\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{12}=\phi ^{12}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {1}{2}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{6C}(k)\,{\frac {3k+1}{32^{k}}},\quad j_{6C}\left({\sqrt {\frac {-1}{3}}}\right)=32}$

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=2{\sqrt {3}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{6D}(k)\,{\frac {4k+1}{81^{k+{\frac {1}{2}}}}},\quad j_{6D}\left({\sqrt {\frac {-1}{2}}}\right)=81}$

Nivel 7

Definir

${\displaystyle s_{7A}(k)=\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{2}{\binom {2j}{k}}{\binom {k+j}{j}}=1,4,48,760,13840,\ldots }$( OEIS : A183204 )

y,

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{7A}(\tau )&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (7\tau )}}\right)^{2}+7\left({\frac {\eta (7\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{2}\right)^{2}={\frac {1}{q}}+10+51q+204q^{2}+681q^{3}+\cdots \\j_{7B}(\tau )&=\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (7\tau )}}\right)^{4}={\frac {1}{q}}-4+2q+8q^{2}-5q^{3}-4q^{4}-10q^{5}+\cdots \end{aligned}}}$

Ejemplo:

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {\sqrt {7}}{22^{3}}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{7A}(k)\,{\frac {11895k+1286}{\left(-22^{3}\right)^{k}}},\quad j_{7A}\left({\frac {7+{\sqrt {-427}}}{14}}\right)=-22^{3}+1=-\left(39{\sqrt {7}}\right)^{2}=-10647}$

Aún no se ha encontrado ninguna fórmula pi que utilice j _7B .

Nivel 8

Funciones modulares

Los niveles están relacionados ya que son simplemente potencias del mismo primo. Defina, ${\displaystyle 2,4,8}$

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{4B}(\tau )&={\sqrt {j_{2A}(2\tau )}}=\left({\sqrt {j_{4D}(\tau )}}+{\frac {8}{\sqrt {j_{4D}(\tau )}}}\right)^{2}-16=\left({\sqrt {j_{8A}(\tau )}}-{\frac {4}{\sqrt {j_{8A}(\tau )}}}\right)^{2}=\left({\sqrt {j_{8A'}(\tau )}}+{\frac {4}{\sqrt {j_{8A'}(\tau )}}}\right)^{2}\\&=\left({\frac {\eta (2\tau )}{\eta (4\tau )}}\right)^{12}+2^{6}\left({\frac {\eta (4\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{12}={\frac {1}{q}}+52q+834q^{3}+4760q^{5}+24703q^{7}+\cdots \\j_{4D}(\tau )&=\left({\frac {\eta (2\tau )}{\eta (4\tau )}}\right)^{12}={\frac {1}{q}}-12q+66q^{3}-232q^{5}+639q^{7}-1596q^{9}+\cdots \\j_{8A}(\tau )&=\left({\frac {\eta (2\tau )\,\eta (4\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (8\tau )}}\right)^{8}={\frac {1}{q}}+8+36q+128q^{2}+386q^{3}+1024q^{4}+\cdots \\j_{8A'}(\tau )&=\left({\frac {\eta (\tau )\,\eta ^{2}(4\tau )}{\eta ^{2}(2\tau )\,\eta (8\tau )}}\right)^{8}={\frac {1}{q}}-8+36q-128q^{2}+386q^{3}-1024q^{4}+\cdots \\j_{8B}(\tau )&=\left({\frac {\eta ^{2}(4\tau )}{\eta (2\tau )\,\eta (8\tau )}}\right)^{12}={\sqrt {j_{4A}(2\tau )}}={\frac {1}{q}}+12q+66q^{3}+232q^{5}+639q^{7}+\cdots \\j_{8E}(\tau )&=\left({\frac {\eta ^{3}(4\tau )}{\eta (2\tau )\,\eta ^{2}(8\tau )}}\right)^{4}={\frac {1}{q}}+4q+2q^{3}-8q^{5}-q^{7}+20q^{9}-2q^{11}-40q^{13}+\cdots \end{aligned}}}$

