conjeturas de weil

Sobre la generación de funciones a partir del conteo de puntos en variedades algebraicas sobre campos finitos

En matemáticas , las conjeturas de Weil fueron propuestas muy influyentes de André Weil  (1949). Condujeron a un exitoso programa de varias décadas para probarlos, en el que muchos investigadores destacados desarrollaron el marco de la geometría algebraica y la teoría de números modernas .

Las conjeturas se refieren a las funciones generadoras (conocidas como funciones zeta locales ) derivadas del conteo de puntos en variedades algebraicas sobre campos finitos . Una variedad V sobre un campo finito con q elementos tiene un número finito de puntos racionales (con coordenadas en el campo original), así como puntos con coordenadas en cualquier extensión finita del campo original. La función generadora tiene coeficientes derivados de los números N _k de puntos sobre el campo de extensión con q ^k elementos.

Weil conjeturó que tales funciones zeta para variedades suaves son funciones racionales , satisfacen una determinada ecuación funcional y tienen sus ceros en lugares restringidos. Las dos últimas partes se basaron conscientemente en la función zeta de Riemann , una especie de función generadora de números enteros primos, que obedece a una ecuación funcional y (conjeturalmente) tiene sus ceros restringidos por la hipótesis de Riemann . La racionalidad fue demostrada por Bernard Dwork  (1960), la ecuación funcional por Alexander Grothendieck  (1965) y la análoga a la hipótesis de Riemann por Pierre Deligne  (1974).

Antecedentes e historia

El antecedente más antiguo de las conjeturas de Weil es de Carl Friedrich Gauss y aparece en la sección VII de sus Disquisitiones Arithmeticae (Mazur 1974), que trata de las raíces de la unidad y los períodos gaussianos . En el artículo 358 se pasa de los períodos que construyen torres de ampliación cuadrática, a la construcción de polígonos regulares; y supone que p es un número primo congruente con 1 módulo 3. Entonces hay un campo cúbico cíclico dentro del campo ciclotómico de p ésimas raíces de la unidad, y una base integral normal de períodos para los números enteros de este campo (un ejemplo de la Teorema de Hilbert-Speiser ). Gauss construye los períodos de orden 3, correspondientes al grupo cíclico ( Z / p Z ) ^× de residuos distintos de cero módulo p bajo la multiplicación y su subgrupo único de índice tres. Gauss deja que , y sean sus clases laterales. Tomando los períodos (sumas de raíces de la unidad) correspondientes a estas clases laterales aplicadas a exp(2 πi / p ) , observa que estos períodos tienen una tabla de multiplicar accesible al cálculo. Los productos son combinaciones lineales de los períodos y él determina los coeficientes. Establece, por ejemplo, igual al número de elementos de Z / p Z que están en y que, aumentados en uno, también están en . Demuestra que este número y los relacionados son los coeficientes de los productos de los períodos. Para ver la relación de estos conjuntos con las conjeturas de Weil, observe que si α y α + 1 están ambos en , entonces existen x e y en Z / p Z tales que x ³ = α e y ³ = α + 1 ; en consecuencia, x ³ + 1 = y ³ . Por lo tanto está relacionado con el número de soluciones de x ³ + 1 = y ³ en el cuerpo finito Z / p Z . Los otros coeficientes tienen interpretaciones similares. La determinación de Gauss de los coeficientes de los productos de los períodos cuenta, por tanto, el número de puntos en estas curvas elípticas. ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {R}}'}$ ${\displaystyle {\mathfrak {R}}''}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {R}}{\mathfrak {R}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {R}}{\mathfrak {R}})}$, y como subproducto demuestra lo análogo a la hipótesis de Riemann.

Las conjeturas de Weil en el caso especial de curvas algebraicas fueron conjeturadas por Emil Artin  (1924). El caso de las curvas sobre campos finitos fue demostrado por Weil, finalizando el proyecto iniciado por el teorema de Hasse sobre curvas elípticas sobre campos finitos. Su interés era bastante obvio desde dentro de la teoría de números : implicaban límites superiores para sumas exponenciales , una preocupación básica en la teoría analítica de números (Moreno 2001).