Al igual que en el nivel 6, cinco de estas funciones tienen una relación lineal,

${\displaystyle j_{4B}-j_{4D}-j_{8A}-j_{8A'}+2j_{8E}=0}$

Pero ésta no es una de las nueve dependencias lineales de Conway-Norton-Atkin, ya que no es una función de luz de luna. Sin embargo, está relacionada con una como, ${\displaystyle j_{8A'}}$

${\displaystyle j_{8A'}(\tau )=-j_{8A}{\Big (}\tau +{\tfrac {1}{2}}{\Big )}}$

Secuencias

${\displaystyle s_{4B}(k)={\binom {2k}{k}}\sum _{j=0}^{k}4^{k-2j}{\binom {k}{2j}}{\binom {2j}{j}}^{2}={\binom {2k}{k}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}{\binom {2k-2j}{k-j}}{\binom {2j}{j}}=1,8,120,2240,47320,\ldots }$

${\displaystyle s_{4D}(k)={\binom {2k}{k}}^{3}=1,8,216,8000,343000,\ldots }$

${\displaystyle s_{8A}(k)=\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{2}{\binom {2j}{k}}^{2}=1,4,40,544,8536,\ldots }$ ( OEIS : A290575 )

${\displaystyle s_{8B}(k)=\sum _{j=0}^{k}{\binom {2j}{j}}^{3}{\binom {2k-4j}{k-2j}}=1,2,14,36,334,\ldots }$

donde el primero es el producto ^[2] del coeficiente binomial central y una secuencia relacionada con una media aritmético-geométrica ( OEIS : A081085 ).

Identidades

Las funciones modulares se pueden relacionar como,

${\displaystyle \pm \sum _{k=0}^{\infty }s_{4B}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{4B}(\tau )+16\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }s_{4D}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{4D}(\tau )\right)^{2k+{\frac {1}{2}}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }s_{8A}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{8A}(\tau )\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}s_{8A}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{8A'}(\tau )\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}}$

Si la serie converge y los signos se eligen adecuadamente, nótese también que el exponente de es diferente al de los demás. ${\displaystyle \left(j_{4D}(\tau )\right)^{2k+{\frac {1}{2}}}}$

Ejemplos

Recordemos que mientras . Por lo tanto, ${\displaystyle j_{2A}\left({\tfrac {\sqrt {-58}}{2}}\right)=396^{4},}$ ${\displaystyle j_{4B}\left({\tfrac {\sqrt {-58}}{4}}\right)=396^{2}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{13}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{4B}(k)\,{\frac {70\cdot 99\,k+579}{\left(396^{2}+16\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}},\qquad j_{4B}\left({\frac {\sqrt {-58}}{4}}\right)=396^{2}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=2{\sqrt {2}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{8A}(k)\,{\frac {-222+70{\sqrt {58}}\,\left(k+{\frac {1}{2}}\right)}{\left(4\left(99+13{\sqrt {58}}\right)^{2}\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}},\qquad j_{8A}\left({\frac {\sqrt {-58}}{4}}\right)=4\left(99+13{\sqrt {58}}\right)^{2}=4U_{58}^{2}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=2\,\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}s_{8A}(k)\,{\frac {-222{\sqrt {2}}+13\times 58\,\left(k+{\frac {1}{2}}\right)}{\left(4\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{12}\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}},\qquad j_{8A'}\left({\frac {\sqrt {-58}}{4}}\right)=4\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{12}=4U_{2}^{12},}$

Para otro ejemplo de nivel 8,

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {1}{16}}{\sqrt {\frac {3}{5}}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{8B}(k)\,{\frac {210k+43}{(64)^{k+{\frac {1}{2}}}}},\qquad j_{8B}\left({\frac {\sqrt {-7}}{4}}\right)=2^{6}=64}$

Nivel 9

Definir,

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{3C}(\tau )&=\left(j(3\tau )\right)^{\frac {1}{3}}=-6+\left({\frac {\eta ^{2}(3\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (9\tau )}}\right)^{6}-27\left({\frac {\eta (\tau )\,\eta (9\tau )}{\eta ^{2}(3\tau )}}\right)^{6}={\frac {1}{q}}+248q^{2}+4124q^{5}+34752q^{8}+\cdots \\j_{9A}(\tau )&=\left({\frac {\eta ^{2}(3\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (9\tau )}}\right)^{6}={\frac {1}{q}}+6+27q+86q^{2}+243q^{3}+594q^{4}+\cdots \\\end{aligned}}}$

La expansión de la primera es la serie McKay-Thompson de clase 3C (y relacionada con la raíz cúbica de la función j ), mientras que la segunda es la de clase 9A. Sea,

${\displaystyle s_{3C}(k)={\binom {2k}{k}}\sum _{j=0}^{k}(-3)^{k-3j}{\binom {k}{j}}{\binom {k-j}{j}}{\binom {k-2j}{j}}={\binom {2k}{k}}\sum _{j=0}^{k}(-3)^{k-3j}{\binom {k}{3j}}{\binom {2j}{j}}{\binom {3j}{j}}=1,-6,54,-420,630,\ldots }$

${\displaystyle s_{9A}(k)=\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{2}\sum _{m=0}^{j}{\binom {k}{m}}{\binom {j}{m}}{\binom {j+m}{k}}=1,3,27,309,4059,\ldots }$

donde el primero es el producto de los coeficientes binomiales centrales y OEIS : A006077 (aunque con signos diferentes).

Ejemplos:

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {-{\boldsymbol {i}}}{9}}\sum _{k=0}^{\infty }s_{3C}(k)\,{\frac {602k+85}{\left(-960-12\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}},\quad j_{3C}\left({\frac {3+{\sqrt {-43}}}{6}}\right)=-960}$

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=6\,{\boldsymbol {i}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{9A}(k)\,{\frac {4-{\sqrt {129}}\,\left(k+{\frac {1}{2}}\right)}{\left(-3{\sqrt {3U_{129}}}\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}},\quad j_{9A}\left({\frac {3+{\sqrt {-43}}}{6}}\right)=-3{\sqrt {3}}\left(53{\sqrt {3}}+14{\sqrt {43}}\right)=-3{\sqrt {3U_{129}}}}$

Nivel 10

Funciones modulares

Definir,

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{10A}(\tau )&=\left({\sqrt {j_{10D}(\tau )}}-{\frac {1}{\sqrt {j_{10D}(\tau )}}}\right)^{2}=\left({\sqrt {j_{6B}(\tau )}}+{\frac {4}{\sqrt {j_{10B}(\tau )}}}\right)^{2}=\left({\sqrt {j_{10C}(\tau )}}+{\frac {5}{\sqrt {j_{10C}(\tau )}}}\right)^{2}-4={\frac {1}{q}}+4+22q+56q^{2}+\cdots \end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{10B}(\tau )&=\left({\frac {\eta (\tau )\eta (5\tau )}{\eta (2\tau )\eta (10\tau )}}\right)^{4}={\frac {1}{q}}-4+6q-8q^{2}+17q^{3}-32q^{4}+\cdots \end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{10C}(\tau )&=\left({\frac {\eta (\tau )\eta (2\tau )}{\eta (5\tau )\eta (10\tau )}}\right)^{2}={\frac {1}{q}}-2-3q+6q^{2}+2q^{3}+2q^{4}+\cdots \end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{10D}(\tau )&=\left({\frac {\eta (2\tau )\eta (5\tau )}{\eta (\tau )\eta (10\tau )}}\right)^{6}={\frac {1}{q}}+6+21q+62q^{2}+162q^{3}+\cdots \end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{10E}(\tau )&=\left({\frac {\eta (2\tau )\eta ^{5}(5\tau )}{\eta (\tau )\eta ^{5}(10\tau )}}\right)={\frac {1}{q}}+1+q+2q^{2}+2q^{3}-2q^{4}+\cdots \end{aligned}}}$

Al igual que , la función es un cuadrado o un cuasi cuadrado de las demás. Además, también existen relaciones lineales entre ellas, ${\displaystyle j_{6A}}$ ${\displaystyle j_{10A}}$

${\displaystyle T_{10A}-T_{10B}-T_{10C}-T_{10D}+2T_{10E}=0}$

o utilizando los cocientes eta anteriores j _n ,

${\displaystyle j_{10A}-j_{10B}-j_{10C}-j_{10D}+2j_{10E}=6}$

secuencias β

Dejar,

${\displaystyle \beta _{1}(k)=\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{4}=1,2,18,164,1810,\ldots }$( OEIS : A005260 , etiquetado como s ₁₀ en el artículo de Cooper)