Lo que realmente llamó la atención desde el punto de vista de otras áreas matemáticas fue la conexión propuesta con la topología algebraica . Dado que los campos finitos son de naturaleza discreta y la topología habla sólo de lo continuo , la formulación detallada de Weil (basada en la elaboración de algunos ejemplos) fue sorprendente y novedosa. Sugirió que la geometría sobre campos finitos debería encajar en patrones bien conocidos relacionados con los números de Betti , el teorema del punto fijo de Lefschetz , etc.

La analogía con la topología sugirió que se estableciera una nueva teoría homológica aplicable dentro de la geometría algebraica . Esto llevó dos décadas (era un objetivo central de la obra y la escuela de Alexander Grothendieck ) basándose en las sugerencias iniciales de Serre . La parte de racionalidad de las conjeturas fue demostrada por primera vez por Bernard Dwork  (1960), utilizando métodos p -ádicos . Grothendieck (1965) y sus colaboradores establecieron la conjetura de racionalidad, la ecuación funcional y el vínculo con los números de Betti utilizando las propiedades de la cohomología étale , una nueva teoría de cohomología desarrollada por Grothendieck y Michael Artin para atacar las conjeturas de Weil, como se describe en Grothendieck ( 1960). De las cuatro conjeturas, la análoga a la hipótesis de Riemann fue la más difícil de probar. Motivado por la prueba de Serre (1960) de un análogo de las conjeturas de Weil para variedades de Kähler , Grothendieck imaginó una prueba basada en sus conjeturas estándar sobre ciclos algebraicos (Kleiman 1968). Sin embargo, las conjeturas estándar de Grothendieck permanecen abiertas (a excepción del teorema duro de Lefschetz , que fue demostrado por Deligne ampliando su trabajo sobre las conjeturas de Weil), y la análoga de la hipótesis de Riemann fue demostrada por Deligne  (1974), utilizando la teoría de la cohomología de Étale. pero evitando el uso de conjeturas estándar mediante un argumento ingenioso.

Deligne (1980) encontró y demostró una generalización de las conjeturas de Weil, acotando los pesos del avance de una gavilla.

Declaración de las conjeturas de Weil

Supongamos que X es una variedad algebraica proyectiva de n dimensiones no singular sobre el campo F _q con q elementos. La función zeta ζ ( X , s ) de X es por definición

${\displaystyle \zeta (X,s)=\exp \left(\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {N_{m}}{m}}q^{-ms}\right)}$

donde N _m es el número de puntos de X definidos sobre la extensión de grado m F _{q ^m} de F _q .

Las conjeturas de Weil afirman:

1. (Racionalidad) ζ ( X , s ) es una función racional de T = q ^{− s} . Más precisamente, ζ ( X , s ) se puede escribir como un producto alterno finito

${\displaystyle \prod _{i=0}^{2n}P_{i}(q^{-s})^{(-1)^{i+1}}={\frac {P_{1}(T)\dotsb P_{2n-1}(T)}{P_{0}(T)\dotsb P_{2n}(T)}},}$

donde cada P _i ( T ) es un polinomio integral. Además, P ₀ ( T ) = 1 − T , P _{2 n} ( T ) = 1 − q ⁿ T , y para 1 ≤ i ≤ 2 n − 1 , P _i ( T ) factoriza sobre C como para algunos números α _ij . ${\displaystyle \textstyle \prod _{j}(1-\alpha _{ij}T)}$

2. (Ecuación funcional y dualidad de Poincaré) La función zeta satisface

${\displaystyle \zeta (X,n-s)=\pm q^{nE/2-Es}\zeta (X,s)}$

o equivalente

${\displaystyle \zeta (X,q^{-n}T^{-1})=\pm q^{nE/2}T^{E}\zeta (X,T)}$

donde E es la característica de Euler de X. En particular, para cada i , los números α _{2 n − i ,1} , α _{2 n − i ,2} , ... son iguales a los números q ⁿ / α _{i ,1} , q ⁿ / α _{i ,2} , ... en algún orden.

3. (hipótesis de Riemann) | α _{yo , j} | = q ^{i /2} para todo 1 ≤ i ≤ 2 n − 1 y todo j . Esto implica que todos los ceros de P _k ( T ) se encuentran en la "línea crítica" de los números complejos s con parte real k /2 .

4. (Números de Betti) Si X es un (bueno) " mod de reducción p " de una variedad proyectiva no singular Y definida sobre un campo numérico incrustado en el campo de números complejos, entonces el grado _de Pi es ^el iésimo Betti número del espacio de puntos complejos de Y .

Ejemplos

La línea proyectiva

El ejemplo más simple (aparte de un punto) es tomar X como la línea proyectiva. El número de puntos de X sobre un campo con q ^m elementos es simplemente N _m = q ^m + 1 (donde " + 1 " proviene del " punto en el infinito "). La función zeta es simplemente

${\displaystyle {\frac {1}{(1-q^{-s})(1-q^{1-s})}}.}$

Es fácil comprobar directamente todas las partes de las conjeturas de Weil. Por ejemplo, la variedad compleja correspondiente es la esfera de Riemann y sus números de Betti iniciales son 1, 0, 1.

Espacio proyectivo

No es mucho más difícil hacer un espacio proyectivo de n dimensiones. El número de puntos de X sobre un campo con q ^m elementos es simplemente N _m = 1 + q ^m + q ^{2 m} + ⋯ + q ^nm . La función zeta es simplemente

${\displaystyle {\frac {1}{(1-q^{-s})(1-q^{1-s})\dots (1-q^{n-s})}}.}$

De nuevo es fácil comprobar directamente todas las partes de las conjeturas de Weil. ( El espacio proyectivo complejo proporciona los números de Betti relevantes, que casi determinan la respuesta).

El número de puntos en la línea proyectiva y el espacio proyectivo son muy fáciles de calcular porque pueden escribirse como uniones disjuntas de un número finito de copias de espacios afines. También es fácil demostrar las conjeturas de Weil para otros espacios, como los Grassmannianos y las variedades bandera, que tienen la misma propiedad de "pavimentación".

Curvas elípticas

Estos dan los primeros casos no triviales de las conjeturas de Weil (probadas por Hasse). Si E es una curva elíptica sobre un campo finito con q elementos, entonces el número de puntos de E definidos sobre el campo con q ^m elementos es 1 − α ^m − β ^m + q ^m , donde α y β son conjugados complejos con absoluta valor √ q . La función zeta es

${\displaystyle {\frac {(1-\alpha q^{-s})(1-\beta q^{-s})}{(1-q^{-s})(1-q^{1-s})}}.}$

Los números de Betti están dados por el toroide , 1,2,1, y el numerador es cuadrático.

Curvas hiperelípticas

Como ejemplo, considere la curva hiperelíptica ^[1]

${\displaystyle C:y^{2}+y=x^{5},}$

que es de género y dimensión . Al principio vista como una curva definida sobre los números racionales , esta curva tiene una buena reducción en todos los números primos . Entonces, después del módulo de reducción , se obtiene una curva hiperelíptica de género 2, con . Tomando como ejemplo, los polinomios de Weil y la función zeta de asumen la forma ${\displaystyle g=2}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle C/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle 5\neq q\in \mathbb {P} }$ ${\displaystyle q\neq 5}$ ${\displaystyle C/{\bf {F}}_{q}:y^{2}+h(x)y=f(x)}$ ${\displaystyle h(x)=1,f(x)=x^{5}\in {\bf {F}}_{q}[x]}$ ${\displaystyle q=41}$ ${\displaystyle P_{i}(T)}$ ${\displaystyle i=0,1,2,}$ ${\displaystyle C/{\bf {F}}_{41}}$