${\displaystyle \beta _{2}(k)={\binom {2k}{k}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {2j}{j}}^{-1}{\binom {k}{j}}\sum _{m=0}^{j}{\binom {j}{m}}^{4}=1,4,36,424,5716,\ldots }$

${\displaystyle \beta _{3}(k)={\binom {2k}{k}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {2j}{j}}^{-1}{\binom {k}{j}}(-4)^{k-j}\sum _{m=0}^{j}{\binom {j}{m}}^{4}=1,-6,66,-876,12786,\ldots }$

sus complementos,

${\displaystyle \beta _{2}'(k)={\binom {2k}{k}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {2j}{j}}^{-1}{\binom {k}{j}}(-1)^{k-j}\sum _{m=0}^{j}{\binom {j}{m}}^{4}=1,0,12,24,564,2784,\ldots }$

${\displaystyle \beta _{3}'(k)={\binom {2k}{k}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {2j}{j}}^{-1}{\binom {k}{j}}(4)^{k-j}\sum _{m=0}^{j}{\binom {j}{m}}^{4}=1,10,162,3124,66994,\ldots }$

y,

${\displaystyle s_{10B}(k)=1,-2,10,-68,514,-4100,33940,\ldots }$

${\displaystyle s_{10C}(k)=1,-1,1,-1,1,23,-263,1343,-2303,\ldots }$

${\displaystyle s_{10D}(k)=1,3,25,267,3249,42795,594145,\ldots }$

Aunque todavía no se conocen formas cerradas de las tres últimas secuencias.

Identidades

Las funciones modulares se pueden relacionar como, ^[15]

${\displaystyle U=\sum _{k=0}^{\infty }\beta _{1}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{10A}(\tau )\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }\beta _{2}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{10A}(\tau )+4\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }\beta _{3}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{10A}(\tau )-16\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}}$

${\displaystyle V=\sum _{k=0}^{\infty }s_{10B}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{10B}(\tau )\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }s_{10C}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{10C}(\tau )\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }s_{10D}(k)\,{\frac {1}{\left(j_{10D}(\tau )\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}}$

Si la serie converge, de hecho, también se puede observar que,

${\displaystyle U=V=\sum _{k=0}^{\infty }\beta _{2}'(k)\,{\frac {1}{\left(j_{10A}(\tau )-4\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }\beta _{3}'(k)\,{\frac {1}{\left(j_{10A}(\tau )+16\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}}$

Dado que el exponente tiene una parte fraccionaria, el signo de la raíz cuadrada debe elegirse adecuadamente, aunque es un problema menor cuando j _n es positivo.

Ejemplos

Al igual que el nivel 6, la función de nivel 10 j _10A se puede utilizar de tres maneras. Comenzando con,

${\displaystyle j_{10A}\left({\sqrt {\frac {-19}{10}}}\right)=76^{2}=5776}$

y observando que entonces, ${\displaystyle 5\cdot 19=95}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\pi }}&={\frac {5}{\sqrt {95}}}\,\sum _{k=0}^{\infty }\beta _{1}(k)\,{\frac {408k+47}{\left(76^{2}\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}\\{\frac {1}{\pi }}&={\frac {1}{17{\sqrt {95}}}}\,\sum _{k=0}^{\infty }\beta _{2}(k)\,{\frac {19\cdot 1824k+3983}{\left(76^{2}+4\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}\\{\frac {1}{\pi }}&={\frac {1}{6{\sqrt {95}}}}\,\,\sum _{k=0}^{\infty }\beta _{3}(k)\,\,{\frac {19\cdot 646k+1427}{\left(76^{2}-16\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}\\\end{aligned}}}$

así como también,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\pi }}&={\frac {5}{481{\sqrt {95}}}}\,\sum _{k=0}^{\infty }\beta _{2}'(k)\,{\frac {19\cdot 10336k+22675}{\left(76^{2}-4\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}\\{\frac {1}{\pi }}&={\frac {5}{181{\sqrt {95}}}}\,\sum _{k=0}^{\infty }\beta _{3}'(k)\,{\frac {19\cdot 3876k+8405}{\left(76^{2}+16\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}}\end{aligned}}}$

Aunque los que utilizan los complementos aún no tienen una prueba rigurosa, una fórmula conjeturada que utiliza una de las últimas tres secuencias es:

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {\boldsymbol {i}}{\sqrt {5}}}\,\sum _{k=0}^{\infty }s_{10C}(k){\frac {10k+3}{\left(-5^{2}\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}},\quad j_{10C}\left({\frac {1+\,{\boldsymbol {i}}}{2}}\right)=-5^{2}}$

lo que implica que podría haber ejemplos para todas las secuencias del nivel 10.