${\displaystyle \zeta (C/{\bf {F}}_{41},s)={\frac {P_{1}(T)}{P_{0}(T)\cdot P_{2}(T)}}={\frac {1-9\cdot T+71\cdot T^{2}-9\cdot 41\cdot T^{3}+41^{2}\cdot T^{4}}{(1-T)(1-41\cdot T)}}.}$

Los valores de y se pueden determinar contando el número de soluciones de sobre y , respectivamente, y sumando 1 a cada uno de estos dos números para permitir el punto en el infinito . Este conteo produce y . Sigue: ^[2] ${\displaystyle c_{1}=-9}$ ${\displaystyle c_{2}=71}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle y^{2}+y=x^{5}}$ ${\displaystyle {\bf {F}}_{41}}$ ${\displaystyle {\bf {F}}_{41^{2}}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle N_{1}=33}$ ${\displaystyle N_{2}=1743}$

${\displaystyle c_{1}=N_{1}-1-q=33-1-41=-9}$   y

${\displaystyle c_{2}=(N_{2}-1-q^{2}+c_{1}^{2})/2=(1743-1-41^{2}+(-9)^{2})/2=71.}$

Los ceros de are y (las expansiones decimales de estas partes real e imaginaria se cortan después del quinto decimal) junto con sus conjugados complejos y . Entonces, en la factorización , tenemos . Como se afirma en la tercera parte (hipótesis de Riemann) de las conjeturas de Weil, para . ${\displaystyle P_{1}(T)}$ ${\displaystyle z_{1}:=0,12305+{\sqrt {-1}}\cdot 0,09617}$ ${\displaystyle z_{2}:=-0,01329+{\sqrt {-1}}\cdot 0,15560}$ ${\displaystyle z_{3}:={\bar {z}}_{1}}$ ${\displaystyle z_{4}:={\bar {z}}_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}(T)=\prod _{j=1}^{4}(1-\alpha _{1,j}T)}$ ${\displaystyle \alpha _{1,j}=1/z_{j}}$ ${\displaystyle |\alpha _{1,j}|={\sqrt {41}}}$ ${\displaystyle j=1,2,3,4}$

La variedad compleja , proyectiva y no singular a la que pertenece tiene los números de Betti . ^[3] Como se describe en la cuarta parte de las conjeturas de Weil, los números de Betti (¡topológicamente definidos!) coinciden con los grados de los polinomios de Weil , para todos los primos : . ${\displaystyle C/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle B_{0}=1,B_{1}=2g=4,B_{2}=1}$ ${\displaystyle P_{i}(T)}$ ${\displaystyle q\neq 5}$ ${\displaystyle {\rm {deg}}(P_{i})=B_{i},\,i=0,1,2}$

Cohomología de Weil

Weil sugirió que las conjeturas se derivarían de la existencia de una " teoría de cohomología de Weil " adecuada para variedades en campos finitos, similar a la cohomología habitual con coeficientes racionales para variedades complejas. Su idea era que si F es el automorfismo de Frobenius sobre el campo finito, entonces el número de puntos de la variedad X sobre el campo de orden q ^m es el número de puntos fijos de F ^m (que actúan sobre todos los puntos de la variedad X definida sobre la clausura algebraica). En topología algebraica, el número de puntos fijos de un automorfismo se puede calcular utilizando el teorema del punto fijo de Lefschetz , dado como una suma alterna de trazas en los grupos de cohomología . Entonces, si hubiera grupos de cohomología similares para variedades en campos finitos, entonces la función zeta podría expresarse en términos de ellos.

El primer problema con esto es que el campo de coeficientes para una teoría de cohomología de Weil no pueden ser los números racionales. Para ver esto, considere el caso de una curva elíptica supersingular sobre un campo finito de característica p . El anillo de endomorfismo de esto es un orden en un álgebra de cuaterniones sobre los racionales, y debería actuar sobre el primer grupo de cohomología, que debería ser un espacio vectorial bidimensional sobre el campo de coeficientes por analogía con el caso de una curva elíptica compleja. Sin embargo, un álgebra de cuaterniones sobre los racionales no puede actuar en un espacio vectorial bidimensional sobre los racionales. El mismo argumento elimina la posibilidad de que el campo de coeficientes sean los números reales o p -ádicos, porque el álgebra de cuaterniones sigue siendo un álgebra de división sobre estos campos. Sin embargo, no elimina la posibilidad de que el campo de coeficientes sea el campo de números ℓ -ádicos para algún primo ℓ ≠ p , porque sobre estos campos el álgebra de división se divide y se convierte en un álgebra matricial, que puede actuar sobre un espacio vectorial bidimensional. . Grothendieck y Michael Artin lograron construir teorías de cohomología adecuadas sobre el campo de los números ℓ -ádicos para cada primo ℓ ≠ p , llamado cohomología ℓ -ádico .

Las pruebas de Grothendieck de tres de las cuatro conjeturas

A finales de 1964, Grothendieck, junto con Artin y Jean-Louis Verdier (y el trabajo anterior de Dwork de 1960) demostraron las conjeturas de Weil, aparte de la tercera conjetura más difícil mencionada anteriormente (la conjetura de la "hipótesis de Riemann") (Grothendieck 1965). Los teoremas generales sobre la cohomología étale permitieron a Grothendieck demostrar un análogo de la fórmula de punto fijo de Lefschetz para la teoría de la cohomología ℓ -ádica, y aplicándola al automorfismo F de Frobenius pudo probar la fórmula conjeturada para la función zeta:

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {P_{1}(T)\cdots P_{2n-1}(T)}{P_{0}(T)P_{2}(T)\cdots P_{2n}(T)}}}$

donde cada polinomio P _i es el determinante de I  −  TF en el grupo de cohomología ádico ℓ H ⁱ .

La racionalidad de la función zeta se desprende inmediatamente. La ecuación funcional de la función zeta se deriva de la dualidad de Poincaré para la cohomología ℓ -ádica, y la relación con los números complejos de Betti de un ascensor se deriva de un teorema de comparación entre la cohomología ℓ -ádica y ordinaria para variedades complejas.

De manera más general, Grothendieck demostró una fórmula similar para la función zeta (o "función L generalizada") de una gavilla F ₀ :

${\displaystyle Z(X_{0},F_{0},t)=\prod _{x\in |X_{0}|}\det(1-F_{x}^{*}t^{\deg(x)}\mid F_{0})^{-1}}$

como producto sobre grupos de cohomología:

${\displaystyle Z(X_{0},F_{0},t)=\prod _{i}\det(1-F^{*}t\mid H_{c}^{i}(F))^{(-1)^{i+1}}}$

El caso especial de la gavilla constante da la función zeta habitual.

La primera prueba de Deligne de la conjetura de la hipótesis de Riemann

Verdier (1974), Serre (1975), Katz (1976) y Freitag & Kiehl (1988) dieron relatos expositivos de la primera prueba de Deligne (1974). Gran parte de los antecedentes de la cohomología ℓ -ádica se describen en (Deligne 1977).

La primera prueba de Deligne de la tercera conjetura de Weil restante (la "conjetura de la hipótesis de Riemann") utilizó los siguientes pasos:

Uso de lápices Lefschetz

• Grothendieck expresó la función zeta en términos de la traza de Frobenius en grupos de cohomología ádica , por lo que las conjeturas de Weil para una variedad d -dimensional V sobre un campo finito con q elementos dependen de mostrar que los valores propios α de Frobenius actuando sobre i th ℓ -ádico grupo de cohomología H ⁱ ( V ) de V tiene valores absolutos | α | =  q ^{i /2} (para una incorporación de los elementos algebraicos de Q _ℓ en los números complejos).
• Después de ampliar V y extender el campo base, se puede suponer que la variedad V tiene un morfismo en la línea proyectiva P ¹ , con un número finito de fibras singulares con singularidades muy suaves (cuadráticas). La teoría de la monodromía de los lápices de Lefschetz , introducida para variedades complejas (y cohomología ordinaria) por Lefschetz (1924), y ampliada por Grothendieck (1972) y Deligne & Katz (1973) a la cohomología ℓ -ádica, relaciona la cohomología de V con esa de sus fibras. La relación depende del espacio Ex de ciclos de fuga _, el subespacio de la cohomología H ^{d −1} ( V _x ) de una fibra no singular V _x , abarcado por clases que se desvanecen en fibras singulares.
• La secuencia espectral de Leray relaciona el grupo de cohomología media de V con la cohomología de la fibra y la base. La parte difícil de tratar es más o menos un grupo H ¹ ( P ¹ , j _* E ) = H¹
  _taza( U , E ), donde U son los puntos de la línea proyectiva con fibras no singulares, y j es la inclusión de U en la línea proyectiva, y E es el haz con fibras de los espacios Ex _de ciclos de desaparición.

La estimación clave

El corazón de la prueba de Deligne es mostrar que el haz E sobre U es puro, en otras palabras, encontrar los valores absolutos de los valores propios de Frobenius en sus tallos. Esto se hace estudiando las funciones zeta de las potencias pares E ^k de E y aplicando la fórmula de Grothendieck para las funciones zeta como productos alternos sobre grupos de cohomología. La idea crucial de considerar incluso k potencias de E se inspiró en el artículo de Rankin  (1939), quien utilizó una idea similar con k  = 2 para acotar la función tau de Ramanujan . Langlands (1970, sección 8) señaló que una generalización del resultado de Rankin para valores pares más altos de k implicaría la conjetura de Ramanujan , y Deligne se dio cuenta de que en el caso de las funciones zeta de variedades, la teoría de Grothendieck de las funciones zeta de haces proporcionaba una analogía. de esta generalización.

• Los polos de la función zeta de E ^k se encuentran usando la fórmula de Grothendieck

${\displaystyle Z(U,E^{k},T)={\frac {\det(1-F^{*}T\mid H_{c}^{1}(E^{k}))}{\det(1-F^{*}T\mid H_{c}^{0}(E^{k}))\det(1-F^{*}T\mid H_{c}^{2}(E^{k}))}}}$

y calcular explícitamente los grupos de cohomología en el denominador. El h^0c
_​El término suele ser solo 1 ya que U no suele ser compacto y H²
_tazasse puede calcular explícitamente de la siguiente manera. La dualidad de Poincaré relaciona H²
_tazas( E ^k ) a H⁰
( E ^k ), que es a su vez el espacio de covariantes del grupo monodromía, que es el grupo geométrico fundamental de U que actúa sobre la fibra de E ^k en un punto. La fibra de E tiene una forma bilineal inducida por el producto de copa , que es antisimétrica si d es par, y convierte a E en un espacio simpléctico. (Esto es un poco inexacto: Deligne demostró más tarde que E ∩ E ^⊥ = 0 usando el teorema estricto de Lefschetz , esto requiere las conjeturas de Weil, y la prueba de las conjeturas de Weil realmente tiene que usar un argumento un poco más complicado con E / E ∩ E ^⊥ en lugar de E .) Un argumento de Kazhdan y Margulis muestra que la imagen del grupo monodromía que actúa sobre E , dada por la fórmula de Picard-Lefschetz , es densa en Zariski en un grupo simpléctico y por lo tanto tiene las mismas invariantes, que son bien conocidos de la teoría invariante clásica. Hacer un seguimiento de la acción de Frobenius en este cálculo muestra que sus valores propios son todos q ^{k ( d −1)/2+1} , por lo que la función zeta de Z ( E ^k , T ) tiene polos solo en T  = 1/ q ^{k ( re −1 )/2+1} .