Nivel 11

Defina la serie McKay-Thompson de clase 11A,

${\displaystyle j_{11A}(\tau )=(1+3F)^{3}+\left({\frac {1}{\sqrt {F}}}+3{\sqrt {F}}\right)^{2}={\frac {1}{q}}+6+17q+46q^{2}+116q^{3}+\cdots }$

o secuencia ( OEIS : A128525 ) y donde,

${\displaystyle F={\frac {\eta (3\tau )\,\eta (33\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (11\tau )}}}$

y,

${\displaystyle s_{11A}(k)=1,4,28,268,3004,36784,476476,\ldots }$( OEIS : A284756 )

Aún no se conoce una forma cerrada en términos de coeficientes binomiales para la secuencia pero obedece a la relación de recurrencia ,

${\displaystyle (k+1)^{3}s_{k+1}=2(2k+1)\left(5k^{2}+5k+2\right)s_{k}-8k\left(7k^{2}+1\right)s_{k-1}+22k(k-1)(2k-1)s_{k-2}}$

con condiciones iniciales s (0) = 1, s (1) = 4.

Ejemplo: ^[16]

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {\boldsymbol {i}}{22}}\sum _{k=0}^{\infty }s_{11A}(k)\,{\frac {221k+67}{(-44)^{k+{\frac {1}{2}}}}},\quad j_{11A}\left({\frac {1+{\sqrt {\frac {-17}{11}}}}{2}}\right)=-44}$

Niveles superiores

Como señala Cooper, ^[16] existen secuencias análogas para ciertos niveles superiores.

Series similares

R. Steiner encontró ejemplos utilizando números catalanes , ${\displaystyle C_{k}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(2C_{k-n}\right)^{2}{\frac {(4z)k+\left(4^{2n-3}-(4n-3)z\right)}{16^{k}}}\qquad z\in \mathbb {Z} ,\quad n\geq 2,\quad n\in \mathbb {N} }$

y para ello existe una forma modular con un segundo periódico para k :

${\displaystyle k={\frac {(-20-12{\boldsymbol {i}})+16n}{16}},\qquad k={\frac {(-20+12{\boldsymbol {i}})+16n}{16}}}$

Otras series similares son

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(2C_{k-2}\right)^{2}{\frac {3k+{\frac {1}{4}}}{16^{k}}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(2C_{k-1}\right)^{2}{\frac {(4z+1)k-z}{16^{k}}}\qquad z\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(2C_{k-1}\right)^{2}{\frac {-1k+{\frac {1}{2}}}{16^{k}}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(2C_{k-1}\right)^{2}{\frac {0k+{\frac {1}{4}}}{16^{k}}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(2C_{k-1}\right)^{2}{\frac {{\frac {k}{5}}+{\frac {1}{5}}}{16^{k}}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(2C_{k-1}\right)^{2}{\frac {{\frac {k}{3}}+{\frac {1}{6}}}{16^{k}}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(2C_{k-1}\right)^{2}{\frac {{\frac {k}{2}}+{\frac {1}{8}}}{16^{k}}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(2C_{k-1}\right)^{2}{\frac {2k-{\frac {1}{4}}}{16^{k}}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(2C_{k-1}\right)^{2}{\frac {3k-{\frac {1}{2}}}{16^{k}}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(2C_{k}\right)^{2}{\frac {{\frac {k}{16}}+{\frac {1}{16}}}{16^{k}}}}$

con el último (comentarios en OEIS : A013709 ) encontrado usando una combinación lineal de partes superiores de la serie de Wallis -Lambert para y la serie de Euler para la circunferencia de una elipse . ${\displaystyle {\tfrac {4}{\pi }}}$

Utilizando la definición de números catalanes con la función gamma el primero y el último por ejemplo dan las identidades

${\displaystyle {\frac {1}{4}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\left({\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}}+k)}{\Gamma (2+k)}}\right)}^{2}\left(4zk-(4n-3)z+4^{2n-3}\right)\qquad z\in \mathbb {Z} ,\quad n\geq 2,\quad n\in \mathbb {N} }$

...

${\displaystyle 4=\sum _{k=0}^{\infty }{\left({\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}}+k)}{\Gamma (2+k)}}\right)}^{2}(k+1)}$.

El último también es equivalente a,

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {1}{4}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {{\binom {2k}{k}}^{2}}{k+1}}\,{\frac {1}{16^{k}}}}$

y está relacionado con el hecho de que,

${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {16^{k}}{k{\binom {2k}{k}}^{2}}}=\pi }$

lo cual es una consecuencia de la aproximación de Stirling .

Véase también

• Algoritmo de Chudnovsky
• Algoritmo de Borwein

Referencias

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2. Almkvist, Gert; Guillera, Jesus (2013). "Serie similar a Ramanujan–Sato". En Borwein, J.; Shparlinski, I.; Zudilin, W. (eds.). Teoría de números y campos relacionados . Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. Vol. 43. Nueva York: Springer. págs. 55–74. doi :10.1007/978-1-4614-6642-0_2. ISBN 978-1-4614-6641-3.S2CID44875082  .​
3. Chan, HH; Cooper, S. (2012). "Análogos racionales de la serie de Ramanujan para 1/π" (PDF) . Actas matemáticas de la Sociedad filosófica de Cambridge . 153 (2): 361–383. doi :10.1017/S0305004112000254. S2CID  76656590. Archivado desde el original (PDF) el 19 de diciembre de 2019.
4. Almkvist, G. (2012). "Algunas fórmulas conjeturadas para 1/π a partir de politopos, superficies K3 y Moonshine". arXiv : 1211.6563 [math.NT].
5. Ramanujan, S. (1914). "Ecuaciones modulares y aproximaciones a π". Quart. J. Math . 45. Oxford: 350–372.
6. Chan; Tanigawa; Yang; Zudilin (2011). "Nuevos análogos de las identidades de Clausen que surgen de la teoría de formas modulares". Avances en Matemáticas . 228 (2): 1294–1314. doi : 10.1016/j.aim.2011.06.011 . hdl : 1959.13/934806 .
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8. Chan, H.; Verrill, H. (2009). "Los números de Apéry, los números de Almkvist–Zudilin y nuevas series para 1/π". Mathematical Research Letters . 16 (3): 405–420. doi : 10.4310/MRL.2009.v16.n3.a3 .
9. Cooper, S. (2012). "Secuencias esporádicas, formas modulares y nuevas series para 1/π". Ramanujan Journal . 29 (1–3): 163–183. doi :10.1007/s11139-011-9357-3. S2CID  122870693.
10. Zagier, D. (2000). "Huellas de módulos singulares" (PDF) . pp. 15–16.
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12. Yee, Alexander; Kondo, Shigeru (2011), 10 billones de dígitos de Pi: un estudio de caso de suma de series hipergeométricas con alta precisión en sistemas multinúcleo , Informe técnico, Departamento de Ciencias de la Computación, Universidad de Illinois, hdl :2142/28348.
13. Borwein, JM ; Borwein, PB ; Bailey, DH (1989). "Ramanujan, ecuaciones modulares y aproximaciones a pi; o cómo calcular mil millones de dígitos de pi" (PDF) . Amer. Math. Monthly . 96 (3): 201–219. doi :10.1080/00029890.1989.11972169.
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15. S. Cooper, "Análogos de nivel 10 de la serie de Ramanujan para 1/ π ", Teorema 4.3, pág. 85, J. Ramanujan Math. Soc. 27, n.º 1 (2012)
16. Cooper, S. (diciembre de 2013). "Las teorías de Ramanujan sobre funciones elípticas en bases alternativas y más allá" (PDF) . Conferencia Askey 80 .

Enlaces externos

• Números de Franel
• Serie McKay-Thompson
• Aproximaciones a Pi mediante la función eta de Dedekind