• El producto de Euler para la función zeta de E ^k es

${\displaystyle Z(E^{k},T)=\prod _{x}{\frac {1}{Z(E_{x}^{k},T)}}}$

Si k es par entonces todos los coeficientes de los factores de la derecha (considerados como series de potencias en T ) no son negativos ; esto sigue escribiendo

${\displaystyle {\frac {1}{\det(1-T^{\deg(x)}F_{x}\mid E^{k})}}=\exp \left(\sum _{n>0}{\frac {T^{n}}{n}}\operatorname {Trace} (F_{x}^{n}\mid E)^{k}\right)}$

y utilizando el hecho de que las trazas de potencias de F son racionales, por lo que sus k potencias no son negativas ya que k es par. Deligne demuestra la racionalidad de las trazas relacionándolas con números de puntos de variedades, que son siempre números enteros (racionales).

• La serie de potencias para Z ( E ^k , T ) converge para T menos que el valor absoluto 1/ q ^{k ( d −1)/2+1} de su único polo posible. Cuando k es par, los coeficientes de todos sus factores de Euler no son negativos, de modo que cada uno de los factores de Euler tiene coeficientes acotados por una constante multiplicada por los coeficientes de Z ( E ^k , T ) y por lo tanto converge en la misma región y no tiene polos en esta región. Entonces, para k incluso los polinomios Z ( E^k
  _x, T ) no tienen ceros en esta región, o en otras palabras, los valores propios de Frobenius en los tallos de E ^k tienen un valor absoluto como máximo q ^{k ( d −1)/2+1} .
• Esta estimación se puede utilizar para encontrar el valor absoluto de cualquier valor propio α de Frobenius en una fibra de E de la siguiente manera. Para cualquier número entero k , α ^k es un valor propio de Frobenius en un tallo de E ^k , que para k incluso está acotado por q ^{1+ k ( d −1)/2} . Entonces

${\displaystyle |\alpha ^{k}|\leq q^{k(d-1)/2+1}}$

Como esto es cierto para k incluso arbitrariamente grande , esto implica que

${\displaystyle |\alpha |\leq q^{(d-1)/2}.}$

La dualidad de Poincaré implica entonces que

${\displaystyle |\alpha |=q^{(d-1)/2}.}$

Finalización de la prueba

La deducción de la hipótesis de Riemann a partir de esta estimación es en su mayor parte un uso bastante sencillo de técnicas estándar y se realiza de la siguiente manera.

• Los valores propios de Frobenius en H¹
  _taza( U , E ) ahora se pueden estimar ya que son los ceros de la función zeta de la gavilla E. Esta función zeta se puede escribir como un producto de Euler de las funciones zeta de los tallos de E , y el uso de la estimación de los valores propios de estos tallos muestra que este producto converge para | T | <  q ^{− d /2−1/2} , de modo que no hay ceros de la función zeta en esta región. Esto implica que los valores propios de Frobenius en E son como máximo q ^{d /2+1/2} en valor absoluto (de hecho, pronto se verá que tienen valor absoluto exactamente q ^{d /2} ). Este paso del argumento es muy similar a la prueba habitual de que la función zeta de Riemann no tiene ceros con parte real mayor que 1, escribiéndola como un producto de Euler.
• La conclusión de esto es que los valores propios α de Frobenius de una variedad de dimensión par d en el grupo de cohomología media satisfacen

${\displaystyle |\alpha |\leq q^{d/2+1/2}}$

Para obtener la hipótesis de Riemann es necesario eliminar la 1/2 del exponente. Esto puede hacerse de la siguiente manera. Aplicando esta estimación a cualquier potencia par V ^k de V y usando la fórmula de Künneth se muestra que los valores propios de Frobenius en la cohomología media de una variedad V de cualquier dimensión d satisfacen

${\displaystyle |\alpha ^{k}|\leq q^{kd/2+1/2}}$

Como esto es cierto para k incluso arbitrariamente grande , esto implica que

${\displaystyle |\alpha |\leq q^{d/2}}$

La dualidad de Poincaré implica entonces que

${\displaystyle |\alpha |=q^{d/2}.}$

• Esto prueba las conjeturas de Weil para la cohomología media de una variedad. Las conjeturas de Weil para la cohomología por debajo de la dimensión media se derivan de esto aplicando el teorema débil de Lefschetz , y las conjeturas para la cohomología por encima de la dimensión media se derivan de la dualidad de Poincaré.

La segunda prueba de Deligne

Deligne (1980) encontró y demostró una generalización de las conjeturas de Weil, acotando los pesos del avance de una gavilla. En la práctica, es esta generalización, más que las conjeturas originales de Weil, la que se utiliza principalmente en aplicaciones, como el teorema duro de Lefschetz . Gran parte de la segunda prueba es una reordenación de las ideas de su primera prueba. La principal idea adicional necesaria es un argumento estrechamente relacionado con el teorema de Jacques Hadamard y Charles Jean de la Vallée Poussin , utilizado por Deligne para demostrar que varias series L no tienen ceros con la parte 1 real.

Una gavilla construible en una variedad sobre un campo finito se llama pura de peso β si para todos los puntos x los valores propios de Frobenius en x tienen todos valor absoluto N ( x ) ^{β /2} , y se llama mixta de peso ≤  β si se puede escribir como extensiones repetidas de gavillas puras con pesos ≤  β .

El teorema de Deligne establece que si f es un morfismo de esquemas de tipo finito sobre un campo finito, entonces R ⁱ f _! lleva gavillas mixtas de peso ≤  β a gavillas mixtas de peso ≤  β  +  i .

Las conjeturas originales de Weil siguen tomando f como un morfismo de una variedad proyectiva suave a un punto y considerando la gavilla constante Q _ℓ en la variedad. Esto da un límite superior a los valores absolutos de los valores propios de Frobenius, y la dualidad de Poincaré muestra que este también es un límite inferior.

En general R ⁱ f _! no toma gavillas puras en gavillas puras. Sin embargo, ocurre cuando se cumple una forma adecuada de dualidad de Poincaré, por ejemplo si f es suave y adecuada, o si se trabaja con gavillas perversas en lugar de gavillas como en Beilinson, Bernstein y Deligne (1982).

Inspirándose en el trabajo de Witten (1982) sobre la teoría de Morse , Laumon (1987) encontró otra prueba, utilizando la transformada ℓ -ádica de Fourier de Deligne , que le permitió simplificar la prueba de Deligne evitando el uso del método de Hadamard y de la Vallée Poussin. . Su prueba generaliza el cálculo clásico del valor absoluto de las sumas de Gauss utilizando el hecho de que la norma de una transformada de Fourier tiene una relación simple con la norma de la función original. Kiehl y Weissauer (2001) utilizaron la prueba de Laumon como base para su exposición del teorema de Deligne. Katz (2001) simplificó aún más la prueba de Laumon, utilizando la monodromía en el espíritu de la primera prueba de Deligne. Kedlaya (2006) dio otra prueba utilizando la transformada de Fourier, reemplazando la cohomología etale con cohomología rígida .

Aplicaciones

• Deligne (1980) pudo demostrar el teorema estricto de Lefschetz sobre campos finitos utilizando su segunda prueba de las conjeturas de Weil.
• Deligne (1971) había demostrado previamente que la conjetura de Ramanujan-Petersson se deriva de las conjeturas de Weil.
• Deligne (1974, sección 8) utilizó las conjeturas de Weil para probar estimaciones de sumas exponenciales.
• Nick Katz y William Messing (1974) pudieron demostrar la conjetura estándar del tipo Künneth sobre campos finitos utilizando la prueba de Deligne de las conjeturas de Weil.

Referencias

• Artin, Emil (1924), "Quadratische Körper im Gebiete der höheren Kongruenzen. II. Analytischer Teil", Mathematische Zeitschrift , 19 (1): 207–246, doi :10.1007/BF01181075, ISSN  0025-5874, S2CID  117936362
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enlaces externos

Referencias

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